Универсальный контроль решения по любому из этих методов заключается в том, что перемещение j по направлению любой отброшенной j-й связи, вычисленные по формуле (1.5.9), должно быть равно нулю; также должна быть равна нулю реакция Rj , вычисленная по формуле (1.5.8), в любой выделенной j-й связи.
1.5.3. Метод сил
Основной системой метода сил является неизменяемая и статистически определимая (хотя и не обязательно) система, полученная из заданной путем устранения всех лишних связей. Основных систем в методе сил множество. Каждой основной системе соответствуют свои основные неизвестные - Xi.
Число канонических уравнений (кинематической эквивалентности) всегда равно числу удаленных связей:
δ11Х1 |
+ δ12Х2 |
+ ... + δ1nХn + 1р = 0; |
|
δ21Х1 |
+ δ22Х2 |
+ ... + δ2nХn + 2р = 0; |
(1.5.10) |
……………………………………..
δn1Х1 + δn2Х2 + ... + δnnХn + nр = 0.
Единичные коэффициенты δik и свободные члены iр представляют собой перемещение и определяются по формуле Мора. Для плоских рам
|
|
|
|
i2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
p0dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|||
δii = |
|
|
M |
; δik = |
|
Mi Mk dz |
; ip = |
|
; |
(1.5.11) |
|||||||||
|
EI |
|
|
EI |
|
EI |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Mop - моменты в сечениях основной системы от заданной нагрузки.
Для рам, имеющих затяжку – ненагруженный стержень с шарнирами на концах (рис.1.5.1,б), собственное перемещение
|
|
|
|
i2 dz |
|
зат. |
|
|
δii = |
|
|
M |
+ |
; |
(1.5.12) |
||
|
EI |
ЕА |
||||||
|
|
|
|
|
||||
где - длина стержня-затяжки.
зат.
В матричной форме система уравнений (1.5.10) записывается так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D X Dp |
0, |
|
|
(1.5.13) |
||
где |
|
- матрица-столбец основных неизвестных; |
|
- матрица-столбец свободных членов; D - |
||||
X |
D p |
|||||||
матрица единичных коэффициентов: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
δ11δ12 ...δ1n |
|
|
|
|||
|
|
δ |
δ |
...δ |
|
|
|
(1.5.14) |
|
|
D |
21 22 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δn1δn2 |
...δnn |
|
|
|
||
Элементы δii, расположенные по главной диагонали, называются главными (собственными) единичными коэффициентами. Они всегда положительны. Остальные элементы δik (k i) называются побочными, они могут иметь любой знак и быть равными нулю.
Основную систему стараются выбирать таким образом, чтобы как можно больше побочных коэффициентов обратились в нуль.
По формулам (1.5.11) находят коэффициенты δik и свободные члены ip. Затем, решая систему (1.5.10), определяют силы Xi. После этого любую внутреннюю силу Sj в соответствии с принципом суперпозиции рассчитывают по формуле:
|
Sj = S0jp + sj1X1 + sj2X2 + ... + sjkXk + ... + sjnXn, |
(1.5.15) |
где S0 |
- внутренняя сила в j-м сечении основной системы от нагрузки; |
sjk – то же, но от |
jp |
|
|
соответствующей силы Xk = 1.
В соответствии с выражением (1.5.15) строят эпюры внутренних сил в заданной системе.
Правильность определения коэффициентов δik и свободных членов ip можно проверить |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
перемножением эпюр: суммарной единичной эпюры моментов |
М |
s |
М |
i |
самой на себя и, |
||||||||||||||
отдельно, на грузовую эпюру моментов М0 . При этом должны выполняться условия: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
s2dz |
|
|
|
|
|
|
M |
s M0p dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
δik |
и |
|
|
|
|
ip |
(1.5.16) |
|||||||
|
EI |
|
|
EI |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Однако такой контроль следует считать этапным, т.к. он не отражает правильности построения единичных и грузовых эпюр.
Универсальный контроль расчета системы методом сил заключается в кинематической проверке. Если вычисления правильны, то перемещение любой точки k по направлению соответствующей удаленной связи должно быть равно нулю, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
kp = |
|
|
Mk Mp dz |
0, |
(1.5.17) |
|
|
|
EI |
||||
|
|
|
|
|||
где М k - момент в любой (желательно новой) основной системе от силы Рk = 1, приложенной по направлению удаленной связи; Мр – момент в заданной системе от заданной нагрузки.
Для рамы с затяжками формула универсального контроля имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mk Mp dz |
|
|
Х |
|
|
|||
kp = |
|
|
|
|
|
|
|
зат. зат. |
0, |
(1.5.18) |
|
|
|
EI |
|
|
|
||||||
|
|
|
ЕА |
зат. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Хзат., Азат. – усилия в затяжках и площади их поперечных сечений.