Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Рис. 91 – Соединение угловыми фланговыми швами уголка и листа

Распределим шов на обушок и на перо

1.8.11 Преимущества и недостатки заклепочных (болтовых) и сварных соединений

З а к л е п о ч н ы е ( б о л т о в ы е ) с о е д и н е н и я.

Пр е и м у щ е с т в а:

–хорошо работают на динамические и циклические нагрузки;

–легко контролируется качество соединения (визуально).

Не д о с т а т к и:

–утяжеляют конструкцию за счет ослабления сечения элементов отверстиями под заклепки;

–трудоемкие в изготовлении;

–трудно автоматизируются.

С в а р н ы е с о е д и н е н и я.

121

Пр е и м у щ е с т в а:

–не утяжеляют конструкцию;

–нетрудоемкие в изготовлении и легко автоматизируются. Н е д о с т а т к и:

–плохо работают на циклические и динамические нагрузки;

–трудно контролируется качество.

1.9Кручение

1.9.1Основные понятия. Вычисление крутящих моментов

На кручение работают многие детали машин и механизмов, некоторые элементы строительных конструкций. Для вычисления крутящих моментов используется метод сечений.

П р а в и л о з н а к о в.

Внешний момент вызывает положительный крутящий момент, если со стороны внешней нормали сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки.

1.9.2 Особенности деформирования стержня круглого сечения при кручении

Как показывают опыты ось стержня круглого (кольцевого) сечения при кручении остается прямолинейной, контуры сечения круглыми, а само сечение плоским. При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол, который называется углом закручивания.

В теории кручения сечений круглого (кольцевого) сечения принимают следующие гипотезы:

1)поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации;

2)радиус в поперечном сечении в процессе закручивания стержня не искривляется.

На основании принятых гипотез кручение стержня круглого (кольцевого) сечения можно представить как результат сдвигов, вызванных поворотом одного поперечного сечения относительно другого поперечного сечения. Поэтому в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

1.9.3Определение касательных напряжений при кручении сечений круглого (кольцевого) сечений

Рассмотрим элементарный участок стержня круглого сечения, подвергнутого кручению (рис. 92).

Рассмотрим продольное волокно, взятое на расстоянии от оси стержня. Угол наклона (угол сдвига) волокна равен

122

Воспользуемся законом Гука при сдвиге

Рис. 92 – Элементарный участок стержня, подвергнутого кручению

Следовательно, касательное напряжение в стержне круглого поперечного сечения при его кручении прямо пропорционально расстоянию от оси стержня до точки, где вычисляется напряжение. При этом, очевидно, что наибольшие напряжения появляются в точках поверхности стержня (рис. 93).

Отсюда имеем

Установим связь между касательным напряжением и крутящим моментом.

В итоге имеем

123

max

T

0

dA

Рис. 93 – Распределение касательных напряжений в поперечном сечении стержня, подвергнутого кручению

В уравнениях (222) и (225) левые части раны, поэтому будут равны и правые части

Отсюда имеем формулу для вычисления касательного напряжения при кручении в произвольной точке поперечного сечения

где T – крутящий момент в рассматриваемом сечении;

Ip – полярный момент инерции круглого или кольцевого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции вычисляется по формуле

– расстояние от точки, где вычисляется касательное напряжение, до оси стержня.

1.9.4 Деформации при кручении стержней круглого (кольцевого) сечения

Для определения углов закручивания стержней круглого поперечного сечения используем дифференциальное уравнение (225).

124

Полагаем, что крутящий момент и диаметр стержня на этом участке постоянные. Отсюда имеем

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (230)

В результате получена формула для угла закручивания участка стержня круглого или кольцевого поперечного сечения постоянной жесткости и с постоянным крутящим моментом

где T – крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига;

I p – полярный момент инерции поперечного сечения; GI p – жесткость стержня при кручении.

Полученная формула называется законом Гука при кручении.

Иногда в расчетах требуется найти относительный угол закручивания, то есть угол закручивания, приходящийся на один метр длины стержня. Относительный угол закручивания равен

125

1.9.5 Анализ напряженного состояния и вид разрушения стержней при их кручении в зависимости от материала

Рассмотрим участок стерженя круглого поперечного сечения, подвергнутого кручению.

Рис. 94 – Напряженное состояние при кручении стержня круглого сечения

Было установлено, что в круглом либо кольцевом поперечных сечениях стержня при кручении появляются только касательные напряжения. Учитывая закон парности касательных напряжений, и на продольных площадках появятся касательные напряжения (рис. 94). Следовательно, выделенный элемент испытывает чистый сдвиг. Поэтому главные площадки наклонены к площадкам поперечного сечения под углом 45о. При этом, главные напряжения равны касательным напряжениям.

Отсюда следует, что траектории главных напряжений при кручении стержней круглого либо кольцевого поперечных сечений представляет собой винтовую линию, наклоненную к оси стержня под углом 45о.

Хрупкие материалы разрушаются от большего (растягивающего) главного напряжения (рис. 95).

T

T

Рис. 95 – Разрушение хрупких материалов при кручении

Упруго-пластические материалы хорошо сопротивляются растяжению и сжатию, но хуже сдвигу. Поэтому при кручении разрушаются от касательных напряжений (рис. 96).

126

T

T

Рис. 96 – Разрушение упруго-пластических материалов при круче-

Деревянный стержень плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Поэтому он разрушается от касательных напряжений на продольных площадках (рис. 97).

T

T

Рис. 97 – Разрушение деревянного стержня при кручении

1.9.6 Расчет на прочность и жесткость стержня круглого или кольцевого сечений при кручении

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении стержня при кручении появляются в точках его поверхности. Получим формулу для вычисления этих максимальных касательных напряжений в стержнях круглого сечения.

Из выражения (236) получим условие прочности при кручении стержня круглого сечения

где T – максимальный крутящий момент;

Rs – расчетное сопротивление материала на срез;

Wp – геометрическая характеристика поперечного сечения, называемая полярным моментом сопротивления

127

Полярный момент сопротивления всегда величина положительная с размерностью см3, мм3 и пр.

Условие жесткости имеет вид

где T – крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига;

I p – полярный момент инерции поперечного сечения;adm – относительный допускаемый угол закручивания.

1.9.7Пример расчета стержня круглого сечения на кручение

Ис х о д н ы е д а н н ы е. Стержень кольцевого сечения (рис. 98) под-

вергнут кручению двумя моментами T1=18 кНм, T2=12 кНм. Наружный и внутренный диаметры кольцевого сечения соответственно равны DН = 120 мм,

и DВ = 100 мм. Модуль сдвига и расчетное сопротивление материала стержня, соответственно, равны G = 78 ГПа и Rs 130 МПа . Полярный момент инерции

сечения стержня равен

Р е ш е н и е.

Выделим на стержне сечения – 1, 2 и 3, которые разделили его на два участка 1-2 и 2-3. Используя метод сечения и правило знаков определим крутящие моменты в отмеченных сечениях. Построим эпюру крутящих моментов

(98).

По закону Гука определим углы закручивания участков стержня. Угол закручивания участка 1-2

Угол закручивания участка 2-3

128

Найдем углы поворота сечений стержня и построим эпюру .

1 0 (по условию закрепления);

2 12 15 ;

15

, ( )

5

Рис. 98 – Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения

Проверим по прочности

129

Условие прочности выполняется.

1.10 Теории прочности

1.10.1 Основные понятия

Многие элементы строительных конструкций испытывают сложное напряженное состояние. Проведение испытаний материалов при сложном напряженном состоянии затруднительно или невозможно. Поэтому требуется создать такую методику расчета, которая позволила бы оценить степень опасности любого напряженного состояния, основываясь на результатах испытания при простом растяжении, сжатии, кручении и сдвиге. Такими методиками являются теории прочности. Для суждения о наступлении предельного состояния необходимо знать причину разрушения материала. Этот вопрос является сложным и до конца еще не решенным.

В каждой теории прочности выдвигается своя причина (критерий) разрушения. Поэтому и существуют десятки теорий прочности, а в идеале должна быть только одна.

1.10.2 Теория прочности Галилея-Лейбница, Клебша-Ренкина. Первая теория прочности

Критерий прочности этой теории можно сформулировать следующим образом.

Предельное состояние при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает величины предельного напряжения при одноосном растяжении.

где 1 – величина наибольшего из главных напряжений для исследуемого напряженного состояния;0 – предельное напряжение, полученное по результатам испытания на одноосное растяжение.

Недостаток этой теории в том, что не учитываются два других главных напряжения. Эта теория имеет скорее историческое значение и практически не используется.

1.10.3 Теория прочности Мариотта–Грасгофа, Сен-Венана. Вторая теория прочности

Критерий прочности второй теории прочности можно сформулировать следующим образом:

130