-7-07-~3

но не сопровождаются изменением его объема. Используя зависимость (6.43), определим:

– значение удельной потенциальной энергии формоизменения для линей-

ного напряженного состояния (при действии допускаемого напряжения ):

uф 16E 2 2 ;

– значение этой же энергии для объемного напряженного состояния:

Энергетическая теория, как и III теория, хорошо согласуется с опытами на пластичных материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Она широко применяется на практике. Точнее третьей.

В частном случае при плоском напряженном состоянии

Для случая, когда у 0,

Использование энергетической теории позволяет точнее, чем по третьей, определить условие перехода материала в пластичное состояние. Оно известно как условие текучести Мизеса

151

6.3.3.5. Теория прочности Мора.

Во всех вышерассмотренных теориях прочности в качестве гипотезы, устанавливавшей причину наступления предельного напряженного состояния, принималась величина какого-либо одного фактора.

В теории Мора, предложенной в XX в., не рассматриваются отдельные гипотезы, а на основе экспериментальных данных устанавливается определенная зависимость прочностных свойств материала от вида напряженного состояния.

Условие прочности Мора записывается в виде

где 1 , 3 – главные напряжения; σТр – предел текучести материала при

растяжении; σТсж – предел текучести материала при сжатии.

Условие применимо для расчета элементов конструкций из хрупких материалов, материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и

сжатию. Основное допущение данной теории – на прочность не влияет 2 .

Это ее недостаток.

Наилучшую сходимость расчета и эксперимента дает напряженное состояние, при котором 1 > 0, а 3 < 0. При расчетах такое напряженное

состояние встречается очень часто.

Если пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы по величине, следует использовать третью теорию прочности.

Аналогично этому критерию вероятность разрушения элемента из хрупкого материала может быть оценена по критерию разрушения Мора

прочности материала при сжатии.

В связи с развитием техники и усложнением условий работы материалов (космос, радиация, высокие давления, коррозия и т. п.), использованием новых, современных материалов (пластмассы, стеклопластмассы, композитные материалы и др.), разрабатываются новые теории прочности. Сведения о некоторых из них можно найти в учебной и специальной литературе.

152

Контрольные вопросы

1.Укажите, на какой из схем правильно изображено напряженное состояние:

1)только на схеме (а);

2)только на схеме (б);

3)на схемах (а) и (б);

4)обе схемы неверны.

Впп. 2–9 напряжения задаются в мегапаскалях (МПа).

2.Укажите, в каком ответе правильно обозначены главные напряжения:

1)1 80; 2 60; 3 30;

2)1 30; 2 60; 3 80;

3)1 80; 2 60; 3 30;

4)1 30; 2 80; 3 60.

3.Укажите, в каком ответе приведено правильное значение главных напряжений:

1)σгл (70 22,4);

2)σгл ( 70 22,4);

3)σгл (10 44,8);

4)σгл (10 67,1).

4.Укажите, в каком ответе приведено правильное значение максимальных касательных напряжений:

1)τmax 50;

2)τmax 15;

3)τmax 30;

4)τmax 25.

153

5.Укажите, в каком ответе правильно записано выражение для нормальных напряжений на площадке AB:

1)20sin2 30cos2 ;

2)20cos2 30sin2 ;

3)30cos2 20sin2 ;

4)30sin2 20cos2 .

6.Укажите, в каком ответе правильно записано выражение для касательных напряжений на площадке AB:

1)25sin 2 ;

2)25sin 2 ;

3)10sin 2 ;

4)5sin 2 .

7.Укажите, в каком ответе приведено правильное значение относительной линейной деформации ребра AB (Е = 105 МПа; μ = 0,25):

1)εAB 15 10 5 ;

2)εAB 22,5 10 5 ;

3)εAB 52,5 10 5 ;

4)εAB 35 10 5.

8.Укажите, в каком ответе приведено правильное значение относительного изменения объема параллелепипеда(Е = 105 МПа; μ = 0,25):

1)εV 135 105;

2)εV 0;

3)εV 45 105 ;

4)εV 30 105.

154

9.Укажите, в каком ответе приведено правильное значение эквивалентного напряжения по третьей теории прочности:

1)σIIIэкв 20;

2)σIIIэкв 30;

3)σIIIэкв 60;

4)σIIIэкв 10.

10.Даны два варианта напряженного состояния:

а) 40 МПа; –60 МПа; –70 МПа; б) –50 МПа; –60 МПа; 70 МПа.

Укажите, в каком ответе приведен вариант напряженного состояния, при котором обеспечивается прочность по третьей теории прочности (при σ 160 МПа):

1)только вариант (а);

2)только вариант (б);

3)варианты (а) и (б);

4)в обоих вариантах прочность не обеспечена.

155

лежат в одной из плоскостей симметрии. На данном этапе изучения изгиба будем рассматривать плоский чистый и плоский поперечный изгибы балок.

Рис. 7.2. Силовая плоскость при плоском изгибе

При выполнении расчета балок на изгиб учитывается соотношение длины пролета l и высоты сечения h. При l/h ˃ 8 расчет ведут только по изгибающему моменту; при 5 l/h 8 – по изгибающему моменту и по поперечной силе. Если же l/h < 5, то такое тело нельзя считать балкой, расчет ведут по формулам теории упругости (рассматривается расчет на изгиб пластины).

7.2. Плоский чистый изгиб

7.2.1. Особенности деформирования балок

Исследуемповедение балки при плоскомчистомизгибе.

Как было сказано ранее, в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты.

Рассмотримбалку прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.3). Проведем до нагружения балки на ее боковой поверхности близко друг к

другу линии kn и k1n1, перпендикулярные оси балки. Это будут два сечения, отстоящие друг от друга на расстоянии dz. Проведем между данными сечениями линии ab и cd, параллельные оси балки: cd – ближе к верхнему слою, ab – к нижнему. До деформации ab = cd = dz.

Нагрузим балку сосредоточенными моментами m. Геометрический анализ показывает, что после деформации:

а) прямые kn и k1n1 остались прямыми, только наклонились друг к другу;

157

б) отрезок ab удлинился, а отрезок cd укоротился;

в) исходя из предыдущих двух выводов, где-то по высоте сечения будет располагаться отрезок, длина которого не изменилась;

г) ширина балки в сжатой зоне увеличилась, а в растянутой – уменьшилась.

Рис. 7.3. Деформация балки при чистом изгибе

Это позволяет сделать следующие выводы о характере деформаций при чистом изгибе.

1.Поперечные сечения балки и после деформации остаются плоскими.

2.Так как верхние волокна балки сжаты, а нижние – растянуты и деформация волокон меняется непрерывно по высоте балки, то на каком-то уровне есть слой, не изменивший своей длины, – это так называемый нейтральный слой.

3.Нейтральный слой перпендикулярен плоскости симметрии балки и

пересекает плоскость каждого поперечного сечения по прямой, называемой нейтральной осью сечения. Эта ось перпендикулярна плоскости симметрии балки.

4.Повороты сечений происходят вокруг их нейтральных осей, поэтому

изогнутая ось балки и после деформации остается лежать в плоскости действия внешних сил – в силовой плоскости.

5.Деформации материала балки в направлении ее ширины показывают,

что ее продольные волокна испытывают обычное растяжение или сжатие.

К таким же выводам приводит и простой опыт с резиновым брусом прямоугольного сечения, на боковой поверхности которого предварительно

158

выполнить (например, краской) линии, параллельные оси и параллельные плоскости сечения.

7.2.2. Допущения, полагаемые в основу расчетов

Экспериментальные исследования деформации балок при изгибе (п. 7.2.1) обусловливают ряд допущений, положенных в основу дальнейших расчетов.

1.При чистом изгибе поперечные сечения, бывшие плоскими до деформации, остаются плоскими и после деформации, т. е. принимается гипотеза плоских сечений.

2.Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение или сжатие. При чистом изгибе – строго, а при поперечном – примерно, т. к. в последнем случае в поперечных сечениях возникают и касательные напряжения.

3.Деформации волокон не зависят от положения этих волокон по ширине сечения. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине сеченияодинаковыми.

Помимо допущений, введем ограничения, которые будут использоваться при дальнейших теоретическихисследованиях.

1.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, а все внешние силы лежат в этой плоскости.

2.Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

3.Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в усло-

виях плоского изгиба без коробления и скручивания.

7.2.3.Нормальные напряжения

Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений относительно друг друга.

Рассмотрим равновесие правой части балки (рис. 7.4, а), находящейся под действием внешнего момента m и внутренних сил, возникающих в произвольном поперечномсечении с координатой z.

Вокруг точки А выделим элементарную площадку dА (рис. 7.4, б). По этой элементарной площадке будут действовать элементарныеусилия σdA.

В соответствии с правилами теоретической механики можно записать шесть уравнений равновесия.

159

Рис. 7.4. Равновесие части балки при плоском чистом изгибе

Данное уравнение также обращается в тождество, т. к. внутренние усилия σdA параллельны оси Z.

160