Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

4 2EI

Рис. 147 – Искривление Fcr2 l2 . стержня в форме двух полуволн

В этом случае стержень в момент потери устойчивости принимает форму двух полуволн синусоиды (рис. 147). И так далее …

Для реального стержня следует принимать во внимание только минимальную критическую силу

Формула Эйлера опубликована в 1744 г. Формула Эйлера справедлива

только в случае упругой деформации материала стержня, так как при ее выводе используется дифференциальное уравнение упругой оси стержня при изгибе.

1.13.4 Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы

Рассмотрим четыре способа закрепления сжатого стержня. Для каждого вида закрепления стержня необходимо решить дифференциальное уравнение изгиба стержня:

1)защемлен нижним концом (рис. 148, а);

2)шарнирно закреплен обоими концами (рис. 148, б);

3)защемлен нижним концом, шарнирно закреплен верхним концом (рис.148,

в);

4)защемлен верхним и нижним концами (рис. 148, г).

После обобщения всех решений, установлено, что для указанных закреплений критическая сила определяется по общей объединенной формуле

где – коэффициент приведения длины; lпр – приведенная длина стержня

201

Рис. 148 – Формы искривления сжатого стержня при различных способах закрепления стержня: а) защемлен нижним концом; б) шарнирно закреплен обоими концами; в) защемлен нижним концом и шарнирно закреплен верхним концом;

г) защемлен обоими концами

Приведенной длиной стержня называется длина участка стержня, на котором, при потере устойчивости сжатого стержня, укладывается одна полуволна.

Что означает приведенная – это приведенная к длине в задаче Эйлера, когда оба конца стержня закреплены шарнирно.

В общем случае сжатый стержень может потерять устойчивость из одной либо из другой главных плоскостях. Если приведенные длины стержня в разных плоскостях разные и главные моменты инерции отличаются друг от друга, то следует вычислять критические силы при потери устойчивости в обоих плоскостях, а затем выбрать в качестве расчетной меньшую из них.

1.13.5 Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Если критические напряжения больше предела пропорциональности, то применять формулу Эйлера нельзя, так как в момент потери устойчивости в стержне появяться пластические деформации. Возможность применения формулы Эйлера требует выполнения условия (369)

202

Критическая сжимающая сила равна

Пусть cr pr , тогда верхний предел гибкости можно определить по формуле (373)

u 2 E . (373)

pr

Для ст.3 значения модуля упругости и предела пропрциональности примем по справочной информации

Подставим эти значения в формулу (373) и получим верхний предел гибкости

10 200 109 100 . (374)

Если > u , то можно применять формулу Эйлера. Если u , то форму-

лу Эйлера применять нельзя, так как при потере устойчивости стерженя в нем появляются не только упругие, но и пластические деформации. В этом случае следует использовать эмпирическую формулу Ф.С.Ясинского (эмпирическая – это значит полученная по результатам эксперимента).

203

1.13.7 Практический расчет сжатых стержней

Напряжение в сжатом стержне должно быть меньше критического напряжения

где N – продольная сжимающая сила;

Abr – площадь поперечного сечения брутто, то есть площадь, принятая без уче-

та местных ослаблений.

Местные ослабления – это ослабления стержня на небольшом участке его длины. Экспериментальные исследования показали, что местные ослабления (например, отверстия под заклепки или болты и др) не оказывают заметного влияния на величину критической силы.

Для надежности работы стержня в расчет вводится коэффициент запаса устойчивости

Правую часть выражения (380) умножим и разделим на R

Обозначим выражение в скобках отдельной буквой

и назовем величину – коэффициентом уменьшения основного расчетного сопротивления материала при продольном изгибе. (по СНиП – это коэффициент продольного изгиба).

Коэффициент зависит от гибкости и материала сжатого стержня. Тогда условие прочности принимает вид

205

Коэффициент продольного изгиба определяется по таблицам СНиП. Приведем фрагмент этой таблицы.

λ, для Ст.3

1.13.8Пример подбора сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

Да н о. Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами =0,5 сжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210 МПа и E=200 ГПа.

F=240кН

Рис. 150 – Схема сжатого двутаврового стержня

Р е ш е н и е. В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным 0,5. Из условия прочности при продольном изгибе

FA R

определим требуемую площадь сечения стержня

206

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции A=23,4

см2, iy 1,88 см .

Определим гибкость стержня

l 0,5 400 106 . iy 1,88

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

Проверим сжатый стержень по условию прочности при продольном изгибе

Условие прочности выполняется.

Определим критическое напряжение по формуле Эйлера, так как =106 >

U=100.

Вычислим критическую силу

Fcr cr A 175 106 23,4 10 4 409,5кН .

Найдем коэффициент запаса устойчивости

ny Fcr 409,5 1,71.

Fadm 240

1.13.9Пример определения несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

Да н о. Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 151). Проверим по условию прочности.

207

Рис. 151 – Схема сжатого стержня кольцевого сечения

Р е ш е н и е.

Вычислим площадь сечения

Вычислим момент инерции сечения стержня

Определим радиус инерции сечения

Найдем гибкость стержня

l 0,7 1200 104. ix 8,1

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

208

Определим критическую силу. Так как 104 u 100 , воспользуемся формулой Эйлера.

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя таблицу и линейную интерполяцию

Условие прочности выполняется.

Найдем несущую способность сжатой стойки – допускаемую сжимающую силу из условия прочности.

Fadm RAbr 0,568 210 106 72,22 10 4 861кН. Определим коэффициент запаса устойчивости.

ny Fcr 1337 1,55.

Fadm 861

1.13.10 Пример определения несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

Д а н о. Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце (рис. 152). Стержень состоит их двух равнополочных прокатных уголков L№120 8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка A1=17,2 см2, радиус инерции i1u 4,28 см . Расчетное сопротивление и модуль упругости равны

R = 210 МПа и E=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен = 2,0.

209

Рис. 152 – Схема сжатого стержня, состоящего из двух равнополочных уголков се-

Р е ш е н и е. Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V

(рис. 152).

l 2 200 93. i1u 4,28

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости =93.

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как 93 u 100

cr a b 310 1,14 93 204 МПа.

Определим критическую сжимающую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

ny Fcr 702 1,47 .

Fadm 479

210