-7-07-~3

Высота h = 2b = 0,134 м. Тогда площадь поперечного сечения прямоуголь-

ника Апрямоуг = 0,067 · 0,134 = 0,00898 м3 = 89,8 см3.

По таблице сортамента выбираем двутавр № 20а, для которого осевой момент сопротивления WX = 203 см3, а площадь поперечного сечения А = 28,9 см2.

Таким образом, площадь прямоугольного сечения более чем в 3 раза больше площади двутаврового сечения:

Aпрямоуг 89,8 3,12.

Aдв 28,9

С увеличением осевого момента инерции сечения жесткость сечения повышается.

Чем большим будет отношение осевого момента инерции к площади сечения, тем прогиб балки будет меньше.

Пример 2. Чем меньше площадь поперечного сечения и больше осевые моменты сопротивления и инерции, тем более рациональны размеры этого сечения. Например, прямоугольное сечение рациональнее квадратного при равных площадях (рис. 7.28).

Рис. 7.28. Квадратное и прямоугольное сечения с одинаковой площадью сечения

Площадь обоих сечений одинакова: А = а2. Осевые моменты сопротивления отличаются в 2 раза:

Поэтому и максимальные напряжения при данном значении изгибающего момента МX

201

Таким образом, при равенстве площадей, а следовательно, и материалоемкости прямоугольное сечение намного выгоднее квадратного, т. к. максимальные напряжения в нем в два раза меньше, чем в квадратном.

С позиций выбора размеров сечений наиболее рациональным является «копирование» эпюры изгибающих моментов. Получаем балку равного сопротивления. Но плавные очертания сложны в изготовлении, поэтому выполняют брус со ступенчатой формой сечений, близкой к очертанию эпюры (рис. 7.29).

Рис. 7.29. Балки, близкие по форме к балкам равного сопротивления: а – схема нагружения; б – эпюра изгибающего момента; в – ступенчатая форма сечения балки равного сопротивления; г – брус равного сопротивления в виде рессоры

Пример 3. Ориентация сечения относительно силовой плоскости с точки зрения рациональности связана со свойствами материала бруса. Если балка изготовлена из пластичного материала, то нейтральная ось (она же ось симметрии) должна совпадать с главной центральной осью, для которой I = Imax.

Если материал балки хрупкий, то необходимо стремиться к тому, чтобы

нейтральная ось сечения была сдвинута в сторону растянутой зоны,

т. е. сечение ориентируется так по отношению к нейтральной оси, чтобы бóльшая часть его площади была сжата. Рассмотрим пример (рис. 7.30).

202

Осевые моменты сопротивления сечения

Таким образом, максимальные напряжения в слоях А–А и В–В сечения

(см. рис. 7.30, б)

Видно, что при повороте сечения на 180º максимальные по модулю напряжения сжатия, равные 28 МПа, будут меньше [σ]сж = 60 МПа, а величина максимальных растягивающих напряжений (47 МПа) значительно превысит [σ]р = 30 МПа.

Поперечное сечение необходимо располагать так, чтобы силовая плоскость (плоскость действия изгибающего момента) была перпендикулярна оси максимума – главной центральной оси. Жесткость балки в этом случае будет наибольшей.

Пример 4. Опорные устройства размещаются по длине балки так, чтобы максимальные изгибающие моменты в опасных сечениях были близкими по величине. Опоры сближают, вводят две консоли, а также дополнительные опоры. Наивыгоднейшее размещение опор и оптимальная длина консолей успешно определяются методами строительной механики. При этом удается снизить максимальный изгибающий момент в 4…6 раз, а наибольший прогиб – в 10…15 раз.

Достаточно подробно вопросы рациональности рассмотрены П. А. Степиным в его классическом учебнике по сопротивлению материалов [12].

Разработаны критерии, с помощью которых анализируется рациональность балки по прочности и жесткости. Для оценки рациональности задаются эталоном – наиболее рациональной формой сечения. С эталоном сравнивают значения критериев, вычисляемых по формулам, приведенным в табл. 7.2.

204

Например, для балок из пластичного материала эталон – двутавровое сечение, а из хрупких – тавровое. Геометрические характеристики сечений – эталонов должны удовлетворять условиям прочности и жесткости.

Табл. 7.2. Критерии рациональности сечений при изгибе

Примечание. А – площадь поперечного сечения; γ – удельный вес материала.

Количественная оценка рациональности формы сечения (по затратам материала) может быть выполнена по осевому удельному моменту сопротивления w (табл. 7.3), величина которого зависит только от формы сечения, или по удельному моменту инерции n.

Табл. 7.3 Значения удельного момента сопротивления для некоторых сечений

Зададимся вопросом: насколько рационально прямоугольное сечение по сравнению с эталоном – двутавровым сечением; сечения имеют одинаковые значения осевого момента сопротивления?

205

Прямоугольник со сторонами b = 2h: Wдв = Wпр = 184 см3;

Видим, что прямоугольное сечение далеко от показателя рациональности.

Отношение площадей сечений: 162 : 26,8 = 6,05. Вес материала пропорционален площади сечения. Следовательно, расход материала на изготовление балки прямоугольного сечения более чем в 6 раз превышает расход его на изготовление такой же балки двутаврового сечения.

206

2. Заданы эпюра МX и WX = 200 см3; WY = 500 см3. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение σmax в данном поперечном сечении:

3. Заданы эпюра МX, WX = 300 см3; WY = 200 см3 при [σ] = 160 МПа. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение допускаемой нагрузки q:

4.Заданы эпюра МX и [σ] = 100 МПа. Укажите,

вкаком ответе приведено правильное наименьшее значение WX сечения, обеспечивающее прочность балки:

5. Заданы эпюра QY и поперечное сечение балки. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение максимального касательного напряжения:

6. Заданы поперечное сечение и величина максимального касательного напряжения. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение поперечной силы:

207

7. Заданы схема нагружения балки и эпюры. Укажите, в каком ответе приведено сечение балки, в котором необходимо брать значения Q и M, чтобы проверить прочность балки по теориям прочности:

8. Укажите, в каком ответе записано правильное выражение для определения угла поворота балки в сечении С:

1) EIθC EIθ0 m2l q(26l)3 ql63 Fl22 ; 2) EIθC EIθ0 2l mA l RA2l2 ;

3) EIθC EIθ0 l mA l RA2l2 ;

4) EIθC EIθ0 m 2l q(26l)3 Fl22 .

9. Укажите, в каком ответе записано правильное выражение для определения прогиба балки в сечении С:

208

10. Укажите, в каком ответе записано правильное выражение для определения начального параметра θ0 балки постоянной

жесткости:

11. Укажите, в каком ответе записано правильное выражение для определения начального параметра y0 балки постоянной жесткости:

209