-7-07-~3
.PDF
Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 5.10, в). Крайние
стержни будут укорачиваться на величину |
|
1 = |
|
2 = АА1cosα, а средний |
||||
стержень удлинится на величину |
3 = D1A1. |
Тогда уравнение совместности |
||||||
деформаций запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
D A AA |
3 |
|
|
2 |
. |
(5.33) |
||
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
cos α |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ход дальнейшего решения аналогичен порядку решения в предыдущих примерах. Видим, что средний стержень, еще до нагружения внешней силой, будет растянут некоторой нагрузкой, т. е. напряжения от натяга будут суммироваться с напряжениями от эксплуатационных нагрузок, что не учитывается в обычных расчетах и может привести к потере прочности.
Примеры положительного эффекта от натяга:
монтаж бандажа на колесо (металлическое кольцо разогревается и насаживается на колесо, при охлаждении кольцо обжимает колесо);
предварительно напряженные железобетонные конструкции (в растянутой зоне бетонной плиты располагают предварительно напряженную сжимающими напряжениями стальную арматуру).
Пример 2. Стержень, имеющий жесткость EА (см. рис. 5.7, в), изготовлен
короче заданной длины на величину (рис. 5.11, а). Вид расчетной схемы и порядок решения будут зависеть от величины перемещения нижнего сечения (определяемого величиной и положением по длине силы F, а также жесткостью стержня):
а) величина перемещения нижнего сечения меньше величины зазора –
абсолютная линейная деформация стержня |
lF |
< |
. |
Задача стати- |
чески определима; |
|
|
|
|
б) величина перемещения нижнего сечения больше или равна величине |
||||
зазора – абсолютная линейная деформация стержня |
lF |
≥ |
. Задача стати- |
|
чески неопределима. |
|
|
|
|
Таким образом, в первую очередь необходимо найти величину перемещения нижнего сечения, которое будет определяться деформацией участка бруса длиной b от действия силы F:
lF EFAb .
Решение для случая lF < традиционно для решения статически определимых задач.
111
Рис. 5.11. К расчету стержня, выполненного с зазором |
|
|||||
В |
случае, |
если |
lF |
≥ |
, необходимо раскрыть |
статическую |
неопределимость. |
|
|
|
|
|
|
На |
опорах |
возникнут |
две |
реакции, величины которых |
неизвестны |
|
(рис. 5.11, б). Уравнение равновесия |
|
|||||
|
|
|
Z 0; |
N1 N2 F 0. |
|
|
Уравнение совместности деформаций получим, рассматривая схему
(см. рис. 5.11, б):
lF lN .
В соответствии с законом Гука
Fb N2 (a b) .
E A E A
Получаем N2 Fb E A. Статическая неопределимость раскрыта. a b
5.5.4. Расчеты в связи с изменением температуры
Напряжения в сечении стержня также будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок.
Рассмотрим стержень длиной l и площадью А, изготовленный из материала с модулем упругости Е. Оба конца стержня жестко защемлены (рис. 5.12, а).
112
Начальная температура стержня t1. Определить напряжения, которые возникнут в сечении стержня, если он нагревается до температуры t2. Пусть градиент температуры будет положительным:
t t2 t1 0.
Как известно, при нагреве материалы расширяются, т. е. стержень будет стремиться удлиниться и распирать опорные сечения, но из-за наличия этих жестких опор в них возникнут реакции N1 и N2.
Рис. 5.12. Стержень, подвергнутый действию градиента температур
Уравнение равновесия Z 0; N1 N2 0; N1 N2 . Стержень
один раз статически неопределим.
Оба конца стержня закреплены жестко, поэтому его длина l изменяться не будет. То есть перемещения опорных сечений равны нулю, следовательно,
температурная линейная деформация |
t = 0. |
|
В отсутствие одной из опор, например правой (рис. 5.12, б), стержень |
||
удлинится на величину |
t. Это |
удлинение должно компенсироваться |
абсолютной линейной деформацией от действия реакции lN.
Уравнение совместности деформаций t = |
lN. |
По известной из курса физики формуле определим температурную |
|
деформацию стержня: |
|
t = αl t, |
(5.34) |
где α – коэффициент линейного температурного расширения материала стержня, град-1.
По закону Гука lN = NE2Al . Сила сжимает стержень!
113
Приравняв полученные зависимости, определим значение реакции на опоре и соответствующие температурные напряжения:
σt |
N2 |
αE t . |
(5.35) |
|
A |
||||
|
|
|
||
Отметим, что температурные (при нагреве стержня) напряжения по зна- |
||||
ку – сжимающие. Следовательно, |
в |
случае охлаждения |
такого стержня |
|
( t = t2 – t1 < 0), нормальные напряжения будут растягивающими. Кроме того, видим, что на величину напряжений не влияет длина стержня. Эти обстоя-
тельства следует учитывать при использовании хрупких материалов,
а также, если стержень подвергается действию изменяющихся по величине и знаку температур.
Отметим, что на практике встречаются достаточно сложные схемы стержневых систем, и в каждом конкретном случае задача сводится к геометрическому анализу деформаций и составлению соответствующих уравнений совместности деформаций.
В заключение рассмотрим еще один пример.
Пример 1. Абсолютно жесткий брус (рис. 5.13, а) подвешен на стержнях, прикрепленных шарнирами, и нагружен силой F. Площадь стержней, соответственно, равна 2А и А (А = 10 см2). Длина стержней 2l и l.
Рис. 5.13. Расчетная схема стержня к примеру 1
114
Определить значение допускаемой силы [F] из расчета по допускаемым
напряжениям и из расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам. |
|
|
Материал стержней – сталь |
Ст 3 ([σ] = 160 МПа; σТ = 240 |
МПа; |
Е = 2·105 МПа). |
|
|
Можно составить два уравнения равновесия для силовой схемы (рис. 5.13, б). |
||
Так как стержни соединены с |
жестким брусом посредством шарниров, |
|
то усилия в стержнях будут направлены вдоль оси этих стержней: |
|
|
ΣY = 0; |
N1 + N2 – F + RA = 0; |
(5.36) |
ΣmA = 0; |
3N1 – 5F + 6 N2 = 0. |
(5.37) |
Первое из них включает и неизвестную реакцию, т. е. имеем три неизвестных. Во втором уравнении неизвестных два – усилия N в стержнях. Следовательно, в решении удобнее использовать второе уравнение равновесия (5.37).
Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 5.13, в). Под действием внешней силы F брус, оставаясь прямым (абсолютно жесткий брус – не деформирующийся), повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. Стержни в местах крепления удлинятся, т. е. точки В и С переместятся вертикально в положения В1 и С1. Отрезки ВВ1 и СС1 – абсолютные линейные деформации стержней. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 имеем
BB1 |
l1 |
3 |
1 |
2 l l . |
(5.38) |
|
|
||||||
CC1 l2 |
6 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Получили уравнение совместности деформаций.
Подставляем в полученное уравнение усилия в соответствии с формулой закона Гука (физическая сторона задачи).
2 |
N1 l1 |
|
N2 l2 |
; |
2 |
N1 1 |
|
N2 2 |
; N1 0,5N2 . |
(5.39) |
E А1 |
|
10 |
20 |
|||||||
|
|
E А2 |
|
|
|
|
||||
Решаем систему уравнений (5.37) и (5.39):
3 · 0,5N2 – 5F + 6N2 = 0.
Значения усилий в стержнях в долях силы F
N2 0,67F; |
N1 0,5 0,67F 0,33F. |
(5.40) |
115
Расчет по допускаемым напряжениям.
Из условия прочности σmax NA σ , с учетом того, что максимальные нормальные напряжения возникают во втором стержне, имеем
σmax σ2 N2 0,67P σ .
A2 A
Решаем уравнение относительно силы F:
F A σ 10 10 4 160 103 238,8 кН. 0,67 0,67
Расчет по разрушающей нагрузке (см. п. 5.2.2).
Материал стержней – сталь, т. е. пластичный материал. Второй стержень более нагружен (см. формулу (5.40)). Поэтому, после достижения напряжением
во втором стержне значения предела текучести, этот стержень нагружаться не будет (напряжения не растут, увеличиваются деформации – см. диаграмму растяжения на площадке текучести).
Нагрузку, при ее дальнейшем увеличении, будет воспринимать первый стержень (до достижения в нем предела текучести).
Таким образом, N2 = σТА; N1 = σТ2А и уравнение (5.37) примет вид:
3σТ2А – 5F + 6σТА = 0.
Откуда получаем значение силы, при котором в обоих стержнях
напряжения достигнут предела текучести, |
– предельная грузоподъем- |
||
ность системы: |
|
|
|
F |
12 240 103 |
10 10 4 |
576 кН. |
Т |
5 |
|
|
|
|
|
|
Разделим предельное значение силы на коэффициент запаса nТ (nТ = 1,5) и получим допускаемое значение силы:
[FТ ] = 576 : 1,5 = 384 кН.
Видим, что при расчете во втором случае допускаемая нагрузка выше, чем в первом, на величину 384 : 238,8 = 1,61, т. е. расчет по разрушающим
116
нагрузкам дает возможность в большей степени использовать свойства материала и особенности стержневой системы.
Контрольные вопросы
1. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение силы F, при которой сечение I–I стержня переместится на ∆I–I = 0,04 см (Е = 2 · 105 МПа):
1) F = 4 кН; |
3) |
F = 8 кН; |
2) F = 6 кН; |
4) |
F = 10 кН. |
2. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение нормального напряжения в сечении I–-I:
1) |
σI I 200 МПа; |
3) |
σI I 75 МПа; |
2) |
σI I 125 МПа; |
4) |
σI I 50 МПа. |
3. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение площади А поперечного сечения I–I, если
σI–I = 50 МПа:
1) АI–I = 8 см2; |
3) АI–I = 12 см2; |
2) АI–I = 4 см2; |
4) АI–I = 16 см2. |
4. Укажите, в каком ответе приведено правильное значение силы F, если в заданном сечении I–I возникают нормальные напряжения |σI–I| = 80 МПа:
1) |
F = 12 кН; |
3) |
F = 6 кН; |
2) |
F = 4 кН; |
4) |
F = 2,4 кН. |
117
5. Под каким номером изображена правильная эпюра продольных сил N
(Е = 2 · 105 МПа; А = 10 см2)?
118
6. КРИТЕРИИ (ТЕОРИИ) ПРОЧНОСТИ
При рассмотрении вопросов данной темы воспользуемся решениями, полученными в курсе «Теория упругости», с учетом традиционных для сопротивления материалов допущений и гипотез.
Из предыдущих подразд. 2.4, 2.5 и разд. 5 уже известно, что взаимодействие между конструкциями и их элементами характеризуется внешними силами и, как следствие, внутренними силовыми факторами в различных сечениях, напряжениями и деформациями, которые будут иметь различные значения в разных точках по разным направлениям. В свою очередь, именно значения напряжений и деформаций определяют прочность и жесткость конструкции и ее элементов. Величина и направление этих напряжений и деформаций зависят не только от ВСФ, но и от положения плоскости, по которой их определяют, а, как известно, через точку можно провести сколь угодно много плоскостей.
Совокупность напряжений, действующих по возможным площадкам, проведенным в исследуемой точке, – напряженное состояние в точке.
Совокупность деформаций, возникающих в исследуемой точке по различным направлениям, – деформированное состояние в точке.
6.1. Основы теории напряженного состояния
6.1.1. Напряженное состояние в точке
Рассмотрим тело, нагруженное произвольной системой внешних нагрузок и находящееся в равновесии, и выделим в окрестности какой-то точки K этого тела параллелепипед (рис. 6.1) с гранями бесконечно малой длины dx, dy, dz.
Иначе говоря, в окрестностях исследуемой точки проведем шесть взаимно перпендикулярных плоскостей.
Рис. 6.1. Произвольным образом нагруженное тело
119
Предположим, что известны напряжения, действующие по граням этого параллелепипеда. Ввиду малости граней можно считать, что напряженное состояние во всех его точках одинаково и совпадает с напряженным состоянием в исследуемой точке K. Поэтому как по граням, так и по любым его сечениям напряжения считаются распределенными равномерно.
Изобразим параллелепипед в большем масштабе (рис. 6.2). Выберем произвольную систему координат.
Рис. 6.2. Напряжения в окрестностях произвольной точки нагруженного тела
К каждой из граней параллелепипеда, как известно из подразд. 2.5, приложено какое-то полное напряжение (в центре тяжести этой грани), вектор которого можно разложить на три составляющие (их еще называют компо-
нентами напряжений): нормальное σ и два касательных τ.
На рисунке пунктиром показаны векторы компонент напряжений,
приложенные к невидимым граням.
Обозначения векторов напряжений будем осуществлять в соответствии с правилами, принятыми в теории упругости.
Нормальным напряжениям σ присваиваем индексы в соответствии с осями, которым они параллельны: σx, σy, σz.
120