Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности 6-05-0716-01 «Метрология, стандартизация и контроль качества»

Таблица 9.4

Решение. Введем исходные данные, расположив каждую случайную величину в отдельном столбце (на рис. 9.9 показаны первые 14 строк исходных данных).

Рис. 9.9 – Исходные данные для регрессионной модели

Оценим наличие и силу линейных связей между зависимой величиной и каждым из факторов X1 и X2 . Для этого рассчитаем коэффициенты ли-

нейной корреляции, введя в ячейки F1 и F2 формулы = КОРРЕЛ(A2:A29; C2:C29) и = КОРРЕЛ(B2:B29; C2:C29). Получим rX1Y 0,475 и rX 2Y 0,875 .

Таким образом, связь между заболеваемостью и содержанием CO2 является умеренной, а между заболеваемостью и запыленностью высокой.

Заполним диалоговое окно, как показано ни рис. 9.10.

191

Для каждого коэффициента рассчитана также стандартная ошибка и выборочное значение t-статистики (отношение оценки параметра к ее стандартной ошибке). Для оценки достоверности отличия каждого параметра от нуля найдем критическое значение критерия Стьюдента для уровня значимости

Сравнивая это значение с t-статистикой для каждого параметра, убеждаемся, что для a0 и a2 выполняется условие t tкр (13,118 > 2,056 и 8,251 >

2,056), а для a1 – нет (1,754 < 2,056). Поэтому параметры a0 и a2 можно считать достоверно отличны от нуля, а параметр a1 – нельзя.

Аналогично результаты дает столбец P – значение для гипотезы о равенстве параметра нулю. Так как для a0 и a2 эта вероятность значительно

меньше уровня значимости 0,05 (1,039 10 12 0,05 и 1,362 10 8 0,05), нулевая гипотеза отклоняется. Для a1 вероятность принятия нулевой гипотезы получилась немного больше, чем уровень значимости 0,09 0,05 , что не

дает права отвергнуть ее. Таким образом, фактор содержания CO2 нуждается в дополнительном исследовании. Возможно, его влияние на заболеваемость носит нелинейный характер. Возможно также, что фактических данных недостаточно для доказательства его влияния.

Точность регрессионной модели оценивается на основании коэффици-

ента детерминации R2 0,7916 (соответствующая строка в таблице Регрес-

сионная статистика). Поскольку это значение близко к 0,8, можно говорить о том, что точность модели удовлетворительная.

Рассчитаем теперь прогноз заболеваемости, подставив в уравнение регрессии заданные в условии значения X1 и X2 . Для этого занесем эти значе-

ния в ячейки Excel, как показано на рис. 9.12. В ячейку J4 запишем формулу уравнения регрессии, причем в качестве параметров можно использовать ссылки на соответствующие ячейки выходного диапазона. Результат расчета по этой формуле (прогнозные значения заболеваемости) составляет приблизительно 1162.

Рис. 9.12 – Расчет прогноза заболеваемости

193

Если есть необходимость посмотреть матрицу коэффициентов корреляции и описательные статистики рядов, то надо поставить галочку у Описа-

тельной статистики. (Review descriptive statistics) в стартовом окне модуля.

Появится промежуточное окно с названием Просмотр описательных статистик (Review Descriptive Statistics), где можно кнопкой Среднее и стандартное отклонение (Mean & Standard deviation) получить значения ос-

новных числовых характеристик факторов (рис. 9.15 – 1), а кнопкой Корреляция (Correlation) получить матрицу коэффициентов корреляции (рис. 9.15 – 2).

1 2

Рис. 9.15 – Просмотр описательных статистик

В модуле имеются на выбор три модели множественной регрессии: 1) стандартная; 2) с автоматическим включением новых предикторов; 3) с автоматическим исключением предикторов из заданного набора.

Стандартная модель работает «по умолчанию» и сразу выводит окно с результатами подбора уравнения регрессии. Но если нужно использовать модели с автоматическим включением или исключением предикторов, то необ-

ходимо поставить галочку у Пошаговая и гребневая регрессия (Advanced Options) (рис. 9.14).

В окне Review Descriptive Statistics нажмем кнопку ОК.

Диалоговое окно результатов (Multiple Regression Results) состоит из двух частей – информационной и функциональной (рис. 9.16).

В информационной (верхней) части окна результатов важными являются значение множественной корреляции R и коэффициента детерминации R2 . Анализировать надо скорректированное значение R*2 (adjusted R2), пред-

ставляющее собой его несмещённую оценку. Если R*2 мало, значит, не учтено влияние каких-то факторов, существенных для процесса формирования Y .

В нашем случае коэффициент детерминации R*2 0,775.

Считается, что набор предикторов достаточно хорошо отражает условия формирования переменной Y , если R*2 0,5.

Здесь же приводится F-статистика Фишера проверки адекватности модели данным. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициентов уравнения регрессии. По приведённому в окне уровню значимости р, со-

195

ответствующему F-статистике, можно сделать предварительное заключение о пригодности уравнения. Если уровень значимости p p крит (по умолчанию

p крит 0,05), то уравнение регрессии с данным набором предикторов пользоваться не имеет смысла.

Рис. 9.16 – Окно результатов

Важную информацию несут beta-коэффициенты. Это стандартизованные значения коэффициентов уравнения регрессии. Преимущество beta коэффициентов в том, что они позволяют сравнивать относительный вклад каждой независимой переменной в прогнозе. Их интерпретация подобна анализу частных коэффициентов корреляции. Например, согласно информации, в окне результатов рисунка 9.16, фактор Х2 вносит в прогноз величины значительно больший вклад, чем Х1. Значимые beta -коэффициенты выделяются красным цветом. Факторы, имеющие незначимые beta-коэффициенты, из уравнения регрессии удаляются как неинформативные.

Нажав на кнопку Summary: Regression results, получим таблицу результатов (рис.9.17):

Рис. 9.17 – Результаты регрессионного анализа

196

Обобщённый коэффициент корреляции равен: R 0,8897 . Остаточная дисперсия – Dост 39,332 1548,8. В столбце B указаны оценки неизвестных

Адекватность модели данным доказывается анализом остатков.

Чтобы уравнением регрессии можно было пользоваться на практике, нужно показать, что остатки независимы и распределены по нормальному закону.

В модуле для проверки независимости остатков используется статистика Дарбина – Уотсона, являющаяся стандартным методом обнаружения их автокоррелированности.

Статистика d Дарбина – Уотсона используется для проверки гипотезы о том, что остатки построенной регрессионной модели некоррелированы (корреляции равны нулю), против альтернативы: остатки связаны авторегрессионной зависимостью. Вычисленное значение статистики d надо сравнить с двумя критическими: нижним DW1 и верхним DW2 .

Если d DW1 (или 4 d DW1), то в остатках имеется автокорреляция на заданном уровне значимости.

Если d DW2 (или 4 d DW2 ), то автокорреляция отсутствует.

Если DW1 d DW2 , то случай сомнительный, нужны дополнительные исследования.

Когда расчётное значение статистики d превышает 2, то с DW1 и DW2 сравнивается не сам коэффициент d , а выражение 4 d .

Критические точки для данного числа наблюдений и числа факторов находят в таблице, составленной для определенного уровня значимости. В таблице 9.5 приводятся значения критических точек статистики ДарбинаУотсона для уровня значимости 0,05.

197

Таблица 9.5

Таблица критических точек статистики Дарбина – Уотсона

( – число наблюдений, – число факторов, = 0,05)

Вычислим статистику Дарбина-Уотсона для остатков в диалоговом окне

Анализ остатков (Residual Analysis) на вкладке Дополнительно (Advanced) (рис. 9.18, 9.19).

Рис. 9.18 – Окно анализа остатков

С помощью таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона выясним, являются ли остатки независимыми.

198

Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Для данного временного ряда выполнить выравнивание (в па-

кете Excel):

а) методом скользящих средних (интервал m ); б) методом экспоненциального сглаживания ( 1 ).

Построить графики фактических и прогнозных значений. Визуально определить, какое из значений наиболее соответствует процессу, заданному временным рядом.

200