Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Квадраты радиусов инерции сечения

Координаты точки приложения силы F во вспомогательных осях X и Y

Координаты точки приложения силы F в центральных осях XC и YC

Отсеченные отрезки

Координаты опасной точки в растянутой части сечения во вспомогательных осях X и Y

Координаты опасной точки в сжатой части сечения в центральных осях Xс

и Yс

Координаты опасной точки в растянутой части сечения в центральных осях Xс и Yс

191

По найденным значениям напряжений в опасных точках построим эпюру нормальных напряжений (рис. 138).

1.12.16 Изгиб с кручением

При изгибе с кручением в поперечных сечениях стержня появляются изгибающий и крутящий моменты. На кручение с изгибом работают элементы пространственных конструкций, валы машин, винтовые пружины и др.

Рассмотрим стержень круглого сечения (рис. 139). Учитывая принцип независимости действия сил, напряжения в произвольной точке сечения равны сумме напряжений от кручения и от изгиба

Анализ эпюр показывает, что опасная точка, обозначим ее буквой S, располагается на контуре сечения. Выделим около точки S элементарный параллелепипед (рис. 140).

192

X

zx

xz

Рис. 140 – Элемент, вырезанный вблизи поверхности стержня круглого сечения

Очевидно, что выделенный элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как площадки с нормалью Y свободны от напряжений. Поэтому главные напряжения могут быть вычислены по известной формуле

Так как x 0 , имеем

По 3-й теории прочности условие наступления предельного состояния имеет вид

Подставим выражения для напряжений (344) в условие прочности (345)

Подставим выражение (342) для напряжений в опасной точке S в выраже-

ние (346)

193

Установим связь между моментами и координатами точки S. Для этого используем элементы векторной алгебры (рис. 141).

Y

Mu

My

α ys Mx

xs

S

Рис. 141 – Связь между вектором суммарного изгибающего момента и векторами его компонент

После подстановки (348) в выражение (347) получим

где

194

1.13.1 Методы решения задач на устойчивость

Вопросы устойчивости сжатых элементов в строительстве имеют одно из важнейших значений. Существует несколько основных методов расчета конструкций с учетом возможной потери устойчивости. Кратко изложим принципы этих методов.

Д и н а м и ч е с к и й м е т о д.

Наиболее общим методом исследования устойчивости является динамический метод. Предполагается, что исследуемая форма равновесия каким-либо образом нарушена. По характеру возникающего при этом движения судят об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия. Если движения представляют собой колебания с постоянно возрастающей амплитудой, то исследуемая форма равновесия является неустойчивой. В противном случае она устойчива.

М е т о д Э й л е р а.

Появление смежных форм равновесия называется бифуркацией или раз-

ветвлением форм равновесия. Существует понятие о точке бифуркации. Для определения точки бифуркации используется способ Эйлера. Основная идея метода Эйлера заключается в предположении, что смежные формы равновесия существуют. Из уравнения, характеризующую эту форму определяют нагрузку, при которой она становится возможной.

Э н е р г е т и ч е с к и й м е т о д .

Суть энергетического метода состоит в исследовании изменения полной энергии системы при переходе из исходной формы равновесия в возмущенную форму равновесия. Критическому значению нагрузки соответствует нулевое значение этого изменения.

1.13.2 Основные понятия об устойчивости

Во многих случаях выполнение условия прочности при центральном сжатии является недостаточным для нормальной (безопасной) эксплуатации сооружения. Возможно разрушение сжатых стержней, плит, оболочек, связанное

195

с их потерей устойчивости – внезапного изменения формы с последующим разрушением. Дадим понятия устойчивого и неустойчивого состояний равновесия.

Если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от состояния равновесия и после снятия возмущения система самостоятельно способна вернуться в свое первоначальное состояние, то такое состояние называет-

ся устойчивым состоянием равновесия.

Если малые возмущения вызывают большие отклонения от состояния равновесия и после снятия возмущения система самостоятельно не способна вернуться в свое первоначальное состояние, то такое состояние называется

неустойчивым состоянием равновесия.

Поясним эти понятия на примере с равновесием шарика (рис. 142).

Рис. 142 – Пример устойчивого и неустойчивого состояний равновесия шарика

Случай 1. Шарик находится в устойчивом состоянии равновесия. От действия возмущения шарик отклонится от своего первоначального состояния, а затем после снятия возмущения он самостоятельно вернется в первоначальное состояние.

Случай 3. Шарик находится в неустойчивом состоянии равновесия. От действия возмущения шарик отклониться от своего первоначального состояния, а затем после снятия возмущения он не сможет самостоятельно вернется в первоначальное состояние.

Случай 2. Шарик находится в безразличном состоянии равновесия. Бесконечное множество положений шарика являются его состояниями равновесия. То есть имеет место бифуркация – разветвление форм равновесия.

Аналогия наблюдается и для сжатого стержня (рис. 143).

При малой сжимающей силе F Fcr сжатый стержень находится в устойчивом состоянии равновесия и возвращается в исходное (прямолинейное) положение после снятия возмущения (случай 1). При большой сжимающей силе F >Fcr

прямолинейная форма стержня является неустойчивой. Сколь угодно малые возмущения вызывают большие отклонения стержня от прямолинейной формы равновесия. После устранения возмущения стержень самостоятельно не может

196

вернуться в свое первоначальное положение – прямолинейной форме равновесия.

Рис. 143 – Пример потери устойчивости сжатого стержня

Под возмущениями следует понимать неучтенные воздействия на кон-

струкцию. Например, моменты за счет случайных эксцентриситетов, начальное искривление стержня, искривление стержня за счет воздействия температуры и др.

Сопротивление сжатого стержня изгибу, появившемуся в результате потери устойчивости, называется продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что нарастание деформаций происходит очень быстро при постоянной сжимающей силе. Разрушение происходит внезапно без заметных внешних признаков.

Таким образом, продольный изгиб является опасным для конструкций. Его допускать нельзя. Поэтому поперечные размеры элементов сжатых конструкций должны назначаться не только из условия прочности на центральное сжатие, но и из условия

где cr – критическое напряжение; Fcr – критическая сжимающая сила;

Abr – площадь поперечного сечения брутто, то есть без учета местных ослаблений.

1.13.3 Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Равновесное и неравновесное состояния прямолинейного сжатого стержня хорошо иллюстрируются схематично (рис. 144).

197

При малой сжимающей силы F Fcr прямолинейный стержень находится

в состоянии устойчивого равновесия. Такое состояние только одно – прямолинейная форма (случай 1).

При большой сжимающей силе F >Fcr прямолинейный стержень находит-

ся в состоянии неустойчивого равновесия. Такое состояние может быть только одно – прямолинейна форма (случай 3).

Но имеется граничное состояние, когда F Fcr . В этом случае сжимаемый

стержень находится в безразличном состоянии равновесия. Прямолинейная форма равновесия сжатого стержня в этом случае не является единственной. Форм равновесия становится бесконечное множество. При этом и незначительно искривленные стержни тоже будут находиться в состоянии равновесия. То есть происходит бифуркация форм равновесия (случай 2).

Ось равновесных состояний Рис. 144 – Иллюстрация форм равновесия сжатого стержня

Согласно определению Эйлера – наименьшее значение сжимающей си-

лы, при которой происходит разветвление форм равновесия, называется критической силой.

Рассмотрим сжатый прямолинейный стержень (рис. 145). Изгибающий момент от продольной силы равен

Дифференциальное уравнение изгиба имеет вид

198

F

l

V

z

Рис. 145 – Схема искривления стержня в момент потери устойчивости

Подставим решение (359) в уравнение (358) и убедимся, что оно удовлетворяется.

199

То есть, стержень в момент потери устойчивости искривляется по синусоиде. при z l; V 0

Требуется определить, при каких условиях решение (363) возможно. Если B 0 , то стержень не искривляется. Этот случай не рассматривается, так как противоречит условию задачи.

Поэтому

где n – числа натурального ряда.

Учитывая выражение для k , получим форму искривления сжатого стержня и выражение для критической силы. Рассмотрим только положительные значения и выразим значение критической силы согласно принятому решению.

Fcr1 При kl ,

k2l2 2 ,

Fcr1 l2 2 , EI

2 EI

Рис. 146 – Искривление стерж- Fcr1 l2 . ня в форме одной полуволны

В этом случае стержень в момент потери устойчивости принимает форму одной полуволны синусоиды (рис. 146).

200