-7-07-~3

Рис. 6.10. К определению нормальных и касательных напряжений на площадке с нормалью n

Максимальное значение касательных напряжений определяется полуразностью экстремальных значений главных напряжений:

max 1 3 .

2

Пример 1. В опасной точке нагруженного тела напряженное состояние оказалось таким, как показано на схеме (рис. 6.11, а). Определить положение главных площадок и значения главных напряжений.

Рис. 6.11. Схема напряженного состояния к примеру 1

132

Решение.

1.Выбираем систему координат, положительные направления осей и в соответствии с выбранной системой координат обозначаем заданные напряжения, приложенные к произвольным площадкам (рис. 6.11, б).

2.По формуле (6.20) определяем значения главных напряжений:

3. Обозначаем главные напряжения в соответствии с принятым правилом:

Это плоское напряженное состояние.

4. По формуле (6.19) находим угол, на который необходимо повернуть произвольные площадки, чтобы получить главные:

отсчет угла – по часовой стрелке.

5.Показываем положение главных площадок и вектора главных напряжений на схеме (рис. 6.11, в).

6.Проверяем правильность решения:

сумма напряжений – величина постоянная:

1 + 3 = x + y ; 81 + (–21) = 80 + (–20);

направление поворота произвольных площадок: для получения положения главных площадок произвольную площадку, по которой приложено

максимальное нормальное напряжение, необходимо повернуть по направлению приложенного к ней касательного напряжения.

В данном примере по площадке, где приложено максимальное напряжение y = 80 МПа, действует касательное напряжение τxy = 10 МПа. Это напряжение поворачивает указанную площадку по ходу часовой стрелки (при

133

взгляде изнутри элемента). Следовательно, данную произвольную площадку

необходимо повернуть также по часовой стрелке и получить положение главной площадки, что соответствует решению.

6.1.8. Вывод формул для решения обратной задачи (плоское напряженное состояние)

При двухосном напряженном состоянии все напряжения действуют в одной плоскости.

Пусть известны напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам (рис. 6.12, а). Под углом α будет располагаться сечение, по которому действуют главные напряжения – главные площадки.

часовой стрелки.

Рассмотрим равновесие отсеченной призмы (рис. 6.12, б). Пусть по наклонной грани dA действует σгл , т. е. это главная площадка, положение

которой и значения главных напряжений неизвестны. Спроецируем все силы на оси X и Y:

глdAcos 0 xdAcos 0 xydAsin 0 0;

глdAsin 0 ydAsin 0 yxdAcos 0 0.

134

Получили систему однородных дифференциальных уравнений. Определим неизвестные σгл и 0 , решив систему уравнений

Из уравнения (6.24) найдем значение tg 0 :

По полученной формуле, так же как и по (6.19), можно определить

направление вектора главного напряжения, т. е. положение главной площадки.

Подставим в (6.23) значение tg 0 из (6.25):

По закону парности ху ух . Далее следует ряд преобразований:

гл х гл у 2ху 0;

2гл гл х гл у х у 2ху 0 ;

135

Окончательно получили формулу для вычисления главных напряжений при плоском напряженном состоянии, аналогичную (6.20),

6.2. Деформации при сложном напряженном состоянии

6.2.1. Деформированное состояние в точке

Деформированным состоянием в точке будем называть совокупность деформаций по различным направлениям и по различным плоскостям, проходящим через исследуемую точку.

Рассматривая понятия о перемещениях и деформациях (п. 2.5.2), было выяснено, что компонентами деформаций являются относительные линейные и относительные угловые (углы сдвига) деформации.

По аналогии с напряжениями в теории упругости рассматривают также главные оси деформаций (по направлению которых отсутствуют угловые деформации) и главные деформации. Обозначение их аналогично обозначениям главных напряжений, т. е. 1 , 2 , 3 .

136

продольная деформация 11 , а деформации в этом же направлении, но от

действия напряжений 2 и 3, – поперечные ( 12 и 13 ). По закону Гука, с учетом

выражения для определения коэффициента Пуассона (знаки продольной и поперечной деформаций всегда обратные), получим

Выполнив аналогичные операции для деформаций по направлениям 2 и 3, получим три уравнения (6.29), которые носят название «обобщенный закон Гука».

Известно, что касательные напряжения не влияют на величину относительных линейных деформаций. Поэтому эти деформации по направ-

лениям и от действия нормальных напряжений, действующих по площадкам общего положения (произвольным площадкам), будут определяться по формулам, аналогичным (6.29):

138

Видно, что равенство нулю одного из напряжений не означает равенства нулю деформации по этому направлению.

6.2.3. Относительное изменение объема

Под действием внешних сил упругое тело деформируется, объем его изменяется и в нем накапливается потенциальная энергия. В процессе нагружения тела потенциальная энергия проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами.

В общем случае, когда напряженное состояние в различных точках различно, для определения потенциальной энергии деформации необходимо знать изменение объема и количество энергии в каждой элементарной частице тела. Особенно это важно при рассмотрении процесса развития трещин, при решении контактных задач и т. п.

Отношение приращения объема элементарного параллелепипеда к его исходному объему называется относительным изменением объема этого параллелепипеда:

его определится произведением длин ребер: dV dl1dl2 dl3 .

После нагружения длина ребер изменится, и они получат соответст-

вующие абсолютные деформации. Конечная длина ребер равна,

Объем параллелепипеда после деформации получим, перемножив конечные длины граней:

dV dV dl1 1 1 dl2 1 2 dl3 1 3

dl1dl2dl3 1 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 .

Величины относительных деформаций 1, 2 , 3 весьма малы (в упругой

области), поэтому их произведениями можно пренебречь. Тогда из последнего выражения получим

139

dV dV dV 1 1 2 3 .

Поделим правую и левую части полученного уравнения на dV и имеем

dV dV 1 2 3 .

Анализ формулы (6.32) позволяет сделать следующие важные выводы.

Относительное изменение объема тела равно сумме относительных деформаций.

Относительное изменение объема есть величина безразмерная. Объем тела не изменяется, если сумма относительных дефор-

маций равна нулю.

Подставим в (6.32) значения 1, 2 , 3 из обобщенного закона Гука (6.29):

V E1 1 2 3 2 3 1 3 1 2

E1 1 2 3 2 1 2 3 1 E2 1 2 3 .

Таким образом, относительное изменение объема определяется по полученной ранее формуле или с учетом (6.30) – в другом варианте:

Приведем несколько следствий из последней формулы.

1.Объем тела не изменится, если сумма нормальных напряжений окажется равной нулю.

2.Сумма нормальных напряжений есть величина постоянная:

1 2 3 x y z .

140