Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

-7-07-~3

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3028 29 30 > Следующая >>>

Проведя аналогичные вычисления, имеем

		I	Y	hb3	.
		I	Y		.
			c	12
				12
Осевой момент инерции		этого		прямоугольника относительно оси X
(см. рис. А.10, а) определим, используя формулы (А.9):
IX IXc a	2	A	bh3		1	2	bh3	.
IX IXc a		A	12		2	h bh	3	.
			12		2		3
Аналогично
		IY		hb3	.
		IY		3	.
				3

Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей прямоугольника равен нулю, а относительно осей XY, в соответствии с (А.11),

IXY IX Y	abA 0	1	b	1	h bh	b2h2	.
		2		2		4
c c

Знак центробежного момента, как известно, зависит от положения системы координат и получается автоматически при выводе формул. Например, если ось X будет направлена влево, то расстояние между осями Y и Yc необходимо

брать со знаком «минус»: 12 b , т. е.

IXY IX Y		1		1	h bh	b2h2
IXY IX Y	abA 0	2	b	2	h bh	4
c c		2		2		4
c c
Приведем расчетные	формулы	для			некоторых

(см. рис. А.10, б–г):

– прямоугольный треугольник (см. рис А.10, б)

простых фигур

IX		bh3	; IY	hb3	;
		36		36
	c		c

271

IX	bh3		; IY		hb3	;
IX	12		; IY		12	;
	12				12
IX Y			b2h2	;	IXY		h2b2	;
IX Y			72	;	IXY		24	;
c c			72				24
c c
Iρ bh		h2		b2 ;
	36

– равнобедренный треугольник (см. рис. А.10, в)

IX		bh3	; IY	hb3	;
		36		48
	c		c

IX	bh3	; IX Y	IXY	0;
	12
		c c	c

– треугольник общего положения (см. рис. А.10, г)

bh3

; I

bh3

;

b13

b23 ;

IXY

h2 b12 b22

Поясним: для получения последнего ряда формул используем формулы для параллельного переноса (А.9) и (А.11), разбив треугольник общего положения на два прямоугольных треугольника, имеющих свой центр тяжести: С1 и С2:

I		I		a	2	A	I		a	2	A	b h3	h 2 b h b h3				h 2 b h
	X		X1					X2				1			1	2			2

				1 1						2 2		36		3	2	36		3	2

	h3	b b		h3 b b			bh3	bh3	bh3 ;

36		1	2	18	1	2	36	18	12

272

I		I			k		2	A	I		k		2	A				hb			3			b			2		b h			hb 3					b		2	b h
I	Y	I		Y1	k			A	I		k			A						1					1				1					2				2		2
	Y			Y1		1 1					Y2		2 2						36						3				2				36					3		2
																			36						3				2				36					3		2
										h	3			3				h			3				3					h b13 b23
											b1	b2								b1			b2													;
									36		b1	b2						18		b1			b2								12					;
									36									18													12
		I			I				a k A I										a			k		A				b2h2					h			b		b h
		I	XY		I		X Y		a k A I								X Y		a			k		A					1								1		1
			XY				X Y				1 1 1						X Y				2			2 2					72				3				3		2
								c 1									c	2											72				3				3		2
								c 1									c	2
		b22h2				h b2 b2h h2									b12			b22				h2				b12			b22						h2 b12 b22						.
		b22h2				h b2 b2h h2									b12			b22				h2				b12			b22												.
			72				3 3			2		72												18														24
В этих формулах a1											и a2 ;					k1		и k2					– соответствующие расстояния между

осями двух прямоугольных треугольников.

Величину центробежного момента инерции для уголков определяют по формуле

IXY IX Imin IY Imin .

Для сечений в виде треугольника, а также уголков знак центробежного момента можно определять, пользуясь следующей рекомендацией (рис. А.11).

Рис. А.11. Схемы, поясняющие подход к выбору знака центробежного момента

Рассмотрим достаточно распространенные сечения: круглое и кольцевое (рис. А.12).

Полярный момент инерции круглого сечения (см. рис. А.12, а)

I	ρ2dA	ρ2 2 d d	.
	D/2		4
F	0	32

273

Здесь dА = 2πρdρ.

Рис. А.12. Круглое (а) и кольцевое (б) сечения

Поскольку I IXc IYc и IXc IYc , получим

IXc IYc 64D4 .

Используем понятие «кольцо – сложное сечение»: из круга большего диаметра вычитается круг меньшего диаметра:

I	D4	d 4	D4 1	d	4 .

	32	32	32
				D

Примем Dd . Тогда

Iρ π32D4 1 α4 ; IXc IYc π64D4 1 α4 .

Для определения моментов инерции и других геометрических характеристик более сложных сечений рекомендуется пользоваться справочными данными (см. табл. Б.1). В табл. Б.2 приводятся геометрические характеристики (сортамент) прокатных профилей.

274

Контрольные вопросы

Размеры сечений на схемах заданы в сантиметрах.

1. Укажите, в каком ответе записано правильное значение статического момента сечения относительно оси X:

1)	SX = – 144 см3;	3)	SX = 144 см3;
2)	SX = 162 см3;	4)	SX = – 126 см3.

2. Укажите, в каком ответе записано правильное значение координаты y центра тяжести сечения:

1)	YC	= 0,15 см;	3)	YC	= – 0,25 см;
2)	YC	= – 0,2 см;	4)	YC	= 0,22 см.

3. Укажите, в каком ответе записано правильное значение осевого момента инерции относительно оси Y:

1) IY = 9 см4;	3) IY	= 18 см4;
2) IY = 13,5 см4;	4) IY	= 54 см4.

4. Укажите, в каком ответе записано правильное значение центробежного момента инерции относительно указанных осей:

1)	IXY	= 9	см4;	3)	IXY	= – 16 см4;
2)	IXY	= –	8 см4;	4)	IXY	= – 15 см4.

275

5. Укажите, в каком ответе записана правильная формула для момента инерции относительно оси X:

1) IX

+ IX

;

3) IX

+ IX

;

+ 22a2 A

; 4)

+ 20a2 A .

6. Укажите, в каком ответе приведены главные оси сечений 1 и 2:

1) только в сечении 1;

3) всечениях1 и2;

2)только в сечении 2; 4) ни в одном из сечений.

7.Укажите, в каком ответе записано правильное значение момента инерции IU , если известны зна-

чения I	X	= 28 см4; I			Y	= 12 см4;		I	= 5 см4:
	X				Y			V
		1)	I	= 11 см4;			3)	I	= 45 см4;
			U					U
		2)	I	= 21 см4;			4)	I	= 35 см4.
			U					U

276

				ПРИЛОЖЕНИЕ Б
					(справочное)
		Геометрические характеристики сечений
Табл. Б.1. Геометрические характеристики плоских сечений
	Площадь
Сечение	Площадь		Осевой момент инерции				Момент сопротивления
Сечение	сечения			IX , IY				WX , WY
	сечения			IX , IY				WX , WY

	b2		I X	IY		b 4	WX	WY	b3	0,118b3
	b2		I X	IY	12		WX	WY	6	0,118b3
					12				6

	2	2		b4	b14			b 4	b14
b		b1	IX IY			W X	WY
b		b1	IX IY	12		W X	WY		6b
				12					6b

a2	I X	IY		a 4	WX WY	2a3	0,118a3
						12
			12

Радиус инерции iX , iY

i		i	b	0, 289b
	X
		Y	12

iX	iY	b 2	b 2
iX	iY		1
			12

i		i	a	0, 289a
	X
		Y	12

277

Продолжение табл. Б.1

	Сечение	Площадь
	Сечение	сечения
		сечения

bh b1h1

d 2

(d 2 d12 )

278

Осевой момент инерции

Момент сопротивления

IX , IY

WX , WY

b h

;

bh2

;

1 2

h b 3

hb2

1 2

bh3

b h3

bh3

b h3

;

b3h b3h

πd 4

;

πd 3

;

Iρ

πd 4

Wρ

πd 3

π(d 4 d

4 )

;

π(d 4

d 4 )

;

32d

π(d 4 d 4 )

Wρ

π(d 4 d 4 )

16d

Радиус инерции iX , iY

i		h	0, 289h;
i	X	12	0, 289h;
	X

i		b	0, 289b
i			0, 289b
Y		12
		12

iX	bh3	b h3		;
		1	1

	12(bh b1h1 )
iY	hb3	h b3
		1	1

12(bh b1h1 )

iX iY d4

iX	iY	d 2	d 2
iX	iY		1
			1
			4

Окончание табл. Б.1

Сечение

Примечания.

Площадь

сечения

πd8 2 π2r2

a b h

yc h(2a b) 3(a b)

Осевой момент инерции				Момент сопротивления
		IX , IY			WX , WY

I X		0,11r4 0, 007d 4 ;	W	X	0,1912r3 0, 0239d 3		;
I X		0,11r4 0, 007d 4 ;	W		0, 258r3 0, 0323d 3	;
I		0, 4r4 0, 025d 4	W	X	0, 258r3 0, 0323d 3	;
I	Y	0, 4r4 0, 025d 4	W 0, 4r3 0, 05d 3
	Y		W 0, 4r3 0, 05d 3
			Y

b h

;

bh2

;

3 6

h b 3

bh2

;

bh2

3 6

YЛ

;

bh2

;

hb 3

bh 2

2 4ab b

2 )

;

(a2 4ab b2 )

12(a 2b)

;

36(a b)

4ab b

)

;

h(b4

a4 )

12(2a b)

48(b a)

h(b4

a4 )

24(b2 ba)

Радиус инерции iX , iY

0, 2 6 4 r 0,1 3 2 d ;

0, 5r 0, 25d

0, 236h;

0, 236b

0, 236h;

0, 204b

h2 (a2 4ab b2 )

;

18(a b)2

a2 b2

1.WХ , WХH , WYП , WYЛ – осевые моменты сопротивления крайних верхних, нижних, правых и левых волокон соответственно.

2.Единицы измерений величин: площадь сечения А, м2 = 104 см2; осевые и полярный моменты инерции IX , IY , Iρ , м4 = 108 см4;

279

осевые и полярный моменты сопротивления WX , WY , Wρ , м3 = 106 см3; радиусы инерции iX , iY , м = 102 см.

Табл. Б.2. Сталь прокатная угловая равнополочная [32]

Обозначения:

b, d – ширина и толщина полки; I, i – момент и радиус инерции; Z0 – расстояние от центра тяжести до наружной грани полки; R – радиус внутреннего закругления; r – радиус закругления полки.

		b	d		R	r	Площадь				Справочные величины для осей
							Площадь
	Номер						попе-		Х–Х		X0 – X0			Y0 –Y0
	Номер						попе-		Х–Х		X0 – X0			Y0 –Y0
	уголка						речного	IX ,	WX ,	iX ,	IX max ,	I X 0 max ,	IY0 min ,	WY0 min ,	IY0 min ,	I XY ,		z0 ,
				мм			сечения,	IX ,	WX ,	iX ,	IX max ,	I X 0 max ,	IY0 min ,	WY0 min ,	IY0 min ,	см	4	см
				мм			см2	см4	см3	см	см4	см4	см4	см3	см4	см		см
							см2	см4	см3	см	см4	см4	см4	см3	см4
	1	2	3		4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15		16

	4,0	40	4		5,0	1,7	3,08	4,58	1,60	1,22	7,26	1,53	1,90	1,19	0,78	2,68		1,13

	4,5	45	4		5,0	1,7	3,48	6,63	2,04	1,38	10,52	1,74	2,74	1,54	0,89	3,89		1,26

	5,0	50	4		5,5	1,8	3,89	9,21	2,54	1,54	14,63	1,94	3,80	1,95	0,99	5,42		1,38

	6,0	60	8		7,0	2,3	9,04	29,55	7,00	1,81	46,77	2,27	12,34	4,90	1,17	17,22		1,78

	7,0	70	6		8,0	2,7	8,15	37,58	7,43	2,15	59,64	2,71	15,52	5,66	1,38	22,1		1,94

	7,0	70	8		8,0	2,7	10,67	48,16	9,68	2,12	76,35	2,68	19,97	6,99	1,37	28,2		2,02

	8,0	80	6		9,0	3,0	9,38	56,97	9,80	2,47	90,40	3,11	23,54	7,60	1,58	33,4		2,19

	8,0	80	8		9,0	3,0	12,30	73,36	12,80	2,44	116,39	3,08	30,32	9,44	1,57	43,0		2,27

	9,0	90	6		10,0	3,3	10,61	82,10	12,49	2,78	130,00	3,50	33,97	9,88	1,79	48,1		2,43
280
280

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3028 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254 Mб0-640CC~1.PDF
#
28.12.20253.75 Mб0-6A82E~1.PDF
#
28.12.20251.48 Mб0-6AC01~1.PDF
#
28.12.20253.03 Mб0-6E791~1.PDF
#
28.12.20259.48 Mб0-7-07-~1.PDF
#
28.12.20254.4 Mб0-7-07-~3.PDF
#
28.12.202527.61 Mб0-74F5B~1.PDF
#
28.12.20251.56 Mб0-7CD49~1.PDF
#
28.12.20253.31 Mб0-II1-7~1.PDF
#
28.12.2025557.47 Кб0-N11-7~1.PDF
#
30.11.20258.64 Mб9-_11-3~1.PDF