Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Полный прогиб равен геометрической сумме прогибов в вертикальном и в горизонтальном направлениях.

X Vx Fx

F FY

Y

Рис. 127 – Консоль, испытывающая плоский косой изгиб

Определим направление полного прогиба балки в точке B

то есть углы равны друг другу . Но углы откладываются от взаимно пер-

пендикулярных осей X и Y , поэтому направление полного прогиба при плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной оси.

171

Вместе с тем, отметим, что при Ix Iy направление полного прогиба не

совпадает с направлением действия силы . Это и послужило причиной назвать этот вид сопротивления косым изгибом. И действительно сила дей-

ствует в одном направлении, а полный прогиб направлен в другом.

Для пространственного косого изгиба положение, то есть угол , плоскости действия суммарного изгибающего момента для различных сечений балки разное и зависит от значений изгибающих моментов в нем M x и M y

Поэтому для определения полного прогиба балки и его направления необходимо найти прогибы VSX и VSY в рассматриваемом сечении S по направле-

ниям главных осей инерции X и Y отдельно, а затем их геометрически сложить. При этом прогибы определяются по общим правилам как для плоского просто-

П р и м е ч а н и е. Чтобы установить какой вид косого изгиба испытывает балка не обязательно строить ее упругую ось и увидеть, что она плоская или пространственная. Тем более, что это очень трудоемко и сложно. Достаточно лишь установить, что отношение моментов M y Mx для всех сечений оди-

наковое или неодинаковое. В первом случае имеет место плоский косой изгиб, а во втором – пространственный.

1.12.6Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки

Впоперечных сечениях балки при косом изгибе появляются две поперечные силы и два изгибающих момента:

Qx – поперечная сила, вызывающая сдвиг по направлению поперечной оси

X ;

Qy – то же, по направлению поперечной оси Y;

M x – изгибающий момент относительно поперечной оси X ; M y – то же, относительно поперечной оси Y .

172

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Нагрузка раскладывается на составляющие, лежащие в плоскостях ZX и ZY . Эпюры

строятся отдельно – от составляющих в плоскости ZX и от составляющих в плоскости ZY .

При необходимости эпюры могут быть геометрически сложены.

1.12.7 Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе

При сложной форме сечения и различной прочности материала на растяжение и сжатие следует:

1)построить эпюры внутренних сил в двух плоскостях;

2)определить опасное сечение;

3)определить положение нейтральной оси;

4)найти опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения;

5)проверить по условию прочности на растяжение на на сжатие

где xt , yt – координаты опасной точки в растянутой части сечения; xs , ys – координаты опасной точки в сжатой части сечения;

Rt ,Rs – расчетные сопротивления, соответственно, на растяжение и на

сжатие.

П р и м е ч а н и е. Опасными точками сечения являются точки, максимально удаленные от нейтральной оси, так как в них появляются максимальные напряжения t max , s max .

Для сечений прямоугольно подобной формы, то есть когда имеются точки одновременно максимально удаленные от главных центральных осей инерции X и Y , а также, когда материал имеет одинаковую прочность на растяжение и

на сжатие, порядок расчета следующий:

1)построить эпюры внутренних сил в двух плоскостях;

2)определить опасное сечение в балке;

3)проверить по условию прочности

или

173

приведенный момент к изгибающему моменту M x .

1.12.8Пример расчета балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

Да н о. Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F=3,6 кН, направленной под

углом 120 к вертикальному направлению (рис. 128). Длина балки l 2м .

Требуется построить эпюры изгибающих моментов в двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Р е ш е н и е. Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

–высота сечения h = 240 мм;

–ширина полки сечения b = 115 мм;

–момент инерции сечения относительно оси перпендикулярной стенке двутавра I x 3460 см4;

–момент инерции сечения относительно оси параллельной стенке двутавра I y 198 см4 .

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

Fx F sin 3,6 sin 120 0,748кН ;

Fy F cos 3,6 cos 120 3,521кН .

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы Fx и Fy в сечении, расположенном у защемления балки

174

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

Определим напряжения в опасных точках поперечного сечения балки при косом изгибе.

24,42 43,44 67,86 МПа.

Вычислим прогиб балки в горизонтальном и вертикальном направлениях,

используя ранее полученную формулу (309) V F l3 . 3EIx

176

24,42

Vtot

VY

–

24,42

+

–

Эп. , МПа

43,44

67,86

67,86

Рис. 129 – Эпюры нормальных напряжений в сечении балки, испытывающей плоский косой изгиб

Определим полный прогиб на свободном конце балки

Найдем направление полного прогиба

Положение нейтральной оси показано на рисунке 129.

177

1.12.9Пример расчета балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

Да н о. Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис. 130). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредото-

ченной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки b h 18 56 см , ее длина (пролет) l 6 м . Модуль упругости материала балки

E = 10 ГПа. Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб

иего направление в середине пролета балки.

Ре ш е н и е. Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно – это оси симметрии.

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис. 130). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

178

Рис. 130 – Схема балки, испытывающей пространственный косой изгиб и эпюры изгибающих моментов в плоскости ZY и ZX

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения C. Их координаты

179

1,15 0,30 1,45МПа.

Прогиб балки в точке C по горизонтальному направлению вычислим по формуле

Прогиб балки в точке C по вертикальному направлению вычислим по формуле

180