Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

Двутавр №20: осевой момент сопротивления Wx 184 см3 ; осевой момент

инерции I x 1840 см4 ; статический момент отсеченной части Sx0 104см3 ;

толшина стенки s=5,2 мм.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям

Подготовим балку для вычисления прогибов согласно требованиям метода начальных параметров (рис. 74):

пронумеруем участки балки слева направо;

дополним распределенную нагрузку до конца балки;

приложим компенсирующую нагрузку.

Рис. 74 – Балка, подготовленная для определения прогибов методом начальных параметров

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

101

Решим полученную систему уравнений и найдем начальные параметры

Вычислим прогиб балки в точке C ( z = 0 )

Вычислим прогиб балки в точке D ( z = 6 м )

102

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов в точках C и D, и, учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов построим упругую ось балки (рис. 74).

1.7Напряженное и деформирование состояние в точке

1.7.1Понятие о напряженном состоянии в точке

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений действующих на всевозможных площадках, проведенных через эту точку.

В механике твердого деформируемого тела различают три основных вида напряженных состояния – линейное (одноосное), плоское (двуосное) и объемное (трехосное). Дадим определения этим видам напряженных состояний. Для этого в нагруженном теле около внутренней точки вырежем элемент (рис. 75).

Если две пары противоположных площадок элемента свободны от напряжений, то имеет место линейное напряженное состояние.

Если одна пара противоположных площадок элемента свободна от напряжений, то имеет место плоское напряженное состояние.

Если нет ни одной пары противоположных площадок элемента свободных от напряжений, то имеет место объемное напряженное состояние.

103

1.7.2 Правила расстановки индексов и знаков

Существуют общие правила расстановки индексов и знаков для нормальных и касательных напряжений. Но в некоторых случаях имеет место и отступление этих общих правил. Рассмотрим общие правила.

Нормальное напряжение имеет один индекс, совпадающий с обозначением оси, параллельно которой действует само напряжение.

Нормальные напряжения, вызывающие растяжение, считаются положительными, а сжатие – отрицательным.

Касательные напряжения имеют два индекса. Первый индекс совпадает с обозначением оси, по направлению которой действует само напряжение. Второй индекс совпадает с обозначением оси, параллельно которой направлена нормаль площадки, где действует напряжение.

Рис. 76 – Пример обозначений и расстановки знаков касательных напряжений

Если направление касательного напряжения и внешней нормали площадки, где действует напряжение, одновременно совпадают или одновременно не совпадают с положительными направлениями соответствующих осей координат, то такие касательные напряжения считаются положительными (рис. 76).

Отметим, что в сопротивлении материалов принято, что знак касательного напряжения в балке от поперечной силы совпадает со знаком поперечной силы.

1.7.3 Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии

Рассмотрим элементарный параллелепипед, испытывающий плоское напряженное состояние (рис. 77). Пусть под углом проведена площадка. Требуется получить выражения для нормального и касательного напряжений на этой наклонной площадке.

Установим зависимость площадей наклонной и координатных площадок

Составим уравнение равновесия

104

Рис. 77 – Напряжения, действующие на грани элемента и на наклонную площадку

105

τα dAα σx dAαsinα cosα τxy dAαsin2α σy dAαsinα cosα

(187)

τyx dAαcos2α 0.

Сократим на dAα, приведем подобные и получим

Окончательно имеем выражения для вычисления нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии.

1.7.4 Главные площадки и главные напряжения

Если оси X1 и Y1 (рис.77) поворачивать, то при каком-то положении на наклонной площадке нормальное напряжение достигнет экстремального значения. Найдем положение такой площадки.

Слагаемые уравнения (191) умножим на 2, разделим на cos2α и наσx – σ y получим формулу для определения угла наклона такой особенной

площадки, на которой нормальное напряжение принимает экстремальное зна-

чение (192).

Сравнивая выражение (188) и уравнение (191), убеждаемся, что касательное напряжения на этой площадке равно нулю.

106

Эти площадки настолько важны в механике твердого деформированного тела, что им присвоено специальное название.

Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения, называются главными площадками.

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называ-

ются главными напряжениями.

Главные напряжения индексируются цифрами. Для удобства и сокращения записей принята индексация главных напряжений по условию

Главные напряжения для плоского напряженного состояния вычисляются по формуле (без вывода). Недостающее главное напряжение равно нулю.

1.7.5Графическое представление плоского напряженного состояния. Круг напряжений (круг Мора)

Зависимость напряжений α и α от угла наклона площадки α имеет простую геометрическую аналогию в виде круговой диаграммы (рис. 78), предложенной немецким ученым Отто Мором.

Рис. 78 – Графическое представление плоского напряженного состояния c помощью круга напряжений

107

Правило построения главных площадок при плоском напряженном состоя-

нии.

Большее главное напряжение направлено по оси, полученной поворотом на угол α оси площадки с большим нормальным напряжением в ту сторону, куда указывает касательное напряжение, приложенной к этой же площадке. Другое главное напряжение направленно перпендикулярно большему главному напряжения.

108

1.7.6 Понятие о траекториях главных напряжений

Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений. Например, они имеют практическое значение при проектировании железобетонных конструкций. Пример расположения траекторий главных напряжений показан на рисунке (рис. 79).

q

Армирование жб балки

2

Рис. 79 – Траектории главных напряжений и армирование железобетонной балки

1.7.7 Главные деформации и главные оси деформации

Математические зависимости при исследовании напряженного состояния в точке справедливы и при исследовании деформированного состояния в точке.

В любой точке деформируемого тела всегда можно найти три взаимно перпендикулярные направления, на которых отрезки при деформации тела не искривляются, а имеют лишь линейные деформации, то есть удлиняются или укорачиваются. Такие направления называются главными осями деформации. Сами деформации по этим направлениям называются главными деформация-

ми.

Главные деформации, как и главные напряжения, являются экстремальными величинами.

Для изотропных материалов в любой точке тела главные оси деформации совпадают с направлениями главных напряжений.

109

1.7.8 Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях

Рассмотрим элемент, находящийся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 80). Пусть на его площадках действуют только нормальные напряжения.

Рис. 80. Представление плоского напряденного состояния на два линейных состояния

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим деформации элемента поочередно от действия напряжения σx и от действия напряжений

σ y .

Условимся первым индексом обозначать направление деформации, а вторым индексом направление фактора, вызвавшего эту деформацию.

Окончательно имеем выражение закон Гука для плоского напряженного состояния

По аналогии запишем закон Гука для объемного напряженного состояния

110