Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Используя метод сечений, вычислим значения продольных сил на участках стержня (рис. 104).

На участке 1-2

Рис. 104 – Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3 2; в) на участке 3-4; г) на участке 4-5

На участке 3-4

На участке 4-5

Построим эпюру продольных сил (рис. 105).

Вычислим значения напряжений в поперечных сечениях стержня

142

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 105).

Пусть материал стержня деформируется по закону Гука. Вычислим относительные линейные деформации на участках стержня

Вычислим абсолютные линейные деформации участков стержня

l12 12 l12 12 a 1,15 10 3 5000 5,75мм;

l23 23 l23 23 a 0,45 10 3 5000 2,25мм;l34 34 l34 34 b 0,75 10 3 3000 2,25мм;l45 45 l45 45 b 0,084 10 3 3000 0,25мм.

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня и построим эпюру перемещения (рис. 105)

W1 0, (по условию закрепления верхнего конца стержня)

W2 l12 5,75мм;

W3 l12 l23 5,75 2,25 3,50 мм;

W4 l12 l23 l34 5,75 2,25 2,25 1,25 мм;

W5 l12 l23 l34 l45 5,75 2,25 2,25 0,25 1,0 мм;

Построим эпюру перемещений сечений стержня (рис. 105).

143

Рис. 105 – Эпюры продольных сил (а), нормальных напряжений (б), перемещений (в)

1.11.4Температурные напряжения в статически неопределимом ступенчатом стержне

Встатически определимых системах изменение температуры вызывает лишь деформации их элементов, так как этому ничто не препятствует. В статически неопределимых системах изменению размеров элементов за счет изменения их температуры препятствуют дополнительные связи. Поэтому изменение температуры статически неопределимой конструкции приводит к появлению температурных напряжений. Температурные напряжения являются опасными и часто приводят к повреждениям или разрушению конструкции.

Рис. 106 – Схема стержня, подвергнутого температурному воздействию

144

Рассмотрим стержень кольцевого сечения, подвергнутый температурному воздействию (рис. 106). Пусть температура стержня повысилась на t . Большинство материалов при повышении температуры увеличивают свои размеры. Способность материала деформироваться при изменении температуры характеризуется коэффициентом температурного расширения , который может быть найден только испытанием и имеет размерность град 1 . Значения коэффициен-

та температурного расширения можно найти в справочниках. Количество уравнений равновесия – 1.

Количество неизвестных реакций – 2.

Степень статической неопределимости n = 2 1=1.

Следовательно, система один раз (однажды) статически неопределимая. Рассмотрим деформации от каждого фактора в отдельности (рис. 106).

При повышении температуры стержень удлинится на lt . От действия реакции ZB стержень укорачивается на lZB .

Уравнение равновесия

Оба уравнения (265) и (268) объединяются в систему. В результате решения системы уравнений получаем значения реакций Z A и ZB . Это значит, что

статическая неопределимость раскрыта. Дальнейший расчет выполняется как для статически определимого стержня.

Если стержень постоянного поперечного сечения, тогда реакция опоры равна

145

Продольная сила во всех поперечных сечениях стержня равна

N = ZB . Разделим продольную силу на площадь поперечного сечения стержня и получим температурные напряжения.

Оказывается, что температурные напряжения не зависят от площади поперечного сечения стержня и его длины. Это следует учитывать при расчете конструкций, подвергнутых температурным воздействиям – увеличение площади поперечных сечений элемента не приводит к уменьшению температурных напряжений. То есть усиление конструкций, испытывающих температурное воздействие, нельзя добиться увеличением площадей поперечных сечений их элементов.

Для снижения температурных напряжений используются специальные приемы проектирования – компенсация температурных напряжений.

1.11.5Пример расчета статически неопределимого стержня на температурные воздействия

Да н о. Стальной стержень кольцевого сечения состоит из двух участков с разной площадью поперечных сечений, подвергнут температурному воздействию. Расстояние между опорами больше на 3 мм длины стержня. Температура стержня увеличилась на 90о. Требуется определить продольные силы, температурные напряжения и перемещения сечений стержня. Исходные данные приведены на рисунке (рис. 107).

Предположим, что в результате температурных деформаций стержень удлинница на величину большую, чем зазор между нижним концом стержня и нижней опорой. Тогда кроме реакции на верхней опоре появится реакция и на нижней опоре.

Определим степень статической неопределимости:

– количество неизвестных равно двум (реакции Z A и ZB );

–линейно независимых уравнений статического равновесия всего одно;

–степень статической неопределимости равно n = 2-1 = 1.

Отсюда следует, что стержень один раз (однажды) статически неопределимый.

Составим уравнение статического равновесия

Z ZA ZB 0 .

146

Отсюда следует, что реакции опор равны по величине, но направлены в разные стороны.

Рис. 107 – Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки (б), деформация стержня от реакции нижней опоры (в)

Составим уравнение совместности деформаций

lt lZB .

По закону температурных деформаций вычислим деформацию стержня от повышения температуры при условии отсутствия нижней опоры. Коэффициент

линейного температурного расширения принимаем равным 12 10 6 град-1.

lt a b t 12 10 6 9 12 90 22,68мм > =3мм .

Отсюда следует, что в результате деформации стержня от температуры зазор закрывается и на нижней опоре действительно появляется реакция.

Используя закон Гука, выразим (выразим, потому что еще не знаем значение самой реакции ZB ) деформацию стержня от неизвестной реакции ZB .

147

Подставим выражения для lt и lZB в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение.

22,68 10 3 0,156 10 6 ZB 3 10 3 .

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение имеют одинаковые неизвестные, поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Из второго уравнения определим значение реакции ZB .

Из первого уравнения (уравнения равновесия) определим реакцию верхней опоры

ZA ZB 126кН.

Определим продольные силы на участках стержня:

– на участке A-C (рис. 108, а)

– на участке C-B (рис. 108, б)

NAC

NCB

Рис. 108 – Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений: а) на участке A-C; б) на участке C-B

148

Вычислим температурные напряжения на участках стержня

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции ZB и деформацию от изменения температуры:

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений (рис. 109).

Рис. 109 – Эпюры нормальных напряжений и перемещений в стержне при температурном воздействии на него

149