-7-07-~3

IV ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ

11.Основная литература

1.Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М. : МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. – 592 с.

2.Подскребко, М.Д. Сопротивление материалов / М.Д. Подскребко.

–Минск : Вышэйшая школа, 2007. – 797 с.

3.Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов [и др.]; под общ. ред. А.Ф. Смирнова. – М. : Высш. шк., 1975. – 480 с.

4.Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]; под общ. ред. Г.С. Писаренко. – Киев : Вища шк., 1973. – 672 с.

5.Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов. – М. : Высш. шк., 1990. – 400 с.

6.Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. – М. : Высш. шк., 1968. – 512 с.

7.Безухов, Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов – М. : Высш. шк., 1965. – 320 с.

8.Хечумов, Р.А. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций : учебное пособие для технических вузов / Р.А. Хечумов, Х. Кепплер, В.И. Прокопьев. – М. : Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1994. – 353 с.

9.Зубчанинов, В.Г. Основы теории упругости и пластичности / В.Г. Зубчанинов. – М. : Высш. шк., 1990. – 368 с.

10.Гастев, В.А. Краткий курс сопротивления материалов / В.А. Гастев. – М. : Наука, 1977. – 456 с.

11.Терегулов, И.П. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности / И.П. Трегулов. – М. : Высшая школа, 1984. – 472 с.

12.Старовойтов, Э.И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости / Э.И. Старовойтов. – Гомель : БелГУТ, 2001. – 344 с.

13.Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. – М. : Наука, 1976. – 608 с.

14.Сопротивление материалов. Практикум : учебно-методическое пособие / С.И. Зиневич и др. – Минск : Новое знание; М : ИНФРА – М. –

2015. – 316 с.

12.Дополнительная литература

15.Справочник по сопротивлению материалов / Е.Ф. Винокуров [и др.]. – Минск : Наука и техника, 1988. – 464 с.

16.Заяц, В.Н. Сопротивление материалов / В.Н. Заяц, М.К. Балыкин,

251

И.А. Голубев. – Минск : БГПА, 1998. – 367 с.

17.Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев; под ред. Г.С. Писаренко. – Киев : Наукова думка, 1988. – 736 с.

18.Сопротивление материалов деформированию и разрушению : справочное пособие / В.Г. Трощенко [и др.]; под общ. ред. В.Г. Трощенко.

–Киев : Наукова думка, 1993. – 388 с. – Ч.1.

19.Сопротивление материалов деформированию и разрушению : справочное пособие / В.Г. Трощенко [и др.]; под общ. ред. В.Г. Трощенко.

–Киев : Наукова думка, 1994. – 700 с. – Ч.2.

22.Варвак, П.М. Справочник по теории упругости / П.М. Варвак, А.Ф. Рябов; под ред. П.М. Варвака. – Киев : Будiвельник, 1971. – 418 с.

23.Рочняк, О.А. Основы теории упругости : учебное пособие для студентов строительных специальностей вузов / О.А. Рочняк, В.Г. Федоров, В.М. Хвисевич. – Брест : БГТУ, 2001. – 150 с.

24.Саргсян, А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов : учебник для вузов. – 2-е изд., испр. и доп. /А.Е. Саргсян. – М. : Высшая школа, 2000. – 286 с.

25.Макаров, Е.Г. Сопротивление материалов на базе MathCad / Е.Г. Макаров. – СПб. : БХВ-Петербург, 2004. – 512 с.

26. Старовойтов, Э.И. Сопротивление материалов / Э.И. Старовойтов. – Гомель : БелГУТ, 2004. – 376 с.

27.Сборник задач по сопротивлению материалов / Н.М. Беляев [и др.]; под общ. ред. В.К. Качурина. – М. : Наука, 1972. – 431 с.

28.Зиневич, С.И. Сборник задач для расчетно-проектировочных работ по дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов строительных специальностей / С.И. Зиневич, М.К. Балыкин, И.А. Голубев [и др]. – Минск : БНТУ, 2012. – 108 с.

29.Вербицкая, О.Л. Пособие к лабораторным работам по сопротивлению материалов для студентов строительных специальностей / О.Л. Вербицкая, С.И. Зиневич, Л.И. Шевчук. – Минск : БНТУ, 2013. – 108

с. – Ч.1.

30.Вербицкая, О.Л. Пособие к лабораторным работам по сопротивлению материалов для студентов строительных специальностей / О.Л. Вербицкая, С.И. Зиневич, Л.И. Шевчук. – Минск : БНТУ, 2016. – 88 с.

–Ч.2.

252

31.Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения / Е.А. Евсеева, С.И. Зиневич, М.В. Югова. – Минск : БНТУ, 2017.

–274 с.

32.Электронный учебно-методический комплекс для студентов специальности 1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены» / Е.А. Евсеева. – Минск : БНТУ, 2013. – 245 с.

13.Компьютерные программы

33.Макаров, Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. – СПб. : БХВ-Петербург, 2003. – 512 с.

34.Кузьмин, Л.Ю., Кузьмин, А.Л. Методические указания к выполнению виртуальных работ на ПЭВМ. Для студентов 2 и 3 курсов. (21/1/12). М. : РГОТУПС, 2002.

35.Учебная компьютерная программа TUP по исследованию напряженного состояния в точке.

253

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное)

Геометрические характеристики плоских сечений

При изучении различных видов нагружения будет замечено, что сопро-

тивление материала бруса действию внешних сил зависит от ряда геометрических характеристик поперечного сечения.

Рассмотрим, например, перемещения точек поперечного сечения кон-

сольной балки (рис. А.1) при постоянстве площади поперечного сечения и значения силы, если это сечение повернуть по отношению к линии действия силы на 90º.

Рис. А.1. Влияние положения сечения по отношению к нагрузке на величину перемещений точек сечения

Из рисунка видим, что перемещения точки приложения силы в первом и втором вариантах положения прямоугольного сечения в значительной степени отличаются.

Таким образом, площадь поперечного сечения не может в полной мере характеризовать сопротивление бруса действию внешних сил. Для анализа особенностей работы бруса при различных видах нагружения необходимо привлекать и другие геометрические характеристики сечений.

254

А.1. Статические моменты сечения

Рассмотрим поперечное сечение (плоскую фигуру) произвольной формы, имеющее площадь А (рис. А.2), которое разместим в произвольной системе координат XOY.

Рис. А.2. К определению статических моментов плоского сечения

Выделим вокруг произвольной точки элементарную площадку dА c координатами x, y.

Для расчета статических моментов сечения используются определенные интегралы вида

В зависимости от знака координат элементарной площадки статические моменты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Размерность статических моментов сечения – в кубических сантиметрах (см3). Если известно положение центра тяжести сечения xc, yc площадью А,

то статические моменты сечения могут быть определены по формулам

Видим, что при равенстве нулю координат центра тяжести площади сечения статические моменты также равны нулю. Координатные оси, проходя-

щие через центр тяжести сечения, – центральные оси сечения.

255

Иначе говоря: если статические моменты сечения относительно пары взаимно перпендикулярных осей равны нулю – эти оси являются центральными осями сечения.

Если сечение имеет сложную форму, то его разделяют на i простых сечений и статические моменты определяют как алгебраическую сумму статических моментов этих простых сечений:

i-го сечения; n – общее число простых сечений.

Чаще всего формулы (А.2) и (А.3) используются для определения положения центра тяжести сечения.

Если сечение имеет сложную форму, то для определения положения центра тяжести такого сечение следует:

выбрать для сложного сечения произвольную и удобную (с точки зрения определения площадей и координат простых сечений) систему координат;

разделить сложное сечение на i простых, для которых легко определить собственный центр тяжести и площадь поперечного сечения;

определить координаты центров тяжести простых сечений в выбранной системе координат;

используя формулы (А.3), определить координаты центра тяжести:

Примечания.

1.От выбора произвольной системы координат и особенностей разделения сложной фигуры на простые положение центра тяжести сечения, естественно, не зависит.

2.Для сечения, состоящего из двух фигур, центр тяжести должен лежать на прямой,

соединяющей центры тяжести этих простых фигур.

Пример 1. Определить центр тяжести сечения (рис. А.3). Размеры указаны в сантиметрах.

Решение.

1. Произвольная система координат X, Y может быть выбрана по-разному, например, как показано на рис. А.3, а, в.

256

Рис. А.3. Поперечное сечение к примеру 1

2.Разделим заданное сечение на два простых – прямоугольник и треугольник, причем на рис. А.3, а к прямоугольнику достраиваем треугольник,

ана рис. А.3, б из прямоугольника удаляем треугольник.

3.Определяем координаты центров тяжести каждой из простых фигур с учетом выбранной системы координат.

Для сечения на рис. А.3, а

Для сечения на рис. А.3, б

Для сечения на рис. А.3, в

4. По формулам (А.4), с учетом (А.3), определяем положение центра тяжести сечения.

Для сечения на рис. А.3, а

257

А.2. Осевые (экваториальные), центробежный и полярный моменты инерции

В поперечном сечении произвольной формы, имеющем площадь А (рис. А.4), в произвольной системе координат XOY выделим элементарную площадку dА c координатами x, y.

Рис. А.4. К определению осевых, центробежного и полярного моментов инерции сечения

Для расчета осевых моментов сечения используются определенные интегралы вида

258

Видим, что осевые моменты инерции по знаку всегда положительны.

Нулевого значения осевые моменты инерции никогда не имеют.

Для расчета центробежного момента инерции сечения используется определенный интеграл вида

Центробежный момент инерции, в зависимости от знака координат элементарной площадки, может быть как положительным, так и отрицательным.

При равенстве нулю хотя бы одной из координат центробежный момент инерции будет равен нулю.

Для сечения, имеющего ось симметрии (рис. А.5, а) – для рассмотренного сечения это ось Y, в показанной системе координат XY x1 = –x2, y1 = y2. Поэтому

I XY x1 y1dA x2 y2dA x1 y1dA x1 y1dA 0.

A A A A

Рис. А.5. К свойствам осевых и центробежного моментов инерции

Следовательно, центробежный момент инерции равен нулю, если хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии; центробежный момент инерции равен нулю относительно оси симметрии сечения и любой оси, ей перпендикулярной.

Следует вывод: если центробежный момент инерции относительно какой-то оси равен нулю, то эта ось является осью симметрии сечения.

259

Для расчета полярного момента инерции сечения используется определенный интеграл вида

В этой формуле ρ – полярный радиус (см. рис. А.4).

Видим, что полярный момент инерции по знаку всегда положителен.

Нулевого значения полярный момент инерции никогда не имеет.

Размерность осевых, центробежного и полярного моментов инерции – в сантиметрах в четвертой степени (см4).

Если через какую-либо точку K фигуры (рис. А.5, б) провести две системы прямоугольных координат: YKX и Y1KX1 и определить осевые моменты инерции, то в связи с тем, что ρ = const, следует Iρ = const и поэтому получим

равенство IX IY IX1 IY1 .

Этот же вывод получим из рис. А.4: полярный радиус определится по теореме Пифагора 2 x2 y2 , поэтому

Взаданной системе координат полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

При повороте осей вокруг начала координат полярный момент инерции не изменяется.

Втеории упругости говорят, что полярный момент инерции является

инвариантным параметром (характеристикой), т. е. параметром, не зависящим от положения системы координат.

А.3. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Допустим, известно положение центра тяжести плоского сечения произвольной формы и его площадь А. Через центр тяжести сечения проведем центральные оси Xc и Yc (рис. А.6).

Допустим также, что известны моменты инерции относительно центральных осей (центральные осевые и центробежный моменты инерции).

260