Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Проектирование и эксплуатация турбин АЭС» для специальности 1-43 01 08 «Проектирование и эксплуатация атомных электрических станций»

образом, в канале рабочих лопаток периодически изменяется скорость потока,

т.е. возникает явление, называемое периодической нестационарностью по-

тока в проточной части турбин. Во-вторых, изменение параметров потока во времени возникает при сравнительно быстрых изменениях режима работы турбины: изменениях мощности, начальных параметров рабочего тела и т.п.

Кроме двух описанных допущений для потоков в проточной части турбин часто делают и другие допущения — например, об отсутствии теплообмена между потоком и стенками каналов и др.

Рассмотрим основные уравнения одномерного движения сжимаемой жидкости, необходимые для описания процесса преобразования энергии в турбинной ступени и ее расчета: уравнения состояния, неразрывности (расхода), количества движения и сохранения энергии.

2.2 Уравнение состояния

Параметры потока газа в каждом сечении (в каждой точке, если поток неодномерный) связаны между собой уравнением состояния. Для идеального газа оно имеет вид (2.1):

где R – газовая постоянная.

Для пара с некоторым приближением можно применять в случаях, когда пар находится в перегретом состоянии при достаточном удалении от состоянии насыщения. Более точной для перегретого пара является зависимость (2.2):

Уравнение состояния для пара в общем случае, т.е. для всей области перегретого пара, а также для области влажного пара, имеет относительно громоздкий вид и практически используется только при расчетах на ЭВМ.

Широкое распространение в практике расчетов получили таблицы водяного пара и построенная на основе этих таблиц h,s-диаграмма водяного пара, которые позволяют с достаточной точностью проводить расчеты состояния пара в любой области.

Изменения состояния газа при переходе от одного сечения потока к другому (от одной точки к другой) могут быть самыми различными. В частности, процесс изменения состояния при неизменной температуре называется изотермическим, при неизменном давлении – изобарным, при отсутствии теплообмена между газом и окружающей средой и без потерь механической энергии

51

потока – изоэнтропийным. Каждый из перечисленных процессов изменения состояния может быть описан соответствующим уравнением. Используемый в дальнейшем изоэнтропийный процесс изменения состояния газа описывается известным уравнением изоэнтропы (2.3):

где k – показатель адиабаты.

Для пара показатель изоэнтропы в этом уравнении изменяется в зависимости от состояния: для перегретого пара k = l,26 … 1,33 и в среднем для приближенных расчетов можно принять k = l,3, для сухого насыщенного пара k = l,135. При расчетах с помощью h,s-диаграммы изоэнтропийное изменение состояния определяется вдоль линии s = const.

2.3 Уравнение неразрывности потока

Рассмотрим канал, в котором движение сжимаемой жидкости можно считать одномерным и установившимся. Сечениями 0-0 и 1-1, перпендикулярными направлению местной скорости потока, выделим участок канала (рис. 2.1).

Рис 2.1 К выводу уравнения неразрывности

На основании закона сохранения массы и условия неразрывности течения для установившегося движения можно считать, что масса газа, поступившая в выделенный участок канала через сечение 0-0, равна массе рабочего тела, вытекающей через сечение 1-1 в единицу времени, т.е. G0=G1. При нарушении этого равенства между сечениями 0-0 и 1-1 происходило бы накопление или уменьшение количества газа и, следовательно, изменение параметров рабочего тела с течением времени, что противоречит условию установившегося движения. Расход массы рабочего тела за одну секунду в сечении 0-0 легко

52

подсчитывается, если известны параметры потока в этом сечении — скорость c0, удельный объем v0, а также площадь поперечного сечения F0 (2.4):

Таким образом, для любого поперечного сечения одномерного установившегося потока расход массы есть величина постоянная для данного потока, которая определяется по уравнению (2.6):

Из интегральной формы уравнения неразрывности (2.6) легко может быть получена дифференциальная форма этого уравнения. Логарифмируя и дифференцируя равенство (2.6), получаем (2.7):

Из уравнения (2.7) следует, что относительное приращение площади поперечного сечения потока определяется относительными приращениями скорости и удельного объема. Если относительное приращение скорости больше, чем приращение удельного объема, то площадь поперечного сечения потока должна уменьшаться с увеличением скорости потока – такая зависимость выполняется для дозвуковых потоков; если же приращение скорости меньше приращения удельного объема, то площадь сечения должна увеличиваться с увеличением скорости потока – такая зависимость выполняется для сверхзвуковых потоков. Справедливость этих закономерностей доказывается в курсе гидрогазодинамики.

Если в поперечном сечении канала параметры потока нельзя считать постоянными, вычисление расхода массы через это сечение может быть выполнено интегрированием по площади с учетом местных значений параметров потока во всех точках этого сечения (2.8):

2.4 Уравнение количества движения

Для одномерного установившегося потока рассмотрим элемент жидкости, выделенный из потока двумя поперечными сечениями с площадями F и F + dF, расположенными на расстоянии dx вдоль оси потока (рис. 2.2). На этот элемент жидкости действуют следующие силы: в сечении F – сила давления

верхности, и направленная слева направо, и сила сопротивления (трения) dS, направленная вдоль боковой поверхности элемента противоположно скорости потока.

Рис. 2.2 К выводу уравнения количества движения

На основании закона Ньютона сумма всех перечисленных сил равняется произведению массы выделенного элемента потока на его ускорение (2.9):

где S1 – сила сопротивления, отнесенная к единице массы потока.

Для одномерно установившегося потока давление является функцией од-

шегося потока в окончательном виде (2.11):

При отсутствии сил сопротивления (трения) на боковой поверхности потока и при изоэнтропийном характере уравнение (2.11) легко интегрируется на конечном участке потока между сечениями 0-0 и 1-1. Так как S1 = 0, то (2.12):

а условие постоянной энтропии позволяет найти удельный объем из уравнения изоэнтропы (2.3):

=p1k

vv0 0

p1 k

Обозначив скорость в сечении 0-0 c0, а в сечении 1-1 c1t (теоретическая скорость, так как процесс изменения состояния между сечениями изоэнтропийный), в результате интегрирования (2.12):

получим уравнение количества движения (уравнение импульсов) для одномерных изоэнтропийных потоков в интегральной форме (2.12):

2.5 Уравнение сохранения энергии

Рассмотрим установившийся поток пара или газа через произвольную систему (рис. 2.3), в которой поток входит через сечение 0-0 и выходит через сечение 1-1. Расход среды через оба сечения одинаков. Как известно из термодинамики, в сечении 0-0 каждый килограмм пара или газа в потоке обладает

55

т.е. для 1 кг массы рабочего тела сумма энтальпии и кинетической энергии есть величина постоянная для данного потока.

Часто энтальпию выражают через удельный объем и давление, и соответственно уравнение сохранения энергии записывается в следующей форме

(2.17):

При использовании в тепловых расчетах h,s-диаграммы и таблиц водяного пара следует уравнение сохранения энергии принимать в виде (2.16).

Важно подчеркнуть, что уравнения (2.16) и (2.17) применимы при наличии внутренних процессов перехода части кинетической энергии в тепловую энергию (в повышение энтальпии) вследствие наличия как внутреннего трения

впотоке, так и трения на поверхностях канала.

Вчастном случае изоэнтропийного течения идеального газа уравнение энергии (2.16) совпадает с уравнением импульсов (2.12), а уравнение (2.18) – с уравнением (2.13), в чем легко убедиться, применяя закон изоэнтропийного процесса pvk = const к соотношениям (2.16) и (2.18).

2.6 Полные и статические параметры потока рабочего тела

Одномерные течения в каналах разделяются на конфузорные и диффузорные.

Конфузорными называются такие течения в каналах, когда скорость рабочего тела увеличивается в направлении потока. Диффузорными называются течения, в которых скорость рабочего тела уменьшается в направлении потока.

В проточных частях турбомашин (паровых и газовых турбин, компрессоров) конфузорными являются течения в каналах сопловых и рабочих лопаток турбин, во входных патрубках этих машин; диффузорными являются течения в каналах направляющих и рабочих лопаток компрессоров, в выходных патрубках паровых и газовых турбин и компрессоров, в диффузорных элементах стопорных и регулирующих клапанов. Основные уравнения одномерных потоков, приведенные ранее, позволяют рассчитывать течения в каналах турбомашин. Из уравнения сохранения энергии следует, что при конфузорном течении, например в соплах турбины, вдоль потока вместе с увеличением скорости рабочего тела уменьшается его энтальпия; в диффузорных потоках, наоборот, энтальпия растет, так как скорость падает. В сопловых каналах вместе с падением энтальпии уменьшается и давление вдоль канала, т.е. в этом случае

57

говорят о расширении рабочего тела, и наоборот, в диффузорных каналах давление увеличивается по направлению потока, в этом случае говорят о сжатии рабочего тела.

Канал, в котором поток плавно ускоряется, называется сопловым или просто соплом.

На основании уравнения количества движения (2.13) можно записать следующее выражение (2.19):

Таким образом, кинетическая энергия потока определяется изменением термодинамических параметров и начальной кинетической энергии. Когда ве-

личина с2 2 мала и ею можно пренебречь, скорость потока является лишь 0

функцией термодинамических параметров и формула (2.13) упрощается. Если начальной кинетической энергией пренебречь нельзя, то можно предположить, что она возникла в результате изоэнтропийного расширения пара от некоторых фиктивных параметров ( p0 ,v0 ) при которых начальная скорость равнялась нулю, до параметров перед соплом (p0, v0). Иными словами параметры p0 ,v0 возникнут в том случае, если поток, текущий со скоростью с0, изоэнтропийно затормозить до нулевой скорости. Отсюда принято называть такие параметры

– параметрами изоэнтропийного заторможенного потока, или параметрами торможения.

Тогда можно записать следующие выражения:

полных давлений) называются статистическими.

Найти параметры торможения можно следующими способами:

1) если расчет ведется при помощи h,s-диаграммы, откладывая по изоэн-

(2.15) должно быть дополнено уравнением изоэнтропы pvk = const.

3) если скорость с0 невелика и не превышает 100-150 м/с, то для определения параметром торможения удобно пользоваться следующими приближенными формулами (2.16):

2.7 Критические параметры потока

Для характеристики потоков важными являются понятия скорости звука и критической скорости потока. Скорость звука определяется по статическим параметрам потока (2.17):

Критической скоростью потока скр называется скорость потока в том сечении, где скорость потока равна местной скорости звука с=а=скр. Сечение, где скорость потока достигает критической скорости, называется критическим. Параметры потока этого сечения называются критическими.

Как следует из уравнения (2.17), местная скорость звука зависит только от статической температуры в том сечении потока, в котором вычисляется скорость звука. Следовательно, критическая скорость потока определяется по его критической температуре:

скр = kRTкр

Для расчетов потока важным являются его безразмерные параметры. К ним относятся относительное давление , равное отношению давления (статического) к давлению полного торможения в данном сечении, относительная температура, удельный объем и т.п. К безразмерным параметрам потока относятся также безразмерные величины M и . Число M равно отношению скорости потока в данном сечении к скорости звука с/a и называется числом Маха,

59