Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

1.14 Динамический расчет строительных конструкций

1.14.1 Общие понятия о динамических расчетах строительных конструкций

Некоторые нагрузки на строительные конструкции сравнительно быстро меняют свою величину или положение. Такие нагрузки называются динамиче-

скими.

П р и м е р ы. Действие поезда на мост, работа штампового пресса, работа машин и механизмов с маховиками, забивка свай копром и др.

Динамические нагрузки вызывают колебательные движения частей сооружений. Поэтому при расчете следует учитывать силы инерции. Отметим, что

признаком динамической задачи является необходимость учета сил инер-

ции. При решении динамических задач используются два метода – дифферен-

циальный и интегральный.

Дифференциальный метод основан на составлении дифференциального уравнения динамического равновесия и получение уравнения движения частей сооружения. Анализ уравнения движения позволяет получить ускорения точек сооружения, а значит и сил инерции, которые учитываются в расчете. Этот метод связан с большими математическими проблемами – решением больших систем дифференциальных уравнений.

Так, например, достаточно простая задача динамического расчета однопролетной П-образной рамы при одномассовом сгущении ее элементов потребует решения системы двух дифференциальных уравнений (рис. 153). При этом, вычисляя деформации, следует ограничиться учетом только изгибом элементов рамы.

U

V

Рис. 153 – Расчетная схема П-образной рамы для динамического расчета

Интегральный метод основан на использовании динамического коэффициента. Этот метод чаще всего используется при расчете строительных конструкций.

Динамический коэффициент равен отношению исследуемой величины при динамическом воздействии к значению этой же величины при статическом воздействии.

211

где Sст – исследуемая величина при статическом приложении нагрузки (N, M,

V, σ и др.)

kд – динамический коэффициент, определяемый аналитически или экспе-

риментально.

Динамический коэффициент зависит от:

–вида динамической нагрузки;

–размеров конструкции;

–массы конструкции;

–жесткости элементов конструкции и др.

1.14.2Учет сил инерции при расчете троса

Пусть тело весом G подымается на тросе с ускорением a (рис. 154). Вес троса q. Если тело не опускается и не подымается, то сила N равна

Если тело ускоренно подымается с ускорением a, то для определения натяжения троса необходимо составить уравнение движения тела, взять вторую производную и получить ускорение. Однако, этого можно не делать, если использовать принцип Даламбера.

Принцип Даламбера – движущуюся систему можно рассматривать

как находящуюся в равновесии, если ко всем ее точкам присоединить дополнительно силы инерции.

T

G

Рис. 154 – Схема поднятия груза на тросе

Силы инерции численно равны произведению массы на ускорение и направлены в сторону, противоположную ускорению

ин g

где g – ускорение свободного падения. Суммарная сила равна

212

3) Кинетическая энергия удара полностью переходит в потенциальную энергию упругих деформаций тел.

Рассмотрим задачу о продольном ударе по стержню (рис. 155).

G

Потенциальная энергия деформации стержня равна при статическом приложении нагрузки – когда тело просто установить на торец стержня

Аналогично выражается потенциальная энергия при динамическом приложении нагрузке – ударе

Отсюда получим уравнение

214

Раскроим скобки, разделим левую и правую части уравнения (397) на EA и умножим на 2l

Учтем, что Gl EA lст и получим квадратное уравнение относительно неизвестного lД

где lст – деформация при статическом приложении нагрузки;

lД – деформация при динамическом приложении нагрузке (ударе);

215

kД – динамический коэффициент при ударе равен

Используя динамический коэффициент (406) можно найти напряжения при ударе. Правда, для этого требуется знать статическое напряжение.

1.14.4Пример расчета балки на поперечный удар

Да н о. Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис. 156). На балку падает тело массой m=2000 кг с вычоты 11 см. Балка

изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции Ix 2030 см4 и моментом

сопротивленияWx 203 см3 . Модуль упругости материала двутавра принят

равным E = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

m

Двутавр №20а

Рис. 156 – Схема поперечного удара по двутавровой балке

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

F mg 2000 10 20кН

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

Вычислим динамический коэффициент

216

Найдем максимальный изгибающий момент от статически приложенной нагрузки.

Mx Fl 20 103 3 15кНм . 4 4

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

Вычислим максимальное нормальное напряжение при ударе падающего тела.

д kд ст 10 74 740 МПа .

Определим прогиб балки от динамического приложения нагрузки (ударе)

Vд kд Vст 10 2,8 28мм .

1.14.5 Динамический расчет на мгновенно приложенную нагрузку

Примером мгновенно приложенной нагрузки является наезд колеса локомотива на рельс (рис. 157).

Рис. 157 – Мгновенное действие колеса локомотива на рельс

Мгновенно приложенную нагрузку можно представить как удар при нулевой высоте падения тела H = 0. В этом случае динамический коэффициент равен

217

1.14.6 Понятие о волновой теории удара

Рассмотренный ранее метод расчета при ударе основан на замене системы с бесконечно большим числом степеней свободы системой с одной степенью свободы, является приближенным.

Гораздо точнее описывает процесс удара волновая теория удара. Рассмотрим пример продольного удара. Пусть по концу стержня совершается удар абсолютно жестким телом (рис. 158).

Рис. 158 – Схема продольного удара по длинному стержню

Для оценки эффекта удара обычно используют значение относительной линейной деформации z , вызванной этим ударом. Установлено, что деформа-

ция сжатия z в момент удара зависит только от скорости тела, производящего

удар, но не зависит от массы этого тела. От массы тела, совершающего удар, зависит объем части стержня, в котором появляется деформация сжатия z .

После удара образуется волна деформации, которая распространяется по длине стержня от места удара к другому концу (рис. 159, а).

m

V

Скорость распространения этой волны равна скорости распространения звука в материале стержн:

для стали – 5120 м/с; для воды – 1800 м/с; для воздуха – 320 м/с.

Достигнув противоположного конца стержня, волна отразиться от него и будет возвращаться к концу, где произведен удар.

218

По волновой теории получается, что пока волна не пройдет по длине стержня до его конца и, отразившись, не вернется к концу, где произведен удар, “отскок” наблюдаться не будет.

Применение волновой теории для описания удара дает более точные результаты, однако требует использование аппарата теории упругости. Поэтому в курсе сопротивления материалов подробно не изучается.

1.15Прочность при переменных напряжениях

1.15.1Основные понятия о расчете конструкций при переменных напряжениях

Экспериментально установлено, что при переменных напряжениях, гораздо меньших опасных напряжений от постоянной нагрузки, происходит разрушение материала. Существует несколько представлений о причинах разрушения конструкций от переменных напряжений. Приведем одно из таких пояснений.

П о я с н е н и е. Металлы имеют поликристаллическую структуру и сложены множеством кристаллов различного размера и различной ориентации. При нагружении металлического образца появляется неоднородное поле напряжений. Среднее напряжение может быть меньше опасного, а в отдельных точках на контактах кристаллов за счет концентрации они могут быть больше опасного.

В таких точках происходит разрушение материала и появляются микротрещины. При каждом повторяющемся нагружении трещины растут, так как сами являются концентраторами напряжений. Это приводит к появлению макротрещин и к разрушению элемента.

Вводится понятие о накоплении повреждений и разрушению материала от повторяющихся нагрузок.

Усталость – процесс постоянного накопления повреждений материа-

ла при действии переменных напряжений, приводящий к образованию трещин и разрушению.

Свойство материала сопротивляться усталостному разрушению называ-

ется выносливостью.

1.15.2 Виды циклов напряжений

Понятия и определения йиклических изменений напржений на примере синусоидального закона (рис. 160). Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число T

называется периодом функции.

Для периода можно дать и такое определение.

Минимальной промежуток времени, в течение которого напряжение и его производная по времени принимают соответственно одинаковые значения, называется периодом T,с.

219

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжения. Максимальное отличие функции, взятое по абсолютной величине, от его

среднего значения называется амплитудой.

σa

σmax σm

Рис. 160 – Синусоидальный закон изменения напряжений

Симметричный цикл – это такой цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютной величине, но имеют разные знаки.

Асимметричный цикл – это такой цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения не равны по абсолютной величине.

Знакопеременный цикл – это закон колебательного процесса, при котором максимальное и минимальное напряжения имеют разные знаки.

Если максимальное и минимальное напряжения имеют одинаковые знаки, то такой цикл называется знакопостоянный.

Пример знакопостоянного и ассиметричного цикла приведен на рисунке

(рис.161).

Рис. 161 – Пример знакопостоянного ассиметричного цикла напряжений

Коэффициент асимметрии цикла определяется отношением

220