-7-07-~3

примыкающего к ней сечения, вследствие чего в заделке возникают одновременно три реакции:

две взаимно перпендикулярные сосредоточенные силы R и H, препятствующие линейному перемещению опорного сечения в силовой плоскости;

момент в заделке m, т. е. момент реактивной пары сил, препятствующей угловому перемещению или повороту плоскости опорного сечения вокруг оси Z, перпендикулярной плоскости XY. Такая опора имеет три связи (рис. 2.7, а, б).

Рис. 2.7. Заделка

Внешние силы классифицируются следующим образом.

По способу приложения различают силы объемные и поверхностные.

Объемные силы распределяются непрерывно по всему объему тела. Примером таких сил могут служить силы тяжести, силы инерции, силы, создаваемые магнитными полями.

Силы, действующие на какую-либо наружную поверхность элемента,

называются поверхностными.

Поверхностные силы в свою очередь подразделяются на сосредото-

ченные и распределенные.

Сосредоточенными называют силы F и пары сил – моменты m, передающиеся на элемент конструкции через площадку незначительных размеров по сравнению с размерами всего элемента.

Cилы имеют размерность ньютон, килоньютон (Н, кН); моменты – ньютон-метр, килоньютон-метр (Н·м, кН·м).

Следует иметь в виду, что сосредоточенных сил (моментов) в природе не существует, это понятие введено для упрощения расчетов; малую площадку, через которую передается сила, считают не имеющей размеров, т. е. полагают,

что сила или момент действует в точке (рис. 2.8, а, б).

Распределенными нагрузками называют силы, приложенные непрерывно по некоторой длине или по площади на поверхности бруса.

Нагрузка, распределенная по длине, имеет размерность ньютон на метр или килоньютон на метр (Н/м или кН/м).

21

Рис. 2.8. Поверхностные силы

Распределенная нагрузка характеризуется интенсивностью распределенной нагрузки q, численно выражаемой величиной силы, приходящейся на

По характеру воздействия на тело нагрузки (m, F, q) могут быть подразделены на статические, динамические и повторно-переменные. Графи-

чески эти нагрузки можно представить на рис. 2.9.

m, F, q

Рис. 2.9. Примерный характер изменения нагрузки во времени

Статическая нагрузка прикладывается к элементу конструкции, возрастая постепенно от нуля до полной величины, и затем в течение более или менее

22

длительного промежутка времени T не изменяет или почти не изменяет своей величины.

Динамическая нагрузка прикладывается к элементу конструкции сразу (или за малый промежуток времени T) всей своей величиной и в ряде случаев в момент приложения имеет некоторую скорость, а следовательно, запас кинетической энергии. Детали машин во многих случаях подвергаются ударному воздействию нагрузок, связанных с движением этих деталей. Наличие ускорений при движении сопровождается возникновением сил инерции. Эти силы и обусловливают ударный характер нагрузок на детали машин.

Повторно-переменная нагрузка изменяется с течением времени, обычно по периодическому закону. Такой же эффект может возникать и от постоянной нагрузки в подвижных элементах.

2.2.2. Понятие о внутренних силах

Внутренними силами называются силы, которые возникают внутри бруса в

при приложении нагрузок.

Внутренние силы – это силы, которые возникают в теле в ответ на действие внешних сил – силы сопротивления изменению размеров и формы тела под действием нагрузок.

Из физики известно, что целостность и форма тела сохраняются за счет сил межатомного притяжения. При рассмотрении твердых тел считается, что в ненагруженном теле силы межатомных связей отсутствуют. А вот

дополнительные силы сопротивления нагрузкам – внутренние силы – изучаются в сопромате.

2.2.3. Особенности расчетных схем в сопротивлении материалов

Исходя из вышеизложенного, можно указать на некоторые особенности расчетных схем, которые используются в сопротивлении материалов. При составлении расчетных схем допускаются некоторые отступления от действительных условий работы конструкции.

Рассчитывая, например, канат АВ (рис. 2.10) на действие растягивающих усилий, условно заменяют его одной прямой линией АВ (осью каната), на концах которой приложены внешние растягивающие усилия F. Величины

23

растягивающих усилий определяются весом F подвешенных грузов. Потери на трение в блоках, а также вес самого каната не учитываются.

Рис. 2.10. Расчетная схема каната

Если рассчитывается брус АВ, несущий тележку с грузом (рис. 2.11, а), то на расчетной схеме весь брус условно заменяют тоже одной прямой линией (обычно считается, что нагрузка, действующая на балку, передается на ось) с опорами в точках А и В (рис. 2.11, б). Векторами F1 и F2 обозначаются сосредоточенные силы, выражающие усилия, передающиеся на брус колесами тележки. Если конструкция тележки симметрична, то

F1 F2 G2 ,

где G – вес тележки с грузом.

Рис. 2.11. Расчетная схема бруса с тележкой

При составлении расчетных схем необходимо иметь в виду, что при составлении расчетных схем некоторые правила теоретической механики

24

применять нельзя. Так обстоит дело, например, с переносом сил по линии их действия и с заменой сил их равнодействующей (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Влияние переноса сил на деформацию стержня

На стержень в точке А действует сила. Если эту силу по линии действия перенести в точку В, то равновесие стержня не нарушится, реакции в точках опоры не изменятся, но характер деформации стержня изменится:

АС – на этом участке брус испытывает сжатие, а на СВ – не нагру-

жен (см. рис. 2.12, а);

АС– брусненагружен, СВ– брусиспытываетрастяжение(см. рис. 2.12, б). Замена системы сил на их равнодействующую резко изменяет форму

изгиба бруса (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Изменение формы изгиба балки при замене системы сил на их равнодействующую

25

В зависимости от поставленной задачи расчетная схема может видоизменяться. Никаких определенных рецептов в области составления расчетных схем не существует, т. к. и сами рассчитываемые детали, и условия их работы под действием нагрузки могут иметь множество вариантов.

2.3. Основные гипотезы о деформируемом теле

Упрощения в расчетные схемы и, естественно, в сами расчеты вносят и так называемые гипотезы, в которых декларируются некоторые допущения о процессах деформирования и соотношениях этих деформаций.

1. Гипотеза (принцип) начальных размеров.

Перемещения, возникающие в упругих телах под воздействием внешних сил, очень малы по сравнению с размерами рассматриваемых элементов.

Это допущение позволяет во многих случаях не учитывать изменения размеров тел при их деформациях и связанных с ними изменений в расположении сил.

Рассмотрим упругое тело под действием некоторой системы сил (рис. 2.14). Брус имеет длину l и жестко закреплен. На расстоянии а от заделки в точке 1 приложена сила F1 под углом α к горизонту. На конце консоли в точке 2 приложена сила F2.

Рис. 2.14. К гипотезе «принцип начальных размеров»

Вследствие деформаций тела:

а) изменяются размеры тела и взаимное расположение сил, точки приложения сил переместятся;

б) точка приложения силы F1 переместится из положения 1 в положение 1*; точка приложения силы F2 – из положения 2 в 2*;

в) расстояния от точек приложения сил F1 и F2 до заделки уменьшатся.

26

Если определить реактивный момент в заделке с учетом изменения размеров, составив уравнение моментов относительно точки А, получим

mA 0; F2 l1 F1 a1 sin α mA 0,

откуда

mA F2 l1 F1 a1 sin α.

Величины l1 и a1 неизвестны и их определение сложно. Учитывая, что изменение расстояний ничтожно мало, можно принять l1 l и a1 a , тогда

определение реактивного момента не вызовет затруднений.

Согласно принципу начальных размеров при составлении уравнений статики тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами.

Принцип начальных размеров применяется при расчете так называемых

кинематически неизменяемых систем.

Система тел, на которую наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, называется кинематически неизменяемой.

В сопротивлении материалов, как правило, рассматриваются именно такие системы.

Принцип начальных размеров не может применяться в случае больших перемещений.

Кроме того, как исключение, принцип начальных размеров может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется существенным образом. Например, для двух шарнирно связанных стержней, расположенных на одной прямой, условия равновесия узла А должны обязательно составляться с учетом угла наклона α, возникающего вследствие удлинения стержней (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Пример мгновенно изменяемой системы

Системы подобного рода называются мгновенными механизмами. Это означает, что в какой-то момент система становится кинематически изме-

27

няемой, т. е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями (в данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения, в котором три шарнира находятся на одной прямой). В отличие от мгновенного механизма, обычный механизм обладает кинематической изменяемостью независимо от взаимного расположения составляющих элементов.

2. Закон Гука.

Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам.

Данное предположение справедливо лишь в известных пределах нагружения. Элементы и конструкции, подчиняющиеся этому допущению,

называются линейно деформируемыми.

Пример, поясняющий сущность прямой пропорциональной зависимости между нагрузками и перемещениями, приведен на рис. 2.16.

Рис. 2.16. К иллюстрации закона Гука

Под действием силы F точка А стержня переместится на величину f

(в точку А*), а под действием силы 2F перемещение этой точки будет в два раза большим – 2 f .

3. Принцип независимости действия сил.

Вследствие малости перемещений, рассматриваемых в сопротивлении материалов, и прямо пропорциональной зависимости перемещений от нагрузок можно полагать, что внешние силы действуют независимо одна от другой.

Иными словами, внутренние силы и перемещения, возникающие в упругом теле от какой-либо системы внешних сил, не зависят от порядка, в котором эти силы прикладываются.

Следовательно, общее действие всей системы сил равно сумме действий каждой силы, взятой в отдельности. Это положение известно под назва-

28

нием принципа независимости действия сил; иногда его называют

принципом суперпозиции.

Рассмотрим пример: к брусу (рис. 2.17) приложена система сил F1, F2, F3.

Рис. 2.17. Иллюстрация принципа независимости действия сил

Под действием этих сил тело деформируется и некоторая его точка K переместится в положение K1. Заданная нагрузка может быть приложена самыми различными способами. Все три силы могут быть приложены одновременно или поочередно в разных сочетаниях. Независимо от этого прогиб в точке K будет одинаковым. Полный прогиб в точке K можно найти как сумму прогибов от каждой из приложенных сил:

fK f1K f2 K f3K ,

где f1K , f2K , f3K – прогибы в точке K, вызванные силами Р1, Р2, Р3. 4. Принцип Сен-Венана.

В точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина внутренних сил весьма мало зависит от конкретного способа осуществления этих нагрузок.

Принцип Сен-Венана во многих случаях позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что может упростить расчет.

Например, при расчете рельса (рис. 2.18) как стержня, опирающегося на многие опоры (шпалы), можно фактическую нагрузку от колеса, распределенную по площадке контакта по некоторому закону (определить который довольно сложно), заменить сосредоточенной силой.

5. Гипотеза плоских сечений.

Согласно данной гипотезе плоские до деформации поперечные сечения бруса остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации.

Гипотеза плоских сечений вносит значительные упрощения в теорию явлений, возникающих при упругой деформации. Основные положения сопротивления материалов строятся на этой гипотезе. Более подробно применение данной гипотезы будет обсуждаться в дальнейшем.

29

Рис. 2.18. Расчетная схема рельса с учетом принципа Сен-Венана

2.4. Метод определения внутренних сил – метод сечений

2.4.1. Главный вектор и главный момент

Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием внешних сил F1, F2, F3, F4, F5 (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Стержень, нагруженный внешними силами

30