Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

1.11.7 Расчет статически неопределимого стержня круглого или кольцевого сечения при кручении

Расчет статически неопределимого стержня на кручение аналогичен расчету статически неопределимого ступенчатого стержня на центральное растяжение (сжатие). Пусть дан стержень круглого или кольцевого сечений, закрепленный на концах (рис. 112). К стержню приложен момент T, расположенный в плоскости, перпендикулярной оси стержня. Требуется найти реакции опор, то есть раскрыть статическую неопределенность.

Рис. 112 – Схема стержня, испытывающего кручение

Проведем кинематический анализ:

-количество уравнений равновесия – 1.

-количество неизвестных реакций – 2.

Учитывая закон Гука, уравнение совместности деформаций запишем в следующем виде

мы раскрыли статическую неопределенность. Дальнейший расчет, то есть вычисление крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания, выполняется как для статически определимого стержня, работающего на кручение.

151

1.11.8Пример расчета статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

Да н о. Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке

(рис. 113).

Р е ш е н и е. Определим степень статической неопределимости:

–количество неизвестных равно двум (TA и TB );

–уравнений статического равновесия только одно ( Z=0);

–степень статической неопределимости n=2-1=1. Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

Z TA T TB TA 36 TB 0.

Вычислим модуль сдвига материала стержня

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках A–C и C–B

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов T.

Выразим угол закручивания правового торца стержня, вызванного неизвестным реактивным моментом TB

2,185 10 6TB .

152

Составим уравнение совместности деформаций – дополнительное уравне-

ние

Рис. 113 – Схема стержня (а), деформация стержня при кручении от заданного момента (б), деформация стержня от реактивного момента (в)

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментовTA и TB .

Определим крутящие моменты на левом и на правом участках стержня

(рис. 114)

153

Рис. 114 – Равновесие части стержня, расположенной слева от сечения на участке A-C (а), равновесие части стержня, расположенной справа от сечения на участке C-B (б)

Участок AC

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках AC и CB

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях стержня

AC TAC 4,19 103 12,36 МПа;

WAC 339 10 6

CB TCB 31,81 103 27,78МПа.

WCB 1145 10 6

Вычислим деформации (углы закручивания) участков стержня

154

Определим углы поворота сечений стержня

A 0 (по условию закрепления стержня)

C AC 27,82 ;

B AC CB 27,82 27,82 0 .

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис. 115).

– Рис. 115 – Эпюры крутящих моментов и

углов закручивания сечений стержня

27,8

1.11.9 Расчет статически неопределимых стержневых систем

Ограничимся рассмотрением стержневых систем, содержащих абсолютно жесткий брус (диск), прикрепленный к шарнирной неподвижной опоре (рис. 116). Такое условие необходимо для упрощения расчета механической системы.

Отметим некоторые особенности перемещений точек и деформаций элементов таких систем:

абсолютно жесткий диск не деформируется, то есть расстояние между любыми двумя его точками остается неизменным;

перемещение точки диска при его повороте прямо пропорционально ее удаленности от центра поворота;

любая точка диска, исключая точку закрепления, при его повороте перемещается по дуге окружности с центром в шарнире C;

из-за малости перемещения дугу окружности заменяют касательной.

Учитывая перечисленные особенности и рисунок, получим равенства, основанные на пропорциях отрезков.

155

Рис. 116 – Схема перемещений точек абсолютно жесткого диска

Рассмотрим порядок расчета таких систем на примере (рис. 117). Вначале установим степень статической неопределимости системы.

Число неизвестных равно 4 – Xc, Yc, N1 и N2. Число линейно независимых уравнений равно 3 –

156

будет одинаковым независимо от того, какие нагрузки будут приложены к стержневой системе. Это отношение зависит только от положения этих точек.

Установим связь между перемещениями и деформациями.

Из треугольника AA1A2 (рис. 117) выразим перемещение точки A через деформацию первого стержня

A sin

Из подобия треугольников BB1B2 и AB1C2 получим пропорцию

Минус ставим по тому, что на схеме деформаций второй стержень имеет отрицательную деформацию, то есть укорачивается.

Отсюда получим

Найденные выражения (284) и (286) подставим в уравнение совместности перемещений (318). В результате получим уравнение совместности деформа-

ций.

Присоединим полученное дополнительное уравнение к трем уравнениям равновесия (276), (277) и (278) и получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Решив эту систему, получим значения всех неизвестных – Yc, Xc, N1 и N2. Этот этап расчета системы называется раскрытием статической неопределимости. Дальнейший расчет выполняется так же, как для статически определимых систем.

158

1.11.10 Пример расчета статически неопределимой балки методом начальных параметров

Д а н о. Статичеси неопределимая консольная балка (рис. 118), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой

q 18 кНм и сосредоточенным моментом M 48кНм. Приняты расчетное со-

противление материала балки на растяжение (сжатие) R 210 МПа , расчетное

эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках C и D, а также проверить условие жесткости.

Р е ш е н и е. Количество неизвестных равно четырем – Z A , X A ,YA и M A .

Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

159

Рис. 118 – Статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и упругая ось балки

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

YB z a b 3

6

III

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре A равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю и начальные параметрыV0 и q0 .

По условию закрепления балки прогиб балки в точке B равен нулю, так как эта точка располагается на шарнирно подвижной опоре. Используем это условие для составления дополнительного уравнения.

160