Тема 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 1.4.1. Основные понятия. Обобщенная сила и обобщенное перемещение

Под внешним воздействием система деформируется, ее точки получают перемещения km .

Первый индекс показывает точку и направление перемещения, а второй – причину его вызывающую.

Перемещения от действия силы единичной величины, приходящейся на единицу длины, называют единичным и обозначают буквой . Эти перемещения также как и перемещения от внешней полной нагрузки могут быть собственными и побочными:

Для линейно-деформируемых систем в соответствии с принципом независимости действия

сил.

Впроцессе упругой деформации системы внешние и внутренние силы совершают работу,

асама система накапливает кинетическую энергию. Введем понятие обобщенной силы. Под которой будем понимать любую сумму сил (сосредоточенные силы, моменты, распределенные нагрузки и их сочетания), которые выражаются через какой-либо силовой фактор. Каждой

обобщенной силе Pk соответствует свое обобщенное перемещение kk . Так как умножение

обобщенной силы на обобщенное перемещение дает работу, то обобщенное перемещение представляет собой множитель при обобщенной силе в выражении работы.

1.4.2. Действительная работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации

Если внешняя сила Pk вырастает от нуля до конечного значения медленно и силами энергии можно пренебречь, то действие такой силы называют статическим. Работа силы Pk на собственном перемещении kk называется действительной работой W внешней силы. Эта работа положительна (W>0).

Получим выражение работы W при статическом действии силы P Pk на перемещенииkk (рис.1.1.4.1,а). Обозначим переменное значение этой силы через X, а переменное значение

соответствующего ей перемещения через (рис.1.4.1,б).

При бесконечно малом приращении перемещения d совершается элементарная работа dW=X d . Так как перемещение пропорционально силе, то в соответствии с выражением (1.4.2) = X, где - перемещение, вызванное силой X=1. Отсюда d = dX и dW= XdX. Следовательно, полная работа:

Таким образом, действительная работа внешней силы равна половине произведения конечного значения этой силы на конечное значение соответствующего перемещения (теорема Клайперона).

Действию каждой обобщенной силы Pk соответствует свое -е состояние системы.

k1

Вто время, как обобщенные внешние силы Р совершают работу W на обобщенных

обобщенной силы S. По отношению к элементу dz. Эти силы являются внешними (рис.1.4.1,в-е). Деформации элемента (рис.1.4.1,в-д) определяются формулами сопротивления материалов:

dz, d , d k - соответствующие абсолютные деформации;

E, G – модуль упругости материала первого и второго рода; A – площадь поперечного сечения элемента;

J, Jp - осевой и полярный моменты инерции сечения;

Выражения действительных работ внутренних сил N, M и kР на абсолютных деформациях элемента:

Выражение для поперечной силы Q имеет особенности. На рис.1.4.1,е показан суммарный линейный сдвиг полосок элемента, параллельных оси x. На каждой полоске площадью dА=bdy

площади). Линейное перемещение полоски, Соответствующее ее сдвигу, по закону Гука равно

dz Gdz ( - угол сдвига). Поэтому полная работа сил сдвига для элемента dz:

- площадь поперечного сечения стенки).

Действительная работа внутренних сил всей системы получится в результате суммирования элементарных работ в пределах длины l каждого стержня и последующего суммирования полученных значений по все стержням системы:

Потенциальная энергия U упругой деформации, возвращающая систему в исходное (первоначальное) состояние после снятия нагрузки равна по модулю, но противоположна по знаку действительной работе внутренних сил. То есть, U= -V=W.

Для плоской стержневой системы:

Потенциальная энергия представляет собой, также как и работы внешних и внутренних сил, квадратичную функцию усилий. Поэтому при ее вычислении принцип суперпозиции не может быть использован, т.е. U ( p1 p2) U p1 U p2 .

Если сила P и перемещение получат приращения dP и d (рис.1.4.2), то приращение энергии упругой деформации с точностью до величин высшего порядка малости dU P d . Из

этого равенства следует теорема Лагранжа: в положении равновесия производная от потенциальной энергии деформации по перемещению равна соответствующей силе:

Аналогично доказывается теорема Кастильяно: в положении равновесия производная от потенциальной энергии деформации по силе равна соответствующему

1.4.3. Возможная работа внешних и внутренних сил

Возможной работой Wkm внешней силы Pk называют работу этой силы на перемещении km ,

вызванном m м воздействием; иными словами – это работа силы k го состояния системы на перемещениях его m го состояния:

Консольную балку АВ (рис.1.4.3,а) последовательно нагрузим обобщенными силами Pk и Pm . От действия силы Pk балка изогнется и займет положение АВ1. Сила Pk при этом совершит действительную работу на собственном перемещении kk : Wk 0,5 Pk kk . Затем приложим силу Pm . От ее действия балка АВ займет положение АВ2. При этом сила Pm совершит действительную работу Wm 0,5 Pm mm , а сила Pk , не изменяя своего значения, при нарастании прогиба, совершит возможную работу на побочном перемещении:Wkm Pk km .

Рис. 1.4.3

Возможная работа отличается от действительной тем, что, во-первых, в ее выражении отсутствует коэффициент 0,5, а во-вторых, она может иметь любой знак и быть равной нулю.

Возможная работа внутренних сил k го состояния на деформациях m го состояния для плоских систем:

NP , M P ,QP внутренние факторы, соответствующие грузовому состоянию системы (индекс k заменяется индексом p .

Если возможные деформации вызваны действием температуры ( m t ), то при условии ее линейного перепада по высоте h сечения и расположении центра тяжести посередине его высоты