Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

1.7.9 Пример исследования напряженного состояния в точке

Исходные данные приведены на рисунке (рис. 81).

60 МПа

120 МПа

90 МПа Рис. 81 – Условие задачи

1)Обозначим напряжения, укажем их знаки и дополним недостающие напряжения (рис. 82).

2)Вычислим главные напряжения.

3) Вычислим угол поворота главных площадок.

4) Покажем положение главных площадок и главные напряжения (рис. 82).

111

xy=-90 МПа

y=60 МПа

Рис. 82. Действие главных напряжений и положение главных площадок

Направление напряжения 1 откладываем от направления большего напряжения σ y в сторону, куда показывает напряжение на площадке с норма-

лью Y.

1.8Чистый сдвиг

1.8.1Понятие о чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой вид плоского напряженного состояния, при котором по двум взаимно перпендикулярным площадкам, расположенным определенным образом, действуют только касательные напряжения.

Рассмотрим элемент, испытывающий чистый сдвиг (рис. 83). Учитывая условие (208), получим выражения для вычисления напряжений на наклонной площадке при чистом сдвиге.

При чистом сдвиге линейные размеры элемента не изменяются. Изменяются только угловые размеры. Типичным примером случая, когда во всех точках тела материал испытывает чистый сдвиг, является кручение тонкостенной трубки.

112

Y

XY T

α α

xy

T

Рис. 83 – Элемент, испытывающий чистый сдвиг

1.8.2 Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге

Определим положение главных площадок при чистом сдвиге. На главных площадках, неважно при каком виде сопротивления, появляются экстремальные нормальные напряжения. Чтобы найти положение этих площадок, то есть угол наклона , возьмем производную от функции (209), приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение.

d xysin2 xy 2cos2 0. d

жения (209) и получим.

1 xysin 2 45o xy ;

(211)

3 xysin 2 135o xy .

Таким образом, при чистом сдвиге главные напряжения (сжимающее и растягивающее) равны между собой. Их значения равны касательному напряжению чистого сдвига. Главные площадки расположены под углом 45о к площадкам чистого сдвига.

1.8.3 Закон Гука при чистом сдвиге

Если для линейных деформаций закон Гука справедлив, то он справедлив и для угловых деформаций. Сформулируем этот закон.

113

Экспериментально установлено, что до определенного предела деформация сдвига происходит упруго, а ее величина прямо пропорциональна касательным напряжениям.

1.8.4Зависимость между модулем упругости при растяжении (сжатии)

имодулем сдвига

E, и G – это физические коэффициенты, которые связывают деформации и напряжения. Для изотропных материалов основными физическими коэффициентами являются E и . Все другие физические коэффициенты, а их достаточно много, являются производными и всегда могут быть выражены через основные E и . Установим связь между E, и G.

Пусть на площадках элемента действуют только касательные напряжения. То есть элемент испытывает чистый сдвиг (рис. 84).

Рис. 84 – Деформации сдвига и растяжения-сжатия в элементе, испытывающий чистый сдвиг

114

1.8.5Расчет болтовых (заклепочных) соединений на срез

Встроительстве при изготовлении строительных конструкций наряду со сваркой очень часто используются болтовые и заклепочные соединения. Эти соединения используются в особо ответственных конструкциях или при наличии динамических или вибрационных нагрузках. Действительная работа болтовых и заклепочных соединений весьма сложна. Поэтому в сопротивлении материалов и курсе «Металлические конструкции» принимаются упрощения. Предполагается, что черные болты и заклепки могут разрушаться от среза. В заклепке может быть одна, две или (реже) три площадки среза, которые имеют форму круга диаметром равным диаметру стержня заклепки (рис. 85).

верхняя головка

площадки среза

N/2

N

N/2

d d

стержень заклепки

нижняя головка Рис. 85 – Заклепочное соединение и его элементы

115

Допущение 1е. В предельном состоянии касательные напряжения по площадке среза распространяются равномерно и достигают расчетного сопротивления RS.

Допущение 2е. Все заклепки (болты) соединения работают одинаково на

срез.

Отметим, что это не так. Больше всего “страдают” крайние в ряду заклепок. С них начинается разрушение всего заклепочного соединения.

Учитывая принятые допущения, условие прочности имеет вид

где N – сила, передающаяся через соединение; d – диаметр заклепки (стержня заклепки);

n – количество заклепок в соединении (см пояснения ниже); ns – количество площадок среза в одной заклепке;

Rs – расчетное сопротивление одной заклепки на срез.

Для внесения ясности по вопросу заклепочных (болтовых) соединений, следует отличать узел и соединение. Будем считать, что соединение – это конструктивный элемент, соединяющий только два каких-либо элемента конструкции. Узел это конструктивный элемент, к которому сходятся или от которого расходятся два и более элемента конструкции. Узел может состоять из одного или нескольких соединений. На рисунке (рис. 86) показан узел нижнего пояса фермы, состоящая из пяти соединений. Каждое соединение передает на фасонку силу, появляющуюся в соответствующем элементе. Расчет следует производить каждого соединения в отдельности.

соединение стойки с фасонкой

Рис. 86 – Узел фермы нижнего пояса, состоящий из пяти соединений

116

1.8.6 Расчет болтовых (заклепочных) соединений на смятие

Причиной разрушения болтовых (заклепочных) соединений кроме среза может быть смятие их стержней. Рассмотрим стержень заклепки, подвергнутой смятию (рис. 87).

Для расчета заклепочного (болтового) соединения на смятие приняты следующие допущения.

Допущение 1е. При расчете заклепки опасность на смятие оценивается средним напряжением, отнесенным к площади проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость.

Допущение 2е. Все заклепки (болты) соединения работают одинаково на смятие.

N/2

Рис. 87 – Площадки смятия на стержне заклепки

С учетом принятых допущений условие прочности заклепочного (болтового) соединения на смятие имеет вид

где N – сила, передающаяся через соединение; d – диаметр заклепки (стержня заклепки); n – количество заклепок в соединении;

t – меньшая сумма толщин элементов, сдвигаемых в одном направлении; Rpb – расчетное сопротивление заклепок (болтов) на смятие.

1.8.7 Пример расчета заклепочного соединения

Д а н о:

n 4; d 16 мм; Rs 160 МПа; R 210 МПа; Rpb 420 МПа; N 250 кН.

Уголок №75 8; Ауголок 11,50 см2; bуг 75 мм.Размеры листа 95 20 мм; b = 95 мм; t = 20 мм. Схема узла приведена на рисунке 88.

117

Рис. 88 – Заклепочное соединение уголков и листа

Проверим на срез

Количество площадок среза в одной залепке nS 2

122,3МПа<R=210 МПа.

Условие прочности выполняется.

118

1.8.8Расчет сварных соединений – угловых фланговых швов

Встроительстве для соединения элементов конструкций чаще всего используется электросварка. Швы сварки разделяют на несколько видов: потолочные, вертикальные, лобовые, фланговые и другого вида швы. Мы рассмотрим фланговые угловые швы, разрушение которых происходит по наиболее сложной схеме (рис. 89).

Угловые фланговые швы разрушаются от среза.

l

Рис. 89 – Угловые фланговые швы

Приняты следующие упрощения.

Допущение 1е. Разрушение углового флангового шва происходит от среза по площадке в биссекторной плоскости.

Допущение 2е. В момент среза касательные напряжения распределяются равномерно по длине шва и достигают расчетного сопротивления.

Отметим, что в действительности касательные напряжения по длине углового флангового шва распределены неравномерно. Разрушение начинается с его краев.

Учитывая принятые допущения, условие прочности имеет вид

где N – сила, передающаяся через соединение; βt – катет, зависящий от вида сварки

t=0,7; 0,8; 0,9; 1,1;

l – расчетная длина шва, принимаемая меньшей полной (проектной) длины на

10 мм (учет непровара в начале и в конце шва);

h – толщина шва, принимаемая равной толщине соединяемого элемента с меньшей толщиной;

R f – расчетное сопротивление угловых швов срезу по металлу шва (зависит от

технологии сварки – тонкая и толстая обмазки, автоматическая и ручная сварка и пр.).

119

1.8.9 Основные понятия о процессе сварки

Рассмотрим электродуговую сварку. Плавление металла свариваемых элементов происходит в электрической дуге между электродом и металлом элементов (рис. 90). Металл соединяемых элементов и электрода сплавляются, образуя сварной шов. В центре шва температура выше температуры плавления стали (больше 1550оС).

По мере удаления от шва температура быстро уменьшается. Поэтому в некоторых частях шва металл закаляется и приобретает хрупкие свойства. Это ухудшает его прочность при динамических и вибрационных нагрузках.

Кроме того, за счет высокой температуры интенсивно происходят химические реакции металла с окружающим воздухом. В результате этого металл окисляется, что снижает прочность сварки. Чтобы изолировать место сварки от атмосферы применяют электроды с обмазкой. Обмазка вблизи дуги испаряется, образуя защитное облачко из инертных газов. Применяются электроды с толстой и тонкой обмазкой. Чем толще обмазка, тем качественнее сварка.

обмазка

электрод

электродуга

закаленный слой

свариваемый элемент

s

свариваемый эле-

t

Рис. 90 – Схема процесса сварки двух стальных элементов

1.8.10Пример расчета сварного соединения

Да н о. Пусть неравнополочный уголок №63 40 5, zo 20,8 мм (рис. 91)

соединен с листом по своей широкой полке электросваркой (угловым фланговым швом); R f 90 МПа (электрод с тонкой обмазкой). К соединению прило-

жена сила N=35 кН. Принять коэффициент t 0,7.

Рассчитать длину швов.

Р е ш е н и е. Из условия прочности для углового флангового сварного шва на срез

определим расчетную длину шва

120