где t1 и t2 температуры в краевых волокнах сечения; коэффициент линейного расширения. Подставляя выражения (1.4.13) в формулу (1.4.11), получаем

1.4.4. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Рассмотрим два случая последовательного загружения балки обобщенными силами: 1) сначала

Полученная аналитическая зависимость выражает собой теорему о взаимности работ: в линейно деформируемом теле возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил второго состояния, равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния (рис.1.4.3,в,г). Эта теорема носит имя теоремы Бетти-Рэлея.

Теорема о взаимности перемещений может быть представлена как частный случай теоремы о взаимности работ. Пусть на балку в первом состоянии действует единичная сила Р1 =1, а во втором состоянии - Р2 =1. На основании теоремы о взаимности работ, приравнивая возможные

работы Р1 1 = Р2 2 ,получим 12 21 .

связях возникнут реакции Rkm (первый индекс соответствует связи, реакция которой определяется, а второй – состоянию системы). В соответствии с выражением (1.4.16):

где rkm ,rmk - единичные реакции.

Рис.1.4.4

Отсюда следует теорема о взаимности реакций: реакция в -ой связи от единичного перемещения m-ой связи равна реакции в m-ой связи от единичного перемещения -ой связи.

1.4.6. Теорема о взаимности реакций и перемещений

Если - е состояние статически неопределимой системы вызвано действием силы Pk , а m - е состояние - перемещением (дислокацией) dm (рис.1.4.4,в,г), то силы - го состояния системы совершат на перемещениях m - го состояния возможную работу Rmk dm Pk km .

Работа m- го состояния на перемещениях -го состояния будет равна нулю поскольку в -м

В этом заключается теорема о взаимности реакций и перемещений: реакция в m-й связи от единичной силы Pk dm =1 связи и взятому с противоположным знаком.

1.4.7. Общая формула для определения перемещений плоской стержневой системы (метод Мора)

Принцип возможных перемещений позволяет получить общую формулу определения перемещений в различных сооружениях (балках, рамах, фермах и т.д.).

Определим, например, перемещение какой-либо точки рамной системы, вызванное приложением к ней нагрузки. Рассмотрим систему в двух состояниях. В первом (действительном) состоянии система загружается заданной нагрузкой (рис.1.4.5,а), а во втором (вспомогательном) –

к системе в точке приложена лишь одна внешняя единичная сила Pk 1 , по направлению которой и определяется искомое перемещение kp (рис.1.4.5,б)

Рис.1.4.5

Выразим возможную работу внешней силы Pk 1 на перемещении kp (вызванном действием нагрузки Р) через возможную работу внутренних сил, пользуясь формулой (1.4.12). Учитывая, что Wkp 1 kp , получаем формулу Мора (или интеграл Мора) для определения перемещений в плоских системах, состоящих из прямолинейных стержней:

внутренние силы от действия нагрузки.

Формула Мора для пространственных систем, состоящих из прямолинейных стержней, имеет вид:

При использовании формулы Мора обычно не учитывают те слагаемые, влиянием которых можно пренебречь. При расчете балок и рам пренебрегают деформациями растяжения (сжатия) и сдвига. Для плоских рам и балок формула Мора имеет вид:

Однако, деформациями сдвига не рекомендуется пренебрегать в системах с короткими стержнями ( l 5h , где h – высота поперечного сечения).

Для плоских и пространственных шарнирных ферм формула Мора принимает вид:

1.4.8. Вычисление интегралов Мора

единичному состоянию системы), вычисление интеграла (1.4.27) можно выполнять по способу

приведем некоторые формулы, удобные для вычислений. Если обе эпюры z линейны на

участке интегрирования, т.е. представляют собой трапеции (рис.1.4.6,в,г), то согласно (1.4.25) получим:

где M C и M C - моменты посредине участка li , определяемые по единичной и грузовой эпюрам моментов соответствию (рис.1.4.6,д,е).