-7-07-~3

3. При всестороннем сжатии (гидростатическом сжатии) материала нормальные напряжения равны по величине:

x y z .

следует, что должно выполняться условие μ ≤ 0,5 (т. к. при μ > 0,5 объем тела должен увеличиваться, что противоречит природе вещей).

4. При μ = 0,5 объем тела изменяться не будет ( v = 0).

6.2.4. Потенциальная энергия деформации

Вернемся к рассмотрению элементарного параллелепипеда (см. рис. 6.13) с ребрами элементарной длины.

На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда dU равна работе внешних сил dW ,

приложенных к его граням. Предполагается, что все внешние силы действуют одновременно и прикладываются статически, деформации упругие, потерями энергии пренебрегаем. Следовательно, dU dW . Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо определить работу.

Работу совершают внешние силы на некоторых перемещениях. Рассмот-

рим участок пропорциональности диаграммы растяжения (рис. 6.15). Видим, что работа графически будет определяться заштрихованной площадью треугольника под наклонной прямой и, следовательно, формулой (6.34).

Рис. 6.15. К определению понятия работы при упругой деформации

141

где F – приложенная сила; – соответствующая этой силе абсолютная линейная деформация.

Работа dW внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия dU элементарного параллелепипеда

Сила F определяется (см. рис. 6.13) произведением напряжения на площадь грани, а каждое из ребер (см. п. 6.2.3) удлиняется на величину dl dl .

Полная удельная потенциальная энергия деформации определяется как отношение dUdV u . Тогда

Если относительные деформации ε заменить их выражениями из обобщенного закона Гука (6.29), то получим

u 21E 12 1 2 3 22 2 1 3 32 3 2 1

21Е 12 22 32 1 2 1 3 2 1 2 3 3 2 1 3

Размерность удельной потенциальной энергии – ньютон-метр на кубический метр (Н·м/м3) или ньютон на метр в квадрате (Н/м2), т. е. размерность напряжений.

Под действием внешних сил изменяется не только объем паралле-

лепипеда, но и его форма. Таким образом, полная удельная потенциальная энергия может быть определена двумя составляющими – удельной потен-

142

циальной энергией изменения объема uоб и удельной потенциальной энергией изменения формы uф .

Рассмотрим эти составляющие потенциальной энергии, руководствуясь

принципом суперпозиции (рис. 6.16).

Рис. 6.16. Схемы напряженных состояний, определяющих составляющие потенциальной энергии деформации

Элементарный параллелепипед изменит только объем, если по его граням будут приложены одинаковые по величине и направлению напряжения:

0 1 2 3 .

Данное напряжение назовем средним, определив его значение по формуле

Форма параллелепипеда в этом случае не изменится – будет постоянной.

Разность напряжений (соответствующих главных и среднего), прило-

женных к граням, вызовет только изменение формы параллелепипеда,

т. к. в соответствии с выводами, полученными в п. 6.2.3, сумма приложенных к граням напряжений равна нулю:

1 0 2 0 3 0 0.

Если описать исследуемые напряженные состояния соответствующими

тензорами, то получим

143

или

T T0 D ,

Или через напряжения по произвольным площадкам:

Аналогично выражение для удельной потенциальной энергии изменения формы получим, подставив в (6.37), в соответствии с рис. 6.15 и форму-

лой (6.39), вместо главных напряжений 1, 2 , 3 разность этих напряжений и среднего напряжения 0 :

uф 21Е 1 0 2 2 0 2 3 0 2

2 1 0 2 0 2 0 3 0 1 0 3 0

144

Для единообразия последнюю формулу запишем в виде

Эта же энергия может быть определена и через напряжения, действующие по произвольным площадкам:

6.3. Теории (гипотезы или критерии) прочности

6.3.1. Назначение теорий прочности

Важнейшая задача инженерного расчета – оценка прочности тела по известному напряженному состоянию.

Ранее было установлено, что напряженное состояние в какой-либо точке тела полностью определяется главными напряжениями 1, 2 , 3 : одним

главным напряжением – линейное напряженное состояние, двумя – плоское и тремя – объемное.

При возрастании действующей нагрузки главные напряжения будут соответствующим образом увеличиваться и, при некотором определенном их значении, наступит опасное или так называемое предельное напряженное состояние в исследуемой точке. Таким образом, оценку опасности напряженного состояния можно выполнить, установив значения главных напряжений, при которых наступает предельное напряженное состояние.

В зависимости от соотношений между 1, 2 , 3 и вида напряженного

состояния материал тела может находиться в одном из трех механических состояний: упругом, пластичном или состоянии разрушения. Безопасным является упругое состояние.

Наиболее просто задача оценки прочности бруса решается для простых видов нагружения, например, при растяжении или сжатии (одноосное напряженное состояние), т. к. в этом случае значения предельных (опасных) напряжений легко установить экспериментально.

Напомним, что для пластичных материалов опасным напряжением является предел текучести σТ, для хрупких – предел прочности σВ.

145

Следовательно, для обеспечения прочности бруса уровень опасных напряжений необходимо снизить, т. е. ввести так называемый коэффициент запаса n.

Таким образом, условие, при котором будет обеспечена прочность бруса

(условие прочности) при одноосном напряженном состоянии, имеет вид:

Вслучае сложного напряженного состояния опасное состояние для одного

итого же материала может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений в зависимости от соотношения между ними.

Поэтому экспериментальная оценка опасного состояния при таких обстоятельствах практически исключается из-за бесчисленного множества

соотношений между напряжениями 1, 2 , 3 , каждое из которых нужно было

бы моделировать для получения экспериментальных данных о механических характеристиках материала и степени опасности этого состояния.

Все это приводит к необходимости создания такой методики расчета, которая позволяла бы оценить степень опасности любого напряженного состояния для того или иного материала, основываясь на результатах опытов при простом растяжении-сжатии.

Решение этой важной задачи осуществляется с помощью теорий, которые первоначально были названы теориями прочности.

Построение таких теорий основывается на предпосылке, состоящей в том,

что два каких-либо напряженных состояния считаются равнопрочными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся предельными.

В этом случае коэффициенты запаса прочности для обоих напряженных состояний при указанных условиях будут одинаковыми.

Чтобы использовать вышепринятую предпосылку, необходимо связать главные напряжения двух равноопасных состояний какой-либо определенной зависимостью. Это оказывается возможным, если известна общая для обоих рассматриваемых состояний причина разрушения материала или его перехода в предельное напряженное состояние. Иначе говоря, выбирается некий

критерий прочности (критерий предельного напряженно-деформирован-

ного состояния), например, переход материала бруса из упругого состояния в пластичное.

Однако определение истинной причины разрушения материала является труднейшей и на сегодняшний день до конца не разрешенной задачей.

146

Это обстоятельство не позволило до настоящего времени создать единую общую теорию прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине достижения предельного напряженного состояния.

6.3.2. Понятие об эквивалентных напряжениях

При разработке теорий прочности вводится гипотеза о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора (критерия). Таким образом, предусматривается возможность проверки этого критерия сопоставлением данного (сложного) напряженного состояния с простым (обычно с одноосным). При этом устанавливается значение эквивалентного

(расчетного) напряжения σэкв , которое в обоих случаях дает одинаковый

коэффициент запаса прочности n .

Под коэффициентом запаса прочности в общем случае напряженного состояния понимают число, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным.

По напряжениям, действующим по произвольным площадкам (рис. 6.17), определяются главные напряжения и, с учетом критерия перехода к предельному состоянию, эквивалентные напряжения, которые, в свою очередь, сравниваются с допускаемыми напряжениями.

Рис. 6.17. К понятию эквивалентных напряжений

6.3.3. Теории прочности

Исходя из гипотезы, которая указывает на причину наступления предельного состояния, составляются соответствующие расчетные формулы и условия, связывающие между собой определенной зависимостью главные напряжения изучаемого напряженного состояния (плоского или объемного)

147

с главным напряжением при одноосном растяжении. Получают так называемые теории (критерии, гипотезы) прочности. Название теории указывает на причину наступления предельного состояния.

Теория или гипотеза, как известно, требует экспериментального подтверждения. Поэтому она оценивается сходимостью результатов расчета по оцениваемой гипотезе и результатов эксперимента, в котором моделируется исследуемое напряженное состояние или условия работы тела.

6.3.3.1. Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).

Причиной перехода материала из упругого состояния в пластическое являются наибольшие нормальные напряжения. То есть если наибольшие нормальные напряжения достигают какой-то определенной величины, то наступает предельное состояние. Эта теория была сформулирована в XVI в.

Главный недостаток данной теории – в ней не учитываются 2 и 3,

т. е. будто они не влияют на прочность тела.

В расчетной практике не применяется и имеет лишь историческое значение. Дает удовлетворительные результаты только при одноосном растяжении весьма хрупких материалов: камень, кирпич, керамика, стекло,

инструментальная сталь. Причем в материале должны отсутствовать явно выраженные дефекты. При всестороннем сжатии тела – экспериментально не подтверждается.

6.3.3.2. Вторая теория (теория наибольших относительных деформаций). Данная теория предполагает, что причиной наступления предельного состояния является деформация, величина которой достигает определенного значения и приводит к переходу материала тела из упругого состояния в

пластическое. Теория предложена в 1682 г. Мариоттом.

По аналогии с главными напряжениями будем считать, что 1 2 3 . Тогда можно записать следующее: max 1 .

148

В соответствии с законом Гука при растяжении

Для объемного напряженного состояния применим формулы для обобщенного закона Гука (6.29):

1 E1 1 2 3 .

Тогда условие прочности по II теории

Эта теория учитывает влияние всех главных напряжений. Тем не менее плохо согласуется с результатами экспериментов, а иногда находится в явном противоречии с ними. Дает удовлетворительные результаты лишь для хрупких материалов (легированный чугун) или материалов, находящихся в хрупком состоянии при их всестороннем сжатии (все главные напряжения отрицательны). Не подтверждается для пластичных материалов. В расчетной практике не применяется.

6.3.3.3. Третья теория (теория наибольших касательных напряжений).

Предполагается, что предельное состояние в материале наступает тогда,

когда касательные напряжения достигнут некоего максимума, превышающего допускаемое значение max . Теория предложена в 1783 г. Кулоном.

Для объемного напряженного состояния наибольшие касательные

откуда следует условие прочности по III теории

149

Теория дает удовлетворительные результаты для пластичных материалов, одинаково хорошо сопротивляющихся как растяжению, так и сжатию. Широко применяется для расчета конструкций из пластичных материалов.

Основной ее недостаток – не учитывается влияние 2 (что дает

погрешность 12…15 %). Плохо согласуется с опытными данными для хрупких материалов, в особенности при всестороннем сжатии.

При плоском напряженном состоянии, в соответствии с (6.20), определив главные напряжения с учетом (6.48), получим

Для случая, когда у 0,

Особенно эффективна теория при определении начала пластического течения материала, т. к. необратимые деформации имеют сдвиговую природу. Приравняв разность главных напряжений пределу текучести, получим условие текучести Треска

6.3.3.4. Четвертая теория (энергетическая теория, или теория прочности удельной потенциальной энергии формоизменения).

Теория предложена в 1904 г. (Губерт, Мизес, Генки). За причину наступления предельного напряженного состояния принимается часть удельной потенциальной энергии, которая накапливается вследствие изменения формы кубика с ребром, равным единице. Тогда

150