Рис.1.4.6

Формулу Симпсона удобно использовать при приближенном вычислении интеграла Мора, когда

1.4.9. Определение перемещений от температурных и дислокационных воздействий

Формула Мора выражает возможную работу внутренних сил - го единичного состояния на деформациях m- го действительного состояния системы. Если действительное состояние

Здесь суммирование ведется по всем участкам системы, на которых произошло изменение температуры.

Для прямолинейных или ломаных стержней интегралы можно вычислить как площади

где N k и M k - площади единичных эпюр N k и M k .

Каждое слагаемое в выражении (1.4.32) берется со знаком “плюс”, если соответствующие деформации от температуры и от силы Р = 1 одного знака.

Пример. На рис.1.4.7,а изображена рама, у которой волокна стержней внутри нагреты на t1

= 10 C , а снаружи охлаждены на t2 = 20 C . Определить горизонтальные перемещения точки В.

Рис.1.4.7

Приложив силу P1 =1 в точке В по искомому направлению и построив эпюры M и N

Формулу для определения перемещений точек системы от дислокаций получим на основе теоремы о взаимности реакций и перемещений (1.4.20):

Mmk dm Pk km.

Разделив обе части этого уравнения на Pk и заменив индекс m на d, получим:

приложить соответствующую единичную силу и от ее действия реакции ri во всех i- х связях. При

перемножении этих реакций с дислокациями берется положительный знак, если реакции и перемещения имеют одно направление.

Пример. Определить вертикальное перемещение kd которой одновременно переместилось вертикально на d A

Рис.1.4.8

Для этого определим в заделке А (в связи, которая получила перемещение) реакции от силы Р1 1, приложенной по направлению искомого перемещения (рис.1.4.8,б). В соответствии с формулой (1.4.34) получим:

kd 1d A l A d A l A .

1.5.1.Статистически неопределимые системы

Статистически неопределимой называется система, расчет которой на основе одних уравнений статистики невозможен. Кинематическим признаком статистической неопределимости является наличие в их структуре лишних связей. Число лишних связей определяет степень статистической неопределимости n системы. Удаление лишних связей превращает статистически неопределимую систему в статистически определимую.

Взависимости от того, какие связи (внешние или внутренние) являются лишними, системы могут быть как внешне, так и внутренне статистически неопределимыми.

Встатистически неопределимых системах внутренние силы возникают не только от нагрузки, но также и от температурных и дислокационных воздействий.

Расчет статистически неопределимой системы начинают с определения ее степени статистической неопределимости. Для плоских рам, состоящих из замкнутых контуров, удобно использовать формулу

где n – степень статической неопределимости; k – число замкнутых контуров; m - число врезанных шарниров с учетом кратности.

При размыкании плоского замкнутого контура или стержня удаляются три связи (рис.1.5.1,а): две связи, препятствующие линейным перемещениям, и одна связь, препятствующая взаимному угловому перемещению сечений контура в месте разреза. Этим обобщенным перемещениям соответствуют обобщенные силы M, Q и N.

Рис.1.5.1

На рис.1.5.1, б показана рама с двумя контурами (земля считается замыкающей связью). Шарниры А и С – однократные, а шарнир Д – двукратный. Поэтому по формуле (1.5.1) находим

n 3 2 4 2.

Рама, изображенная на рис.1.5.1, в, 7 раз статически неопределимая ( n 3 3 2 7 ).

На рис.1.5.1,г,д показаны статистически определимые системы, полученные из заданных статистически неопределимых систем (рис.1.5.1, б, в) после удаления лишних связей.

1.5.2. Общие предпосылки методов расчета статистически неопределимых систем

Расчету подлежит не заданная статистически неопределимая система, а некоторая полученная из нее (преобразованная) система, которая должна быть ей эквивалентна в статистическом и кинематическом отношении – все условия и перемещения в эквивалентной системе должны быть такими же, как и в заданной.

Условия эквивалентности заданной и преобразованной систем выполняются при соблюдении принципа заменяемости связей, согласно которому:

1)любая i-я связь может быть удалена, если вместо нее приложены обобщенные силы Xi и принято, что взаимное перемещение, соответствующее этим силам, равно нулю, т.е.

2)любая i-я связь может быть введена, если при этом введенная связь получит соответствующее перемещение Zi и будет принято, что реакция (усилие) в этой связи равна нулю, т.е.

Система, полученная из заданной путем удаления связей или введения их, называется основной системой, а соответствующие ей неизвестные Xi и Z i – основными неизвестными.

Условие кинематической эквивалентности представляет собой равенство нулю обобщенного перемещения i от действия на преобразованную систему, как внешних воздействий, так и основных неизвестных Xi или Zi. Обозначая для общности рассуждений основные неизвестные через Yi, представим это условие в виде

где n – число основных неизвестных Yi, m – фактор внешнего воздействия.

Любой член этого уравнения, кроме последнего, можно представить в виде единичного перемещения δik на соответствующее неизвестной Yk:

где im – обобщенное перемещение i от внешнего воздействия m на основную систему.

Исходя из аналогичных рассуждений, запишем условие статической эквивалентности (1.5.3):

где rik – реакция в i-й введенной связи от Yk = 1; Rim - реакция в той же связи от внешнего воздействия.

Число уравнений (1.5.5), (1.5.6) равно числу n основных неизвестных. В совокупности они образуют систему канонических уравнений:

сn1Y1 + сn2Y2 + ... + сnkYk + ... + сnnYn + Cnm = 0;

где сik – единичные коэффициенты (δik или rik), не зависящие от внешнего воздействия; сim – свободные члены ( im или Rim), зависящие от внешнего воздействия.

Вычислив коэффициенты сik и свободные члены сim из решения системы n неизвестными (1.5.7), находят величины Yi. Затем в соответствии с принципом суперпозиции определяют усилия Sj в

где Sjm – усилие в j-й связи; jm перемещение j-го узла от внешнего воздействия в основной системе. Если основная система получена из заданной только путем удаления связь и основными неизвестными являются силы Xi, то метод расчета называют методом сил; если основная система получена из заданной только путем наложения связей и основными неизвестными являются перемещения Z i, то метод расчета называется методом перемещения.

Существует также смешанный метод расчета, при использовании которого основную систему получают путем одновременного удаления и наложения связей (основные неизвестные: силы Xi и перемещения Zi).