Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Здесь σ – нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Проведем анализ напряженного состояния стержня:

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при=00 , то есть в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 450 сечении и равны половине нормального напряжения.

1.2.5Продольные и поперечные деформации центрально растянутого (сжатого) бруса. Закон Гука

Рассмотрим длинный стержень, подвергнутый центральному растяжению

(рис. 19)

Рис. 19. – Продольные и поперечные деформации центрально растянутого стержня

Согласно определению относительная продольная деформация волокна

равна

Здесь длина волокна S равна длине элементарного участка dS. Поэтому

Предел не записывается, потому что дифференциал dz и так стремится к нулю. Из полученной формулы следует

21

Согласно гипотезе Бернулли все волокна находятся в одинаковых условиях. Кроме того, будем полагать, что и по всей своей длине волокна деформи-

руются одинаково, так как рассматривается длинный стержень. Поэтому

ε =const.

Проинтегрируем (то есть просуммируем) деформации по длине волокна и получим

Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации, взятое по абсолютной величине называется коэффи-

циентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона.

формация по направлению перпендикулярному к направлению действия силы или нормального напряжения; ε – относительная линейная продольная деформация, то есть деформация по направлению действия силы или нормального напряжения.

Коэффициент Пуассона ν – величина безразмерная и теоретически для

Если известен коэффициент Пуассона ν, то, зная продольную деформацию, всегда можно найти поперечную деформацию

22

Продольная и поперечная деформации всегда имеют разные знаки. Коэффициент Пуассона характеризует способность материала давать поперечные деформации.

С п р а в к а.

Закон Гука. Для некоторых материалов экспериментально установлено, что до некоторого предела деформации изменяются упруго и прямо пропорционально напряжениям.

Здесь E – модуль упругости первого рода или просто модуль упругости, измеряется в Па, МПа, ГПа.

С п р а в к а

Модуль упругости характеризует жесткость материала, то есть является мерой сопротивления материала продольному деформированию.

Физические коэффициенты E и могут быть найдены только испытанием материала.

Деформация и напряжение – относительные величины

Подставим их в закон Гука (29)

Отсюда имеем закон Гука при центральном растяжении (сжатии) в абсолютных величинах

23

Рис. 20. – Стержень переменной жесткости, загруженный двумя сосредоточенными силами, и эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений

Составим уравнение статического равновесия и решим его

Знак “минус” означает, что направление реакции Z0 выбрано ошибочно. В действительности реакция Z0 направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 20, и значение реакции будем считать положительным.

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1-2. Для этого проведем сечение S1 в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части 1 – S1 и S1 – 5 . Рассмотрим часть 1 – S1. Будем

полагать, что в сечении S1 действует растягивающая сила N12 (рис. 21, а). Со-

ставим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

“минус” сохраняется.

25

Рис. 21. – Отсеченные части стержня сечениями, проведенными на разных его участках: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3; в) на участке 3-4

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 21, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

Знак “плюс” означает, что продольная сила N23, как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис. 21, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 20). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

26

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 20).

Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы Wk 1 Wk lk ,k 1 .

W1 0 (по условию закрепления);

W2 W1 l12 0 0,64 0,64мм;

W3 W2 l23 0,64 1,20 0,56мм;

W4 W3 l34 0,56 0,54 1,10мм;

W5 W4 l45 1,10 0,0 1,10 мм.

Построим эпюру перемещений. Отметим, что перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z, а со знаком минус не совпадают, то есть направлены против направления оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками (рис. 20).

1.2.8 Особенности расчета плоских стержневых систем

Ограничимся рассмотрением механических систем, содержащих хотя бы один абсолютно жесткий (очень жесткий) и шарнирно прикрепленный к неподвижной опоре стержень (элемент). Это ограничение упрощает ее расчет. Кроме того, также для упрощения расчета сделаем следующие предположения:

абсолютно жесткий стержень может только поворачиваться около неподвижного шарнира;

все точки диска, за исключением точки в неподвижном шарнире, движутся по дугам окружностей с центром в неподвижном шарнире;

27

перемещения точек диска малы по сравнению с размерами самого диска, поэтому для упрощения расчета принимаем, что точки движутся не по дугам окружностей, а по касательным к ним;

считаем, что стержни системы деформируются по закону Гука;

зависимости перемещений точек и радиусов, описываемых ими дуг, имеет

вид

дуг, по которым движутся эти точки при повороте диска около неподвижного шарнира С (рис. 22).

rA

rB

Рис. 22. – Перемещения точек абсолютно жесткого диска при его повороте около неподвижного шарнира C

1.2.9 Деформация стержня от собственного веса

Рассмотрим стержень, загруженный собственным весом (рис. 23).

Пусть – плотность материала; g – ускорение свободного падения; A – площадь поперечного сечения. В этом случае интенсивность распределенной нагрузки равна весу стержня длиной в один метр (34)

28

Составим уравнение равновесия выделенного элементарного участка стержня

Найдем продольную силу в выделенном сечении стержня. Эта продольная сила создается весом части стержня, расположенной ниже выделенного сечения. Для этого проинтегрируем левую и правую часть уравнения (36) на отрезке от l до z.

Найдем деформации стержня от собственного веса. Вначале выразим относительную линейную деформацию

29

вается энергия деформации – потенциальная энергия. При снятии нагрузки за счет накопленной энергии тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Принимая форму выделенной элементарной полоски в виде трапеции (рис. 24), определим элементарную работу, совершенную силой на деформации d l.

30