Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Оба полученные уравнения содержат одни и те же неизвестны – M A иYA . Поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными

18 M A 36 YA 1068 0;

M A 6 YA 384 0.

Решим эту систему и получим значения реакций M A 103,0 кНм; YA 81,17 кН. Чтобы получить значение реакции YB, используем еще одно уравнение ста-

тического равновесия Y=0.

Y YA q a b c YB 81,17 18 4 2 2 YB 0

Решим его и получим значение реакции опоры B, YB 62,83 кН .

Используя метод сечений построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в балке (рис. 118).

Из условия прочности

σMx R Wx

определим требуемый момент сопротивления

По таблице прокатных профилей подберем двутавр с уклоном полок №30а. Выпишем его геометрические характеристики:

Проверим на прочность по нормальным напряжениям

161

Используя полученные значения прогибов балки в точках C и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке A и прогибы балки на опорах A и B равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 118). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

1.11.11 Способы регулирования напряжений. Понятие о преднапряжении

При проектировании статически неопределимых систем требуется предварительно задавать жесткости элементов этой системы или их отношения. В противном случае задача будет неопределенной, то есть имеющей множество решений. Поэтому возможны случаи проектирования неэкономичных статически неопределимых конструкций. Такие конструкции могут иметь неоправданно большие запасы прочности. Одни элементы будут предельно загружены, а другие – недогружены.

Для повышения рациональности статически неопределимых конструкций используется регулирование напряжений, что реализуется преднапряжением. В преднапряженных конструкциях еще до их нагружения появляются напряжения. Преднапряжение конструкции создается укорочением или удлинением одного или нескольких элементов конструкции. Схематично способ регулирования напряжений (преднапряжение) показано на рисунке 119.

F

сжатие

растяжение

предварительное растяжение

F

сильное сжатие

Рис. 119 – Схема работы предварительно напряженной железобетонной балки

После приложения нагрузки напряжения в элементах конструкции “выравниваются” и распределяются более рационально. В идеальном случае во

163

всех элементах конструкции напряжения должны быть равными расчетному сопротивлению.

При расчете преднапряженной конструкции главным вопросом является, как определить величину зазора (натяга) напрягаемого элемента, при котором наступит этот идеальный случай.

Преднапряжение часто применяется для железобетонных и металлических конструкций.

1.12Сложное сопротивление

1.12.1Общие понятия о сложном сопротивлении

Если в поперечном сечении бруса одновременно действует несколько компонентов внутренних сил, то считается, что он находится в условии сложного сопротивления (рис. 120).

Для вычисления напряжений в произвольной точке сечения используется принцип независимости действия сил. Вычисляются напряжения от каждой составляющей внутренних сил в отдельности, а затем результаты складываются:

от продольной силы

164

Y

Qy

Mx

Qx

Mx X

N T

Z

Рис. 120 – Самый общий случай сопротивления стержня

Нормальные напряжения складываются алгебраически, а касательные напряжения складываются геометрически.

Некоторым частным случаям сложного сопротивления даны названия.

Например, внецентренное сжатие, кручение с изгибом, изгиб со сжатием, косой изгиб и др.

1.12.2 Косой изгиб. Общие понятия

Изгиб бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не содержит ни одной из главных осей инерции этого сечения, называется косым изгибом.

Примеры:

Рис. 121 – Примеры элементов конструкций, испытывающих косой изгиб: а) обрешетка кровли; б) подкрановая балка

165

На косой изгиб могут работать обрешетки кровли, подкрановые балки, элементы пространственных стержневых систем (рис. 121) и др.

1.12.3 Определение напряжений при косом изгибе

Пусть дана консольная балка прямоугольного сечения, загруженная на конце сосредоточенной силой F (рис. 122).

Рис. 122 – Консольная балка, испытывающая косой изгиб

Разложим силу F на составляющие по направлению оси X и оси Y, являющимися главными осями инерции рассматриваемого сечения в связи с тем, что они являются осями симметрии сечения.

Каждая из составляющих сил вызывает в сечении S изгибающий момент

Mx Fy z F z cos Mcos ;

(296)

M y Fx z F z sin Msin .

Таким образом, при косом изгибе в одном сечении действуют два изгибающих момента – момент относительно оси X и момент относительно оси Y. Учитывая принцип независимости действия сил, определим нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения

166

где M x ,M y – изгибающие моменты в сечении относительно главных осей

инерции X и Y

Mx Mcos ; M y Msin , (299)

– угол между плоскостью суммарного изгибающего момента и осью Y; I x ,I y – главные центральные моменты инерции рассматриваемого сечения;

x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.

Для получения правильного знака оси X и Y следует направлять в сторону растянутых волокон, изгибающие моменты M x и M y всегда прини-

мать положительными, а координаты x и y со своим знаком.

Если сечение имеет точку одновременно максимально удаленную от осей X и Y, то максимальные напряжения могут быть найдены по упрощенной формуле

где Wx ,Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно осей X и Y. Примеры таких сечений приведены на рисунке (рис. 123)

Рис. 123. Примеры сечений, имеющих точки, максимально удаленные от главных центральных осей инерции – прямоугольное, коробчатое, двутавровое

1.12.4 Определение положения нейтральной оси при косом изгибе

Рассмотрим сечение прямоугольной формы (рис. 124). Так как это сечение имеет оси симметрии, поэтому известно положение его главных центральный осей инерции – это сами оси симметрии.

Линия, в каждой точке которой напряжения равны нулю, называется

нейтральной линией (осью).

167

Пусть xn , yn координаты точки, расположенной на нейтральной линии. При

этом поставим условие, чтобы они не были равными нулю. В соответствии с определением нейтральной оси, поставим условие, чтобы нормальной напряжение в этой точке было равно нулю.

xn

yn

X

нейтральная ось

F

Y

Рис. 124 – Положение нейтральной оси в прямоугольном сечении при косом изгибе

ет, что нейтральная линия – это прямая (302). Значит, ее можно называть

нейтральной осью.

Разделим обе части уравнения (302) на xn , M x и умножим на Ix . В результате получим уравнение (303)

Без учета знака получим

168

Из формулы (302), очевидно, что напряжение в центре тяжести сечения, то есть при xn и yn равным нулю. Следовательно, нейтральная линия (ось) при ко-

сом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения, и наклонена к оси X под углом (305).

Угол всегда откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось про-

ходила через отрицательные квадранты, если оси X и Y направлять в сторону растянутых волокон.

Если Ix Iy , то, очевидно, что нейтральная ось не перпендикулярна сило-

вой линии, то есть плоскости суммарного изгибающего момента, так как . Отметим, что плоскость суммарного изгибающего момента в сечении наклонена к оси Y под углом (рис.124).

Для сечений, у которых Ix Iy (круг, квадрат, кольцо и др.) косой изгиб,

согласно данному определению, вообще невозможен, так как любая центральная ось сечения является главной. Поэтому силовая плоскость будет всегда содержать одну из многочисленных главных осей инерции. Такой изгиб следует называть не косым изгибом, а изгибом в двух плоскостях.

Рассмотрим частный случай косого изгиба.

Рис. 125 – Консоль прямоугольного сечения, испытывающая косой изгиб

Дана балка прямоугольного сечения (рис. 125). Пусть силовая плоскость проходит через диагональ сечения. Тогда

Отсюда следует, что нейтральная ось совпадает с другой диагональю сече-

ния.

169

1.12.5 Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах

Вначале получим выражения для прогиба консольной балки, загруженной сосредоточенной силой (рис.126). Для вычисления прогибов воспользуемся методом начальных параметров. Составим универсальное уравнение упругой оси балки

Чтобы получить прогиб в точке B следует задать z l и учесть, что начальные параметры равны нулю, так как левый конец балки защемлен.

Косой изгиб разделяют на два вида – плоский и пространственный.

Косой изгиб называется плоским, если упругая ось балки является плоской кривой.

Косой изгиб называется пространственным, если упругая ось балки является пространственной кривой.

Рассмотрим плоский косой изгиб (рис.127).

Учитывая принцип независимости действия сил, найдем прогибы от составляющих сил Fx и Fy .

170