Тема 2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

1.2.1. Общие методы определения сил в связях плоских систем. Основные предпосылки к расчётам.

В статически определимых системах внутренние усилия возникают только от действия внешних сил. Температурные и дислокационные воздействия внутренних сил не вызывают.

При определении внутренних сил S и перемещений точек предполагают, что система обладает упругими свойствами. Справедлива гипотеза малых деформаций, линейная зависимость внутренних сил от деформаций. Такие системы называют линейно деформируемыми.

В этих системах определение внутренних сил и перемещений подчиняется принципу независимости воздействий (принцип суперпозиции). Внутренняя сила S в i-ой связи от суммы n воздействий равна сумме внутренних сил в этой же связи, возникающих от каждого воздействия:

Статически определимые неизменяемые системы обладают следующими свойствами:

1) при отсутствии нагрузки все внутренние силы равны нулю (в противном случае система мгновенно изменяема);

Рис.1.2.1

2)под действием нагрузки усилия в любой связи имеет только одно значение (в противном случае система мгновенно изменяема);

3)если к блоку (диску) приложена уравновешенная система сил, то усилия во внешних связях этого блока (диска) равны нулю (рис.1.2.1,а);

4)усилия во внешних связях блока (диска) не изменятся, если силы заменить их равнодействующими или наоборот, т.е. произвести эквивалентное преобразование нагрузки

(рис.1.2.1,б);

5)нагрузка, действующая на дополнительные части системы, передается на главные части, а от последних на дополнительные не передается (рис.1.2.1,в,г), где балка AD является главной, а балка DC – дополнительная часть системы (VA ,VB , VC – вертикальные опорные реакции).

1.2. 2. Статический метод: способ вырезания узлов, способ сечений, способ моментной точки и способ проекций.

Этот способ основан на способе сечений. Любая часть системы, находящейся в равновесии, также находится в равновесии. К отсеченной части можно применять уравнения статики, содержащие как внешние силы, так и искомые внутренние усилия.

Применительно к шарнирно-стержневым конструкциям (фермам) с узловой нагрузкой способ сечений разделяют на способ вырезания узлов и способ моментной точки. Обычно силы в разрезанных стержнях предварительно принимают растягивающими, направляя их от узла. Отрицательный знак в решении говорит о том, что стержень сжат.

Способ вырезания узлов заключается в том, что мысленно вырезают узел, к которому приложены внешние силы (если они есть) и прикладывают продольные силы Ni в разрезанных

стержнях. Для каждого узла составляют два уравнения статики ( X =0, Y =0). Для всей фермы

2U уравнений, где U-число узлов.

На основе способа вырезания узлов можно установить следующие признаки нулевых стержней:

1)в ненагруженном двухстержневом узле плоской фермы оба стержня являются нулевыми, если они не лежат на одной прямой (рис.1.2.2,а);

Рис.1.2.2

2)если в ненагруженном трехстержневом узле плоской фермы оси двух стержней лежат на одной прямой, то третий стержень является нулевым (рис.1.2.2,б);

3)то же, если вместо второго стержня приложена сила P (рис.1.2.2,в);

4)в ненагруженном трехстержневом узле пространственной фермы все стержни нулевые

(рис.1.2.2,г).

Способ моментной точки. Систему расчленяют на две части, каждую из которых рассматривают как отдельный диск. Разрез проводят через i-ый стержень, усилие в котором

необходимо определить. Затем для одной из частей фермы составляют уравнение моментов ( M

ki=0), содержащее нагрузку и лишь одну неизвестную силу Ni . В этом уравнении ki – моментная точка для i-го стержня, лежащая на пересечении других разрезанных стержней.

При удалении моментной точки в бесконечность (при параллельности других разрезанных стержней) уравнение моментов «переходит» в уравнение проекций Y=0, где ось «у» перпендикулярна параллельным разрезанным стержням. В этом случае способ называют способом проекций.

1.2.3. Основы кинематического метода.

Кинематический метод основан на применении принципа возможных перемещений, который заключается в следующем. Если система находится в равновесии, то сумма работ всех приложенных к ней сил возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю. (Возможное перемещение – любое бесконечно малое перемещение, допускаемое связями, наложенными на систему).

Для определения усилия (реакции) S в i-й связи ее разрезают (устраняют), а вместо нее прикладывают соответствующие равные и противоположно направленные усилия Si. Полученной системе задают возможные перемещения и составляют уравнения работ всех сил, включая усилие

S:

где РK – внешние силы, действующие на систему;

k и s - перемещения точек приложения сил РK и S по направлениям их действия; S – усилие в устраненной связи.

Наиболее целесообразен кинематический метод для расчета плоских сложных статически определимых систем, когда требуется определить усилие в одной связи. Неизменяемая система при отсутствии лишних связей в случае удаления одной связи превращается в механизм (I=0). Все

возможные перемещения точек механизма необходимо связать между собой одним параметром, который при использовании уравнения (1.2.3) сократится.

При определении перемещений в виду их малости точки диска считают перемещающимися не по дуге окружности с центром в мгновенном центре вращения, а по касательной к дуге.

1.2.4. Основы метода замены связей.

По этому методу расчет заданной сложной схемы заменяется расчетом другой, преобразованной (заменяющей) схемы. Последняя должна быть также как и заданная геометрически неизменяемой и статически определимой, но более простой. Ее получают из заданной системы путем замены связей.

Действие устраненных из заданной системы связей заменяется действием неизвестных сил Xi. Но при этом накладывается условие: суммарное усилие (реакция) в каждой j-ой введенной связи от действия на систему всех сил (нагрузки P и неизвестных сил Xi) должно быть равно нулю.

При замене только одной связи, это условие имеет вид: R1P – реакция во введенной связи от действия нагрузки.

Из уравнения (1.2.4) находят X1 , а затем внутренние силы Si в i-ой связи в соответствии с принципом независимости действия сил:

где S i1 - усилие в i-ой связи от действия сил X 1=1 (черточка сверху говорит о том, что сила безразмерная); SiP - усилие в i-ой связи от действия нагрузки.

В этом случае расчет преобразованной системы выполняется дважды: отдельно на нагрузку и

на силу X 1=1. Однако при расчете вручную это гораздо проще, чем выполнять расчет сложной системы (не преобразованной) путем решения системы алгебраических уравнений высокого порядка.