Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Деформации, сохраняемые телом после снятия нагрузки, называются

остаточными (пластическими) деформациями.

Свойство материала давать остаточные деформации называется пла-

стичностью материала.

Для некоторых материалов при определенных условиях наблюдаются деформации во времени. Свойства таких материалов изучается теорией ползучести. В теории ползучести выделяют два понятия: релаксация и ползучесть.

Явление увеличения деформаций во времени при постоянной нагрузке называется ползучестью.

Явление уменьшения напряжений во времени при постоянной деформации называется релаксацией.

Пластичность материала проявляется обычно при больших механических напряжениях, а ползучесть – при большой температуре.

1.1.7Внешние и внутренние силы. Метод сечений

Всопротивлении материалов различают внешние и внутренние силы.

Внешние силы – это силы взаимодействия между отдельными телами. Внутренние силы – это силы взаимодействия между частями одного и

того же тела.

Внутренние силы передаются через межатомарные или межмолекулярные связи, которые всегда присутствуют в твердых телах.

Разрушение тел происходит за счет внутренних сил. Поэтому одной из главных задач сопротивления материалов является определение внутренних сил в конструкциях.

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Суть метода сечений состоит в следующем.

1)Тело мысленно разделяется сечением на две части в том месте, где требуется определить внутренние силы.

2)Одна часть вместе с приложенными к ней внешними силами, отбрасывается, а к оставшейся части, кроме приложенных к ней внешних сил, прикладываются внутренние силы, то есть силы действия отброшенной части на оставшуюся.

3)Считается, что оставшаяся часть вместе с приложенными к ней внутренними и внешними силами находится в состоянии равновесия. Используя уравнения равновесия, определяют внутренние силы.

4)По законам теоретической механики система внешних сил, приложен-

ных к рассматриваемой части, приводится к главному вектору сил P и главному вектору момента M . Так как рассмотренная часть находится в состоянии равновесия, то главные вектора P и M внешних сил должны быть равны главным векторам силы и момента внутренних сил.

5) Главные вектора внутренних сил можно разложить на составляющие

P N , Q , Q; M M , M , T . (3)

X Y X Y

12

F

F/2

Рис. 11. – Пример работы колонны среднего ряда на центральное сжатие (a) и стержня заклепки на срез (сдвиг) (б)

2. Сдвиг (срез) – вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях появляются только поперечные силы Qx или Qy . Например, действие среза испы-

тывают стержни заклепки (рис. 11, б).

3.Кручение – вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях участка стержня появляются только крутящие моменты T.

П р и м е р ы. Работа вала машины (механизма), иногда элементов пространственных конструкций. Чистый сдвиг можно также получить и при кручении тонкостенной трубки.

4.Чистый изгиб – это такой вид сопротивления, при котором во всех попереч-

ных сечениях участка стержня появляются только изгибающие моменты M x или M y . Примером может служить средняя часть оси локоматива (рис. 12).

F F

Рис. 12. – Средняя часть оси железнодорожного вагона испытывает чистый изгиб

1.1.9 Понятие о напряжениях

Внутренние силы N , Qx , Qy ,M x ,M y и T в поперечном сечении стержня в

действительности не являются сосредоточенными силами. Они распределены в пределах площади сечения по некоторым законам. Определение этих законов является одной из основных задач сопротивления материалов.

14

Распределение внутренних сил характеризуется их интенсивностью, которая измеряется напряжениями (механическими напряжениями). Введем понятие о напряжениях. Рассмотрим поперечное сечение стержня и напряжения в его точке.

Y

Рис. 13. – Полное, нормальное и касательное напряжения в точке

Около произвольной точки выделим малую площадку A, через которую передается малая внутренняя сила P (рис. 13).

Полным напряжением p (МПа) в точке называется величина, характеризующая интенсивность внутренней силы, равная пределу отношения внутренней силы P, передающейся через площадку A, если площадь A площадки стремится к нулю

В расчетах полное напряжение редко используется. Обычно используются нормальное и касательное напряжения.

Нормальным напряжением σ (МПа) в точке называется величина, равная проекции полного напряжения на нормаль рассматриваемой площадки. Если нормальное напряжение вызывает сжатие, то оно считается отрицательным, если вызывает растяжение – принимается положительным.

Касательным напряжением (МПа) в точке называется величина, равная проекции полного напряжения на плоскость рассматриваемой площадки. Правило расстановки знаков для касательного напряжения будет рассмотрено ниже.

Такое разложение полного напряжения на нормальное и касательное сложилось исторически и вполне обосновано. Опыты показывают, что материалы по-разному сопротивляются растяжению (сжатию) и сдвигу.

15

1.1.10 Связь напряжений и внутренних сил

Для исследований характера распределения внутренних сил по площади сечения установим связь между внутренними силами и напряжениями. Полагаем, что распределение напряжений в пределах сечения выражается непрерывными функциями (рис. 14).

Y

QX

A

X MX

Рис. 14. – Внутренние силы, передающиеся через сечение, и напряжения в произвольной точке, передающиеся через площадку dA

Элементарная продольная сила, передающаяся через площадку dA равна

Предполагается, что в пределах элементарной площадки из-за ее малости напряжения σ распределены равномерно. Проинтегрируем левую и правую части записанного выражения (6) и получим

Элементарный момент относительно оси X, вызванный элементарной силой dA, передающейся через площадку dA, равен

16

Остальные четыре связи напряжений и внутренних сил рекомендуется получить самостоятельно.

1.2Центральное растяжение (сжатие)

1.2.1Общие понятия. Определение продольных сил при центральном растяжении (сжатии)

Центральное растяжение (сжатие) появляется в тросе при буксировке или

подъеме груза, в колоннах промышленных и гражданских зданий и пр.

Для удобства условимся всегда продольную ось обозначать буквой Z, а поперечные оси, то есть оси расположенные в плоскости поперечного сечения, буквами X и Y.

Центральное растяжение (сжатие) – это такой вид сопротивления, при

котором в поперечных сечениях стержня появляются только продольные силы. Продольная сила принимается положительной, если она вызывает растя-

жение материала или отрицательной – если сжатие.

В тех случаях, когда знак продольной силы неизвестен заранее, ее следует принимать положительной. В результате расчета знак силы уточняется.

Для вычисления продольной силы используется метод сечений.

Разделим стержень, показанный на рисунке 15, поперечным сечением S на две части – левую и правую. Отбросим правую часть и рассмотрим левую часть стержня. К этой части стержня приложены левая силой F и продольная сила N. При этом продольную силу N прикладываем так, чтобы она растягивала материал рассматриваемой левой части стержня, то есть была положительной. Составим уравнение равновесия левой части стержня, которое будет содержать внешнюю силу F и продольную силу N

N

Рис. 15. – Определение продольной силы методом сечений

Решение уравнения (10) дает положительное значение продольной силы N, что подтверждает сделанное предположение о том, что продольная сила растягивающая.

17

В последствие будем полагать, что нагрузка, какая бы она не была, всегда положительная, а ее действие определяется направлением.

Эпюрой продольной силы N называется график, каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении. Эпюры и не только продольных сил N отличаются от других графиков тем, что они построены по специальным правилам.

Основные правила построения эпюр:

1)ординаты откладываются перпендикулярно к линии отсчета;

2)эпюры всегда строятся в удобном масштабе и так, чтобы они легко читались, то есть без наложений и без затенения самой конструкции;

3)значения подписываются без указания знака и размерностей;

4)знаки проставляются на знаковых полях эпюры обычно в кружочках;

5)вся эпюра подписывается наименованием той величины, для которой она построена, и там же указывается размерность этой величины.

1.2.2 Дифференциальная зависимость между продольной силой и нагрузкой

Пусть дан стержень (рис. 16), загруженный распределенной по некоторому закону нагрузкой q z .

Рассмотрим элементарный участок стержня длиной dz. Учитывая условие равновесия

получим

Рис. 16. – Равновесие элементарного участка стержня, загруженного распределенной нагрузкой

18

Здесь N – продольная сила в поперечном сечении стержня; A – площадь поперечного сечения.

1.2.4Напряжения в наклонном сечении стержня при центральном растяжении (сжатии)

Рассмотрим длинный центрально растянутый стержень. В средней части

стержня проведем сечение под углом к поперечному сечению

Q

Рис.18. – Внутренние силы в наклонном сечении центрально растянутого стержня

На рисунке 18 отмечены: A – площадь поперечного сечения; A – площадь наклонного сечения; – угол наклона сечения; N– продольная сила в растянутом стержне; N – нормальная сила в наклонном сечении; Q –поперечная (сдвигающая) сила в наклонном сечении.

20