Подставляя полученное значение опорного момента в уравнение (8.49), имеем
mbl mB m 0,
откуда
mB m (l b) m a . l l
Определив опорные моменты, строим эпюры крутящих момен-
тов (рис. 8.17, в).
Угол поворота в сечении С, где приложен внешний момент m,
|
определяется абсолютным углом закручивания |
сечения С по отношению |
|
к сечению А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
C A AC 0 |
mA a |
|
m l |
. |
|
G IP |
G IP |
|
|
|
|
Строимэпюруугловповорота– абсолютныхугловзакручивания(рис. 8.17, г).
8.8. Кручение бруса с некруглым поперечным сечением
Задача определения напряженного состояния и, соответственно, расчета бруса некруглого поперечного сечения является значительно более сложной по сравнению с вышерассмотренной задачей. Причина в том, что некоторые допущения, принятые для круглого бруса, при кручении бруса некруглого поперечного сечения не выполняются. В частности, нарушается гипотеза плоских сечений, которая позволяла упростить расчеты. Поэтому формулы сопротивления материалов, полученные ранее (см. подразд. 8.6 и 8.7), для рассматриваемого случая неприменимы.
Рассмотрим брус прямоугольного поперечного сечения, который закручивается внешними моментами m (рис. 8.18).
Если на поверхность этого бруса предварительно нанести сетку, то после нагружения поперечные линии сетки заметно искривляются (следовательно, и поперечные сечения будут искривляться). Отдельные точки сечения перемещаются вдоль оси стержня, и сечениев целом перестает быть плоским.
Наблюдается так называемая депланация сечения.
Рис. 8.18. Депланация бруса прямоугольного сечения при кручении
Задача усложняется еще и потому, что осевые моменты сопротивления прямоугольного сечения, в отличие от круглого, не равны по величине.
Решение поставленной задачи возможно только с использованием методов теории упругости по формулам, приведенным далее, или на ЭВМ с применением МКЭ.
Приведем формулы, полученные в теории упругости при кручении бруса прямоугольного поперечного сечения.
На рис. 8.19 изображены эпюры распределения касательных напряжений в рассматриваемом сечении.
Рис. 8.19. Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению бруса
242
Значения касательных напряжений |
|
|
|
|
A max |
Mкр |
; |
B A. |
(8.51) |
|
|
WK |
|
|
Абсолютный угол закручивания бруса длиной l
В вышеприведенных формулах:
IK = βhb3; WK = αhb2 – осевой момент инерции и момент сопротивления
сечения при кручении соответственно; α, β, γ – коэффициенты, зависящие от соотношения размеров сторон
прямоугольника. Их значения приводятся в таблицах, например см. табл. 8.1.
Табл. 8.1. Значения коэффициентов уравнений (8.51) и (8.52) для прямоугольного сечения
|
h/b |
|
Коэффициент |
|
|
|
|
|
|
α |
β |
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,208 |
0,140 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1,5 |
0,231 |
0,196 |
0,859 |
|
|
|
|
|
|
2,0 |
0,246 |
0,229 |
0,795 |
|
|
|
|
|
|
3,0 |
0,267 |
0,263 |
0,753 |
|
|
|
|
|
|
10 |
0,313 |
0,313 |
0,743 |
|
|
|
|
|
Проанализируем особенности распределения касательных напряжений (рис. 8.20).
1. В поперечном сечении скручиваемого бруса касательное напряжение в каждой точке А, расположенной в непосредственной близости от боковой поверхности бруса, всегда направлено параллельно касательной к контуру сечения (см. рис. 8.20, а). Поясним этот вывод.
По закону парности касательных напряжений n n1 , но боковая (внешняя) поверхность бруса не нагружена, поэтому n n1 0, а τ совпадает по направлению с t , т. е. направлено по касательной к контуру сечения. Иначе
говоря, в общем случае касательное напряжение направлено вдоль контура сечения (см. рис. 8.20, б).
Рис. 8.20. Особенности распределения касательных напряжений в сечении бруса произвольной формы
2. Если сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения обращаются в нуль (рис. 8.21).
Рис. 8.21. Касательные напряжения во внешнем углу прямоугольного сечения: τ – касательное напряжение вблизи угла плоскости сечения по произвольному направлению;1 и 2 – касательные напряжения, направленные по нормали к сторонам угла;
1 и 2 – парные касательные напряжения, действующие по перпендикулярным граням – по боковой поверхности бруса
Ранее был сделан вывод, что касательные напряжения на боковой
поверхности |
n n |
0 |
(равны нулю). Поэтому 1 |
2 |
0 . Следова- |
|
1 |
|
|
|
|
тельно, и 1 2 0.
244
Как было указано ранее, решение таких задач возможно с применением метода конечных элементов (МКЭ), например, в программном комплексе ANSYS. На рис. 8.22 показан вид стержней некруглого сечения при кручении.
Рис. 8.22. Вид стержней некруглого сечения при кручении, полученный с применением МКЭ в программном комплексе ANSYS: а – коробчатое сечение; б – квадратное сечение; в – двутавр
Контрольные вопросы
1. Укажите, какие по величине напряжения действуют на гранях ABCD:
1)σ = 50 МПа; τ = 0;
2)σ = 50 МПа; τ = 50 МПа;
3)σ = 25 МПа; τ = 25 МПа;
4)σ = 0; τ = 50 МПа.
2. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение максимального касательного напряжения:
1) |
99,5 МПа; |
3) |
149,3 МПа; |
2) |
74,7 МПа; |
4) |
199,1 МПа. |
3. Укажите, в каком |
|
|
ответе приведено правиль- |
|
|
ное значение диаметра |
|
|
вала d, если [τ] = 80 МПа: |
|
|
1) |
216,81 мм; |
3) |
172,08 мм; |
2) |
196,98 мм; |
4) |
136,58 мм. |
4. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение допускаемого момента [m], если [τ] = 80 МПа:
1) |
12,86 кН·м; |
3) |
8,04 кН·м; |
2) |
7,15 кН·м; |
4) |
10,72 кН·м. |
5. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение θmax ·10-3 рад/м, если модуль упругости материала вала G = 8 · 104 МПа:
1) 0,09; |
3) 1,17; |
2) 1,56; |
4) 2,33. |
6. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение диаметра вала d при G = 8 · 104 МПа, если [θ] = 5·10-3 рад/м:
|
|
|
|
|
|
|
1) |
119,5 мм; |
3) |
123,1 мм; |
|
2) |
111,0 мм; |
4) |
146,3 мм. |
7. Укажите, в каком |
|
|
ответе |
приведено |
пра- |
|
|
вильное |
значение |
до- |
|
|
пускаемого момента [m] |
|
|
при G = 8 · 104 МПа, |
|
|
если [θ] = 5 · 10-3 рад/м: |
|
|
|
1) |
2,14 кН·м; |
3) |
3,22 кН·м; |
|
2) |
4,29 кН·м; |
4) |
6,43 кН·м. |
IIПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
9.1.Перечень тем практических занятий
1.Определение продольных сил и напряжений.
2.Напряжения в наклонном сечении бруса.
3.Определение деформаций в брусе переменной жесткости.
4.Расчет центрально растянутого (сжатого) бруса по методу разрушающих нагрузок, допускаемых напряжения и предельных состояний.
5.Определение главных напряжений и положение главных площадок при плоском напряженном состоянии.
6.Определение условий наступления предельных состояний по различным теориям прочности.
7.Определение положения центра тяжести сечения, осевых и центробежного моментов инерции поперечных сечений.
8.Определение главных моментов инерции и положение главных осей инерции сечений сложной геометрической формы.
9.Расчет заклепочных и сварных соединений.
10.Расчет стержня круглого или кольцевого сечения на прочность и жесткость.
11.Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в
балках.
12.Расчет балок на прочность.
13.Определение деформаций балок методом начальных параметров.
14.Определение деформаций балок методом Максвелла-Мора.
15.Определение деформаций балок графоаналитическим методом (способом Верещагина) и по формуле Симпсона.
16.Расчет статически неопределимого бруса на центральное растяжение (сжатие) и кручение и температурное воздействие.
17.Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем.
18.Расчет неразрезных балок методом сил.
19.Расчет балки на косой изгиб.
20.Расчет короткого стержня на внецентренное сжатие.
21.Расчет стержня круглого сечения на кручение с изгибом и изгиб со сжатием.
22.Расчет пружин растяжения и сжатия.
23.Расчет пространственного (ломаного) стержня круглого сечения.
24.Расчет тонкостенных сосудов различных очертаний.
25.Расчет балки на поперечный удар.
248
9.2.Перечень тем лабораторных работ
1.Вводное занятие. Охрана труда.
2.Испытательные установки, измерительные приборы и инструменты.
3.Испытание на растяжение образцов стали.
4.Испытание стали, чугуна, пластмасс и дерева на сжатие.
5.Определение модуля упругости и коэффициента Пуассона.
6.Отработка и защита лабораторных работ.
9.3.Методические рекомендации по выполнению
контрольной работы
Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения / сост. : Е.А. Евсеева, С.И. Зиневич, М.В. Югова. - Минск : БНТУ, 2017. - 274 с.
III РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
10. Перечень контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы студентов
1.Расчет статически определимого стержня и шарнирно стержневых систем.
2.Определение геометрических характеристик поперечных составных сечений и сечений сложной формы.
3.Расчет вала круглого поперечного сечения на кручение.
4.Определение внутренних сил в статически определимых балках при поперечном изгибе. Построение эпюр внутренних сил.
5.Расчет статически определимых балок на прочность при плоском поперечном изгибе.
6.Расчет статически определимых балок на жесткость (метод начальных параметров).
7.Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах.
8.Исследование напряженного состояния в точке тела.
9.Решение плоской задачи теории упругости в полиномах.
