Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью»

и 0 – начальные параметры. На основе полученной зависимости строится ме-

тод начальных параметров.

Для взятия интеграла в уравнении (176) от отдельных наиболее часто встречающихся видов нагрузок рассмотрим балку, загруженную одним сосредоточенным моментом, одной сосредоточенной силой и одной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 70). Обозначим координаты точек приложения сосредоточенного момента и сосредоточенной силой, соответственно, zm и zF .

Координата начала участка приложения равномерно распределенной нагрузки обозначим zq .

zF

zq

z

l

Рис. 70 – Балка, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой

94

Суммируя интегралы от всех видов нагрузок и полагая, что к балке могут быть приложены несколько нагрузок одного и того же вида, получим универ-

сальное уравнение упругой оси балки.

Преимущества метода начальных параметров заключается в том, что нам приходится находить только две постоянные интегрирования. Особенно это преимущество заметно, если на балке несколько участков. Однако, метод начальных параметров имеет и недостатки – балка должна быть постоянной жесткости на всей ее длине; слагаемые в универсальном уравнении упругой оси балки могут отличаться на порядки (180). Поэтому при использовании метода начальных параметров предъявляются определенные требования.

Правила и требования.

1)Начало координат всегда выбирать в левой крайней точке балки.

2)Начальные параметры равны соответственно прогибу и углу поворота сечения на левом конце балки.

3)При вычислении прогибов или углов поворота сечения балки учитывать только слагаемые, содержащие силовые факторы, приложенные левее рассматриваемого сечения.

4)Знак перед слагаемым совпадает со знаком изгибающего момента в рассматриваемом сечении, вызванного силовым фактором, содержащимся в этом слагаемом.

5)Где-то начавшаяся равномерно распределенная нагрузка не должна заканчиваться до правого конца балки.

Уравнения углов поворота получается взятием производной от уравнения для прогибов (180).

П р а в и л о з н а к о в.

Прогиб вверх и поворот против хода часовой стрелки считаются положительными.

95

1.6.17 Пример определения прогибов в балке методом начальных параметров

Подготовим балку (рис. 71, а) согласно требованиям метода начальных параметров: начало координат поместить в левой крайней точке балки; продольную ось направить вправо; ось X направить вверх; пронумеровать участки балки слева направо; дополнить нагрузку q и приложить компенсирующую нагрузку q снизу вверх (рис. 71, б).

Вычислим реакции опор

M A q 4 0 M F 4 YB 6 12 4 0 48+36 4 YB 6=0; YB =16 кН;

MB q 4 6 YA 6 M F 2 12 4 6 YA 6 48 36 2 0;

YA =68кН.

Рис. 71 – Шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой

Составим универсальное уравнение упругой оси заданной балки

96

Выполним вычисления и получим два уравнения с двумя неизвестными

EIV0 и EI 0.

EIV0 2EIθ0 8 103 0;

EIV 8EIθ 144 103 0.

0 0

Решим систему и получим начальные параметры

Аналогично вычислим прогиб в точке D (z = 6 м, участок III)

VD 27,91мм (рис. 71, а).

97

1.6.18 Пример расчета двутавровой балки на прочность и жесткость

Подобрать прокатный двутавр для балки (рис. 72), вычислить прогибы и проверить по условию жесткости.

Составим уравнения равновесия и вычислим реакции опор. Будем полагать, что реакция на левой опоре направлена вверх, а на правой – вниз.

-

+

12

Рис. 72 – Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой двутавровой балке

Используя метод сечений, определим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях балки (рис. 72).

98

сечение правее точки 1 (рис. 73, а)

Рис. 73 – Рассмотренные части балки при использовании метода сечений: а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее точки 2; г) левее точки 3;

д) левее точки 4; е) в точке K

сечение слева от точки 3 (рис. 73, г)

99

сечение справа от точки 3 - значение поперечной силы такое же, как и

всечении, расположенной в точке 4 слева (рис. 73, д), а изгибающего момента такое же, как и в сечении 3 слева (рис. 73, г)

сечение в точке K (рис. 73, е) – расстояние от точки A до точки K равно отношению поперечной силы на рассматриваемом участке к интенсивности

равномерно распределенной нагрузки z0 1412 1,17 кНм,

Найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов откладываем на графике и соединяем эти точки по правилам построения эпюр (рис. 72).

Расчетными значениями поперечных сил и изгибающих моментов, согласно построенным эпюрам, назначаем QY 34кН и M X 36кНм .

Из условия прочности

Mx R Wx

найдем требуемый момент сопротивления

Из таблицы прокатных профилей выберем двутавр, у которого момент сопротивления равен или больше требуемого и выпишем необходимые для дальнейшего расчета геометрические характеристики его поперечного сечения.

100