Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Причиной наступления предельного состояния является достижение наибольшей главной линейной деформации при сложном напряженном состоянии предельной относительной линейной деформации, полученной при испытании в условиях одноосного растяжения.

где 1 – большая главная деформация при исследуемом напряженном состоянии;

0 – предельное значение относительной линейной деформации, полученное из опыта на одноосное растяжение.

Для объемного напряженного состояния

где 1, 2, 3 – главные напряжения при сложном напряженном состоянии в конструкции;

0 – опасное напряжение, полученное при испытании на одноосное растяжение;

– коэффициент Пуассона;

eq – эквивалентное напряжение.

1.10.4Теория прочности Кулона. Третья теория прочности

Втретьей теории прочности в качестве критерия прочности принято наибольшее касательное напряжение.

131

Причиной наступления предельного состояния является достижение наибольшего касательного напряжения величины предельного касательного напряжения, полученного из опыта при одноосном растяжении.

где tmax – расчетная величина максимального касательного напряжения для исследуемого напряженного состояния;

0 – предельное значение касательного напряжения, определенное испытанием материала на растяжение.

Из теории упругости известно, что для объемного напряженного состояния максимальное касательное напряжение равно

1 3 , (247)

для одноосного растяжения

132

Недостатком третьей теории прочности является то, что не учитывается влияние второго главного напряжения 2. Эта теории применяется для оценки степени опасности упругопластических материалов, примерно одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

1.10.5 Теория прочности Губера-Мизеса-Генки. Четвертая теория прочности

Согласно четвертой теории прочности в качестве критерия прочности принята удельная потенциальная энергия изменения формы.

Причиной наступления предельного напряженного состояния является достижение удельной потенциальной энергии изменения формы предельной величины удельной потенциальной энергии изменения формы при осевом растяжении.

Удельная энергия – это энергия, отнесенная к объему тела. Полную потенциальную энергию представляют в виде суммы энергии, затраченной на изменение объема тела, и энергии, затраченной на изменение формы.

Установлено, что решающее значение при разрушении материала имеет удельная энергия изменения формы.

Удельная энергия изменения формы для объемного напряженного состояния согласно решению теории упругости равна

Удельная энергия изменения формы при линейном напряженном состоянии равна

Для случая достижения предельного состояния при одноосном растяжении1= 0 и при объемном напряженном состоянии можно записать равенство (256)

Тогда условие наступления предельного состояния имеет вид

133

двумя осями X и Y в сумме имеют 15 степеней свободы. Шарнирно неподвижная опора слева и четыре шарнирно подвижные опоры ограничивают возможность шести смещениям системы, а четыре шарнира, каждый из которых имеет по две связи, ограничивают возможность движений по восьми направлениям. Таким образом, система имеет только одну степень свободы 15-6-8=1.

Сделанные выше рассуждения, очень важны при исследовании статически неопределимых механических систем. Дадим определение статически неопределимым системам.

Статически неопределимыми системами называются такие системы,

у которых количество неизвестных реакций или внутренних сил превышает число уравнений равновесия. В этом случае реакции и внутренние силы методами статики найдены быть не могут. Любая статически неопределимая система характеризуется степенью статической неопределимости, которая равна разности числа неизвестных и числа линейно независимых уравнений равновесия. Статическая неопределимость может быть внутренней и внешней (рис.

101).

Таким образом, для определения неизвестных в статически неопределимых системах следует иметь такое количество уравнений, которое было бы равно числу неизвестных. Если количества уравнений равновесия не хватает, то необходимо дополнительно составить уравнения, но уже не по условию статического равновесия, а из каких-то других соображений, например, по условию совместности деформаций элементов рассматриваемой конструкции. Такие уравнения будем называть дополнительными. Число дополнительных уравнений должно быть равным степени статической неопределимости механической системы.

Рис. 101 – Примеры механических систем с внешней (а) и с внутренней (б) статической неопределимостью

На рисунке (рис. 101 а) показана балка, опирающаяся на три опоры. Левая опора является шарнирно неподвижной и имеет две связи. Поэтому в ней появляются две реакции XA и YA. Опоры B и C шарнирно подвижные, имеют по одной связи. В каждой из них появляется по одной реакции YB и YC. То есть балка

137

имеет четыре связи. Но балку следует рассматривать как тело расположенное в плоскости. Поэтому она имеет три степени свободы – перемещения по вертикальному и горизонтальному направлениям и поворот около неподвижной точки. Значит, степень статической неопределимости балки равна n=4–3=1 и требуется составить одно дополнительное уравнение.

Дополнительное уравнение присоединяется к трем уравнениям равновесия. В результате получается система, содержащая четыре уравнения, то есть столько, сколько неизвестных. Решением этой системы уравнений, определяются все неизвестные – внешние (реакции) и внутренние (внутренние силы). Рассмотренная балка имеет внешнюю статическую неопределимость.

На рисунке (рис. 101 б) показана рама, расположенная в плоскости XY и опирающуюся на шарнирно неподвижную опору A с двумя связями и шарнирно подвижную опору B, с одной связью. Если рассматривать раму как одно тело, имеющую три степени свободы в плоскости XY, то ее следует рассматривать как статически определимую. В сумме опоры A и B имеют три связи, соединяющие раму с опорой. Поэтому количество уравнений равновесия равно количеству неизвестны сил (реакций) в этих связях. А это значит, что неизвестные реакции могут быть найдены только из уравнений равновесия. Значит рама внешне статически определимая.

Если нам понадобиться найти не только реакции, но и внутренние силы в сечениях рамы, то уравнений статического равновесия не хватит. Вертикальным сечением разделим раму на две части – левую и правую, отбросим правую часть и рассмотрим левую (рис. 101 б). Отброшенная правая часть действует на левую часть внутренними силами N1, Q1, M1 и N2 , Q2 ,M 2 .То есть всего неиз-

вестных шесть, а уравнений равновесия можно составить только три. Очевидно, что уравнений недостаточно и требуется составить еще три дополнительных уравнения уже не по условию равновесия, а из условия совместности деформаций. Следовательно, рама внутренне трижды статически неопределимая.

Статически неопределимые системы являются более экономичными и часто применяются в строительстве. Однако, расчет таких конструкций более трудоемкий и сложный чем статически определимых конструкций.

1.11.2 Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня.

Рассмотрим ступенчатый стержень, закрепленный по концам двумя опорами (рис. 102). Стержень загружен одной сосредоточенной силой, направленной вдоль его продольной оси Z. Пусть при изготовлении ступенчатого стержня его длина оказалась меньше расстояния между опорами. В результате этого появился зазор .

138

Рис. 102 – Схема статически неопределимого ступенчатого стержня с зазором

Если в процессе деформации нижний конец стержня достигает опоры B, то система становится статически неопределимой (один раз).

Число уравнений равновесия равно – 1, число неизвестных реакций – 2. Запишем уравнение равновесия

Запишем уравнение совместности деформаций

Учитывая закон Гука, получим

Объединим оба уравнения (262) и (264) в систему и решим ее относительно неизвестных ZA и ZB. В результате получим значения неизвестных реакций

ZA и ZB. Этот этап расчета называется раскрытием статической неопредели-

мости системы. Дальнейший расчет выполняется так же, как и для статически определимого ступенчатого стержня. В результате определяются – N, , l, , w.

139

Если зазора нет, то принимается =0 . Если стержень оказался длиннее расстояния между опорами, то принимается <0 .

1.11.3 Пример расчета статически неопределимого ступенчатого стержня

Д а н о. Стержень переменного сечения, загруженный осевыми сосредоточенными силами (рис. 103). Расстояние между опорами больше чем общая длина стержня на 1 мм. Числовые данные приведены на рисунке 103. Стержень изготовлен из стали. Модуль упругости материала стержня равен E 200 ГПа .

Определим степень статической неопределимости системы:

– если предположить, что деформация стержня будет больше расстояния между опорами A и B, а это означает, что нижний конец стержня достигнет нижней опоры и появится реакция ZB , то количество неизвестны равно 2-м (реакции

опор Z A и ZB );

–количество уравнений статического равновесия равно 1-му ( Z=0);

–степень статической неопределимости n=2-1=1.

То есть система один раз (однажды) статически неопределимая. Обозначим особенные сечения стержня цифрами, начиная со стороны за-

щемления A.

Рис. 103 – Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки (б), деформация стержня от реакции нижней опоры (в)

Составим уравнение статического равновесия

Составим уравнение совместности деформаций

140