Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

0,30

+

-–

0,30 Y

Рис. 131 – Поперечное сечение балки в точке С, эпюры нормальных напряжений и направления прогибов (вид справа)

Полный прогиб балки с точке C.

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 131).

1.12.10 Внецентренное растяжение (сжатие). Основные понятия.

Внецентренное растяжение (сжатие) – это такой вид сложного со-

противления, который вызван действием продольной силы, не совпадающей с продольной осью стержня.

Такой вид сопротивления испытывают опоры мостов, фундаменты под колонны, колонны промышленных корпусов (рис. 132) и др.

Рис. 132 – Колонны поперечника промышленного корпуса

181

1.12.11 Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)

Вначале рассмотрим диск, к которому приложена сила F в точке A (рис. 133). Переместим силу F так, чтобы ее точка приложения оказалась в точке B.

Очевидно, что в результате параллельного переноса силы появляется момент, равный произведению исходной силы на расстояние переноса.

То же самое проделаем и для внецентренно приложенной к колонне силы. Только в этом случае будем перемещать ее дважды (рис. 134). Вначале переместим точку приложения силы на yF, так, чтобы она оказалась на оси X, а затем на xF, чтобы она оказалась на продольной оси колонны Z.

Рис. 133 – Процесс параллельного перемещения силы

В результате такого двойного переноса появляются два момента – момент относительно оси X ( M x F yF ) и момента относительно Y оси ( M y F xF ).

xF

Y

Рис. 134 – Перенос внецентренно приложенной силы на продольную ось Z

182

Для удобства рассмотрим внецентренно сжатый стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 134). Это удобно, потому, что заранее известны положения главных центральных осей инерции, которыми будут оси симметрии сечения. В результате такого переноса кроме центрально приложенной силы F появятся еще два момента M x и M y . Так как эти моменты относительно попе-

речных осей, то они являются изгибающими.

Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) приводится к трем простым видам сопротивления – центральному растяжению (сжатию) и

двум чистым изгибам. Используя принцип независимости действия сил, вычислим напряжения в произвольной точке поперечного сечения стержня от каждой внутренней силы отдельно и сложим их.

или

где N – продольная сила, равная внецентренно приложенной равнодействующей всех сил, приложенных к колонне N= F . Если стержень внецентренно

растянут, то принимаем знак “плюс”, если внецентренно сжат, то принимаем знак “минус”;

– изгибающие моменты, вызванные эксцентриситетом приложения равнодействующей силы

M x N yF ; M y N xF . (327)

A – площадь поперечного сечения колонны;

Ix , Iy – главные центральные моменты инерции поперечного сечения колонны; x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.

Под силой F следует понимать равнодействующую всех сил, приложенных к стержную.

Полученная формула, согласно принципу Сен-Венана, справедлива для сечений достаточно далеко удаленных от места приложения нагрузки.

Сделаем преобразования и запишем эту формулу в другом виде.

183

Окончательно имеем

ix Ix A; iy Iy A – радиусы инерции поперечного сечения (являются

геометрическими характеристиками сечения и измеряются в см, мм, м и т.д.); xF , yF – координаты точки приложения равнодействующей;

x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение;

N – продольная сила в сечении колонны; A – площадь поперечного сечения;

m– среднее напряжение в сечении колонны, m=N/A.

1.12.12 Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)

Линия, соединяющая все точки сечения колонны, в которой напряжения равны нулю, называется нулевой линии (нейтральной осью).

Пусть произвольная точка расположена на нулевой линии. Обозначим ее координаты xn , yn . Согласно определению, имеем

184

– это отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции (рис. 135).

Y

ay

X

0

ax

Рис. 135 – Построение нулевой линии по отсекаемым отрезкам

1.12.13 Свойства нулевой линии

Перечислим свойства нулевой линии без доказательства.

1) Нулевая линия никогда не пересекает тот квадрант, в котором приложена равнодействующая сила.

185

2)Если точка приложения силы движется по прямой, пересекающей центр тяжести сечения, и приближается к центру тяжести, то нулевая линия смещается параллельно сама себе и удаляется от центра тяжести сечения.

3)Если точка приложения силы находится на оси X (на оси Y), то нулевая линия перпендикулярна оси X (оси Y).

4)Если точка приложения силы движется по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается около неподвижной точки. Докажем это утверждение (рис. 136).

Рис. 136 – Положение нулевой линии при перемещении точки приложения силы из точки 1 в точку 2

Пусть оси X и Y являются главными центральными осями инерции сечения. Поставим условие, чтобы точка приложения силы xF , yF движется по прямой 1-2. Уравнение прямой 1-2 в отрезках имеет вид

Если сила приложена в точке 1, то нулевая линия будет перпендикулярна оси Y и удалена от оси X на ys

Если сила приложена в точке 2, то нулевая линия будет перпендикулярна оси X и удалена от оси Y на xs

Вычислим напряжения в точке S при приложении силы в произвольной точке прямой 1-2.

186

нии точки приложения силы F по прямой 1-2 будет поворачиваться около неподвижной точки S . Предположение доказано.

Иллюстрация свойств нулевой линии приведена на рисунке 137.

Рис. 137 – Иллюстрация свойств нулевой линии – первое (а), второе (б), третье (в) и четвертое (г)

1.12.14 Порядок расчета внецентренно сжатой колонны

1)Определить геометрические характеристики поперечного сечения – центр тяжести, площадь поперечного сечения и квадраты радиусов инерции.

2)Найти положение нулевой линии.

187

3)Определить положение (координаты) опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения колонны. Опасными точками являются точки максимально удаленные от нулевой линии.

4)Проверить условие прочности

Здесь

xF , yF – координаты точки приложения равнодействующей;

N F , если стержень внецентренно растянут и N F , если стержень внецентренно сжат;

A – площадь поперечного сечения колонны;

xt , yt – координаты опасной точки в растянутой части сечения; xs , ys – координаты опасной точки в сжатой части сечения;

Rt , Rs – расчетные сопротивления материала, соответственно, на растяжение и на сжатие.

1.12.15 Пример расчета стержня на внецентренное сжатие

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис. 138). Равнодействующая сжимающей силы равна F=360 кН, размеры сечения определяются значениями величин a=12 см, b=18 см; с=9 см; d=15 см. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений.

По эскизу сечения (рис. 138 ) определим координаты центров тяжестей отдельных частей сечения, площади и моменты инерции относительно их собственных осей.

Первая часть сечения

188

Рис. 138 – Сечение внецентренно сжатого старжня и эпюра напряжений

Вторая часть сечения

y3 c 9см;

A3 a 2c 12 2 9 216см2;

189

Статические моменты сечения относительно вспомогательных осей

Новые координаты центров тяжестей частей сечения

Центральные моменты инерции всего сечения

190