Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Рис. 24. – Схема накопления потенциальной энергии при центральном растяжении

По закону сохранения энергии работа внешних сил равна приобретенной телом за счет их действия потенциальной энергии. Проинтегрируем левую и правую части полученного выражения и получим

Чтобы взять интеграл необходимо иметь функцию, выражающую зависимость силы от деформации F l . Будем полагать, что материал подчиняет-

Окончательно имеем

1.3 Механические характеристики материалов

Механические характеристики материалов делятся на две группы – характеристики прочности и характеристики пластичности.

1.3.1Механические характеристики прочности

Кмеханическим характеристикам прочности материалов относятся предел пропорциональности, предел текучести и предел прочности.

Пределом пропорциональности (σ pr , МПа) называется механическая

характеристика прочности равная максимальному напряжению, до которого еще справедлив закон Гука.

Пределом текучести (σ y , МПа) называется механическая характеристи-

ка прочности равная напряжению, при котором происходят большие деформации без заметного изменения нагрузки.

Пределом прочности (σu , МПа) называется механическая характеристи-

ка прочности равная отношению максимальной нагрузки, которую способен выдержать образец, к первоначальной площади поперечного сечения.

Обратите внимание, что предел прочности – это не напряжение, а условная величина, равная отношению максимальной нагрузки и первоначальной площади поперечного сечения, но обозначается она так же, как и напряжение буквой σu . Это объясняется тем, что при испытании площадь поперечного се-

чения может меняться, особенно у пластичных материалов. Однако при расчете элементов строительных конструкций изменение площади их поперечных сечений не учитывается. Поэтому для определения предела прочности приходиться силу относить к первоначальной площади поперечного сечения до испытания.

Иногда в качестве механических характеристик принимают касательные напряжения – pr , y и u , если речь идет о сдвиге.

1.3.2 Механические характеристики пластичности

Обычно выделяют две основные характеристики пластичности материалов – это относительное остаточное удлинение r и относительное остаточное

сужение χr . Выражаются эти характеристики в процентах.

32

Относительным остаточным удлинением ( εr ,% ) называется механи-

ческая характеристика пластичности равная отношению абсолютного остаточного удлинения к длине образца до испытания, выраженная в процентах

Относительным остаточным сужением ( χ r , % ) называется отноше-

ние разности площадей поперечного сечения до испытания и после испытания к площади сечения до испытания, выраженной в процентах.

1.4Методы расчета на прочность

Вистории развития науки о прочности можно выделить три основных метода расчета на прочность – это метод разрушающих нагрузок, метод допускаемых напряжений и метод предельных состояний.

1.4.1Метод разрушающих нагрузок

Вкачестве условия прочности ставится требование, чтобы наибольшая

нагрузка на сооружение не превышала некоторой допускаемой нагрузки Fadm ,

которая равна разрушающей (опасной) нагрузки, деленной на коэффициент запаса прочности

Коэффициент запаса прочности n принимается с учетом:

разброса механических характеристик материала;

отклонения величины нагрузок;

качества и степени однородности материала;

долговечности и назначения сооружения.

Разрушающая нагрузка при центральном растяжении (сжатии) для упругопластических материалов принимается с учетом диаграммы Прандтля (рис.

25).

33

σ

σy

Fdan = σy A

Рис. 25. – Диаграмма зависимости напряжений и деформаций для упругопластических материалов – диаграмма Прандтля

Разрушающая нагрузка при центральном растяжении (сжатии) для хрупких материалов вычисляется по формуле (55), а для упругопластических материалов по формуле (56)

Здесь A – площадь поперечного сечения стержня; σ y – предел текучести;

σu – предел прочности (временное сопротивление).

Этот метод использовался при расчете строительных конструкций, машин и механизмов до 50-х годов прошлого столетия.

1.4.2 Метод допускаемых напряжений

На смену методу разрушающих нагрузок пришел другой метод – метод допускаемых напряжений. В этом методе ставится требование, чтобы наибольшее напряжение не превышало допускаемого напряжения

Допускаемое напряжение равно опасному напряжению, деленному на коэффициент запаса

adm n

Для хрупких материалов опасным напряжением является предел прочности σu , а для пластических материалов – предел текучести σ y . Коэффициент

запаса прочности принимается из тех же соображений, что и для метода разрушающих нагрузок.

34

1.4.3 Метод предельных состояний

Начиная с 60-лет прошлого столетия, в строительной отрасли при расчете конструкций перешли к более детальному методу – методу предельных состояний. Этот метод учитывает каждый фактор воздействия на сооружение в отдельности. Прежде всего следует объяснить, что такое предельное состояние.

Предельным состоянием называется такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.

Целью этого метода является не допустить предельных состояний при эксплуатации и возведении сооружений. В нормах предельные состояния делятся на две группы:

1.По потере несущей способности.

2.По непригодности к нормальной эксплуатации вследствие недопустимых перемещений, колебаний и трещин.

Условие прочности имеет вид

Здесь R – расчетное сопротивление материала (сопротивление, принимаемое при расчете данной конструкции).

Расчетное сопротивление равно

где Rn – нормативное сопротивление материала, устанавливаемое нормами проектирования ( Rn может быть равно пределу прочности σu или пределу текучести σ y );

K – коэффициент безопасности по материалу, устанавливается нормами проектирования и принимается не менее 1,0);

N – расчетное усилие, определяемое при расчете сооружений

где N1n ,N2n ,...,Nmn – внутренние силы, возникающие в элементах конструкции

от различных видов нормативных нагрузок – собственный вес, вес снега, давление ветра и пр.

n1 ,n2 ,...,nm – коэффициенты перегрузки, учитывающие случайные отклонения нагрузки от нормативных значений (вследствие изменчивости нагрузки);

35

A – геометрическая характеристика поперечного сечения, соответствующая виду сопротивления элемента (площадь, осевой и полярный моменты сопротивления поперечного сечения).

1.4.4Пример расчета плоской стержневой системы

Да н о: Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также одного абсолютно жесткого элемента, соединенного с

деформирумыми стержнями и опорой шарнирами. Модуль упругости и расчетное сопротивление принято равными E 200ГПа, R=210МПа . Исходные дан-

ные приведены на рисунке 26.

Р е ш е н и е. Разрежим стержень 1 и стержень 2 сечениями. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами N1 и

N2 . То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем три неизвестных X A ,N1,N2 .

Из уравнения статического равновесия определим реакцию X k и продольные силы N1,N2 .

Рис. 26. – Схема плоской стержневой системы (а) и обозначение неизвестных реакции и продольных сил (б)

Полученные значения продольных сил отрицательные. Значит наши предположения о том, что эти стержни растнуты ошибочные. В действительности стержень 1 и стержень 2 сжаты. Реакция на опоре K получилась положительной. Значит наше предположение о том, что она направлена влево подтвер-

36

дилась. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следуе изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной.

Проверим соблюдение условий равновесия стержневой системы. Для этого выберем точку S так, чтобы при составления уравнения равновесия оно содержало бы все внешние и внутренние силы. Для этого расположим точку S, так как это показано рисунке 26. Составим уравнение равновесия

MS Xk 0,5 F 1,0 q 0,252 q 1,252 N2 1,5 N1 2,0

492 0,5 360 1,0 48 0,252 48 1,252 ( 588) 1,5 ( 360) 2,0 0.

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

1 NA1 R

1

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L80 5. Тогда площадь поперечного сечения первого стержня равна

A 2 8,63 17,26 см2 .

1

Проверим по условию прочности первый стержень

Недогрузка первого стержня составляет

Из условия прочности

37

2 N2 R

A2

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L80 10. Тогда площадь поперечного сечения второго стержня равна

A2 2 15,14 30,28 см2 . Проверим по условию прочности второй стержень

Определим длину первого и второго деформируемых стержней

l1 b 2,0 м; l2 a 3,0 м.

Используя закон Гука, вычислим деформации первого и второго стерж-

ней.

Учитывая условие закрепления 1-го стержня точка K будет смещаться вниз на величину равную деформации этого стержня K 2,1мм .

Покажим радиус окружности, по которой движется точка G, и его угол наклона к горизонтади =arctan(b/a)=arctan(2/3)=33,70.

Перемещение точки G определим по треугольнику, построенному вблизи узла G

38

1.5Геометрические характеристики плоских сечений

1.5.1Основные понятия и определения геометрических характеристик плоских сечений

Рассмотрим два случая изгиба пластины прямоугольного сечения (рис.

27).

Очевидно, что прогиб в случае (рис. 27, б) гораздо больше прогиба в случае (рис. 27, а). При этом материал стержней и площадь поперечного сечения в обоих случаях одинаковые, а прогибы разные. Следовательно, площадь сечения не может полностью характеризовать сопротивление стержня изгибу. Поэтому при изгибе, кручении и других видах сопротивления следует использовать иные более сложные геометрические характеристики.

F

б)

Рис. 27. – Изгиб пластины в двух плоскостях

Дадим определения некоторым геометрическим характеристикам плоских поперечных сечений. Для этого на рисунке 28 покажем декартовые и полярные координаты.

Статическим моментом Sx (S y ) плоского сечения относительно оси X

(Y) называется геометрическая характеристика равная интегралу

Статический момент может быть равным нулю, меньше или больше нуля.

39

Y

x

dA

y

0 X

Рис. 28. – Декартовые и полярные координаты точки сечения

Центром тяжести плоского сечения является точка, координаты ко-

торой вычисляются по формулам

X, Y – произвольные оси координат.

Отметим, что название этой очень важной в механике точки имеет ограниченный смысл. Ведь она (эта точка) существует и в том случае, когда тяжести нет. Но отдавая дань всей истории механики, оставим и будем пользоваться этим названием и впоследствии.

Отсюда (64) следует, что статические моменты плоского сечения можно вычислить по формулам

Очень важным выводом является то, что если оси X и Y являются центральными, то координаты центра тяжести сечения равны нулю xc 0 и yc 0 .

А это значит, что статические моменты относительно центральных осей всегда равны нулю

Центр тяжести всегда располагается на оси симметрии, если она имеется у сечения. К такому выводу можно прийти, рассуждая чисто логически. Например, пусть сечение имеет ось симметрии, и центр тяжести лежит не на оси симметрии, а где-то слева или справа от нее. Тогда по законам симметрии такая же точка должна располагаться по другую сторону от оси симметрии. Отсюда следует, что сечение имеет два центра тяжести, что невозможно по условию.

40