Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности 6-05-0716-01 «Метрология, стандартизация и контроль качества»

Контрольный пример 7.2. В табл. 7.1 приведены данные, полученные в результате эксперимента, целью которого являлось определение тесноты связи между объемом выпуска продукции (Y) и температурой определенного технологического процесса (x) (см. лабораторную работу 6, контрольный пример 6.3):

Таблица 7.1

Аппроксимировать статистическую связь между Y и x многочленом второго порядка. Проверить значимость модели. Определить коэффициент детерминации и остаточную дисперсию, сделать вывод. Найти доверительные интервалы для параметров модели. Задание выполнить в пакетах Excel и Statistica.

Решение. Введём исходные данные в пакете Statistica (рис. 7.13):

Работаем в модуле «Множе-

ственная регрессия»:

Statistics–Multiple Regression--– Variables; Dependent var: – Independent var: , ^2 –Ok – Input File – Raw Data – OK. В окне Multiple Regression Results имеем основные ре-

зультаты. Нажав кнопку Summary: Regression result, получим таблицу

результатов (рис. 7.14).

Рис. 7.13 – Исходные данные

В столбцах приведены: B – значения оценок неизвестных коэффициентов регрессии; St.Err. of – стандартные ошибки оценки коэффициентов; t – значение статистики Стьюдента для проверки гипотезы о нулевом значении коэффициента; p-level – уровень значимости отклонения этой гипотезы.

Рис. 7.14 – Результаты регрессионного анализа

161

Аппроксимирующая кривая yx 712,05 2,391x 0,002x2 .

Значение коэффициента детерминации R*2 0,961386 (рассматривается

именно скорректированный коэффициент детерминации, так как n 30 ) достаточно велико. Следовательно, полученная эмпирическая функция достаточно точно описывает зависимость Y от x.

Так как ост 1,9074 (Standard error of estimate – стандартная ошибка

.помощью статистической процедуры «Регрессия». Введем исходные данные (рис. 7.15).

Воспользуемся командой Данные – Анализ данных. В открывшемся окне выделим процедуру Регрессия и щёлкнем на кнопке ΟΚ. Заполним диалоговое окно процедуры, как показано на рисунке 7.15.

Рис. 7.15 – Диалоговое окно процедуры Регрессия

Щелчком на кнопке OK запустим процедуру Регрессия. На данном рабочем листе появятся три таблицы результатов реализации процедуры (рис. 7.16).

F18, F19) параметров регрессии a0, a1, a2 , запишем выборочное уравнение полиномиальной регрессии yx 712,105 2,391x 0,0017x2 .

Близкий к единице коэффициент детерминации (ячейка F6), большое расчётное значение статистики F (ячейка I12) и малая значимость F (ячейка J12) свидетельствуют о высокой адекватности полиномиальной модели.

162

4) Оценить результаты аппроксимации. Для каждого из полученных эм-

пирических формул вычислить сумму (невязку) Yi y(xi ) 2 . Сравнивая

i

эти суммы, выбрать эмпирическую формулу, которая более точно описывает результаты эксперимента. Вычислить коэффициент детерминации и остаточную дисперсию.

Задания выполнить в пакете Mathcad.

Решение.

1) Введём исходные данные и построим точечный график зависимости

(корреляционное поле) (рис. 7.17):

Рис.7.17. Построение корреляционного поля

Из графика видно, что в качестве аппроксимирующей функции можно выбрать нелинейную модель.

Замечание 7.1. Для того чтобы в пакете Mathcad получить точечную диаграмму, необходимо щелкнуть по графику два раза мышкой, в появившемся диалоговом окне перейти на вкладку «Трассировка» и выполнить следующие действия (см. рис. 7.18)

164

Вычислим невязку для данной зависимости:

Остаточная дисперсия и коэффициент детерминации:

Аналогично получаем:

3)Логарифмическая аппроксимация x a0 a1 ln x.

Линеаризация: Получение параметров a0 и a1

166

Невязка и коэффициент детерминации:

4) Параболическая зависимость x a0 a x1.

Невязка и коэффициент детерминации:

167

5) Экспоненциальная зависимость x a0 a1ex .

Невязка и коэффициент детерминации:

Внесём основные результаты в следующую таблицу:

Анализируя полученные результаты, делаем вывод, что наиболее точно описывает зависимость между величинами X и Y логарифмическая функция (наименьшая невязка и наибольший коэффициент детерминации).

Задания для самостоятельной работы Задание 1. Используя данные своего варианта из лабораторной работы

№ 6 (задание 1):

168

1)Аппроксимировать статистическую зависимость между этими величи-

нами линейной функцией yx a1x a0 проверить модель на значимость (адекватность).

2)Вычислить коэффициент детерминации, сделать вывод.

3)Построить корреляционное поле и линию регрессии на корреляционном поле. В пакете Statistica провести анализ остатков.

Принять 0,05.

Задания выполнить в пакетах Statistica и Excel.

Задание 2. Используя данные своего варианта из лабораторной работы № 5 (задание 3) найти оценки параметров модели yx a0 a1x a2x2 .

Проверить значимость модели. Определить коэффициент детерминации. Найти доверительные интервалы для параметров модели. Принять 0,05.

Построить корреляционное поле и линию регрессии на корреляционном поле. Задание выполнить в пакетах Excel и Statistica.

Задание 3. В таблице находится выборка (x, y). Необходимо:

1)Построить корреляционное поле;

2)По виду полученной диаграммы подобрать 3-4 типа функциональных зависимостей. Рекомендуется выбирать функции с двумя линейно входящи-

ya0 a1ex ;

3)Провести аппроксимацию методом наименьших квадратов;

4)Оценить результаты аппроксимации. Для каждого из полученных эм-

пирических формул вычислить сумму S Yi y(xi ) 2 . Сравнивая эти сум-

i

мы, выбрать эмпирическую формулу, которая более точно описывает результаты эксперимента. Вычислить коэффициент детерминации.

Задания выполнить в пакете Mathcad.

169

Лабораторная работа № 8. Непараметрические методы математической статистики

Необходимые теоретические сведения для выполнения лабораторной работы находятся в теоретическом разделе – тема 5.1.

Контрольный пример 8.1. Предполагается, что один из двух приборов, определяющих скорость автомобиля, имеет систематическую ошибку. Для проверки этого предположения определили скорость 10 автомобилей, причём скорость каждого фиксировалась одновременно двумя приборами.

В результате получены следующие данные:

Позволят ли эти результаты утверждать, что второй прибор действительно даёт завышенные значения скорости? Принять 0,1. Задачу решить

с помощью пакета Statistica, используя критерий знаков и знако-ранговый критерий Вилкоксона.

Решение. Критерий знаков является непараметрической альтернативой t- критерию Стьюдента в случае зависимых выборок, который применяется, когда проводится два измерения (например, в различных условиях) одних и тех же объектов и необходимо установить наличие или отсутствие различия результатов.

Для применения этого критерия требуются очень слабые предположения (например, однозначная определенность медианы для разности значений).

При нулевой гипотезе (отсутствие эффекта обработки) число положительных разностей имеет биномиальное распределение со средним, равным половине объема выборки, основываясь на этом можно вычислить критические значения.

Введем исходные данные (рис. 8.1):

170