-7-07-~3

Проверка прочности. По вышеуказанным формулам ведется расчет экстремальных напряжений, которые сравнивают со значением допускаемых напряжений. Если неравенство соблюдается, то прочность обеспечена. При этом следует стремиться к тому, чтобы напряжения были по возможности

Проектировочный расчет. Используя условие прочности, решают задачу

Определение допускаемой нагрузки. Используя условие прочности,

решают задачу по определению нагрузки, при достижении которой брус будет оставаться прочным. Иначе говоря, определяют максимальную грузоподъемность бруса:

5.4. Расчеты на жесткость

5.4.1. Определение осевых перемещений поперечных сечений

Осевые перемещения сечений бруса определяются абсолютной линейной деформацией его отдельных участков. При этом используется закон Гука в виде (5.8). Методику определения осевых перемещений рассмотрим на примерах.

Пример 1. Определим, без учета собственного веса материала, осевое перемещение δ1-1 заданного сечения бруса 1–1, растянутого силой F (рис. 5.4, а). Модуль Е = const.

Искомое перемещение будет определяться абсолютной линейной деформацией части бруса be, расположенной между заделкой и сечением 1–1:

δ1-1 = lbe.

101

В соответствии с выражением закона Гука (5.9), необходимо рассматривать участки бруса, на которых все параметры, входящие в формулу,

няться это условие.

Рис. 5.4. К определению осевых перемещений без учета собственного веса

Тогда

lbe = lbc + lcd + lde.

Из эпюры N (рис. 5.4, б) следует Nсd = Nde = F; Nbc = 0. Окончательно получаем

Аналогичным образом определяются перемещения любых сечений бруса. По результатам расчетов строятся также эпюры перемещений. На рис. 5.4, в показана такая эпюра. В формулу (5.9) продольная сила N подставляется с учетом знака: если N < 0, то и δ < 0.

Пример 2. Определим перемещение произвольного сечения бруса от действия собственного веса его материала. Собственный вес вертикально расположенного бруса является равномерно распределенной нагрузкой, приложенной вдоль его оси (рис. 5.5). Интенсивность этой нагрузки

102

q = γА,

где γ – удельный вес материала бруса; А – площадь поперечного сечения бруса.

Рис. 5.5. Брус, нагруженный вдоль своей оси собственным весом

Продольную силу в произвольном сечении с координатой z найдем по формуле

N = qz = γАz.

Полное удлинение, в соответствии с законом Гука, определим как интеграл по длине бруса:

с учетом, что γАl = G – вес бруса в целом, имеем формулу для определения абсолютной линейной деформации (перемещения свободного конца) бруса от его собственного веса

5.4.2. Условие жесткости. Типы задач

По аналогии с условием прочности можно записать условие жесткости, т. е. ограничить перемещения сечений бруса. Для центрального растяже- ния-сжатия, в соответствии с законом Гука (5.9), условие жесткости

103

Значение допускаемой абсолютной деформации задают в зависимости от требований, предъявляемых к жесткости бруса.

По формуле (5.17) проверяется жесткость стержня.

Проектировочный расчет проводим, решая неравенство (5.17) относительно площади:

Допускаемая нагрузка (грузоподъемность), при которой обеспечивается заданная жесткость,

5.5. Статически определимые и статически неопределимые системы при растяжении-сжатии

Цель расчета бруса и стержневой системы (состоящей из отдельных брусьев – стержней), как и любой конструкции, – определение размеров поперечных сечений стержней, при которых обеспечивается прочность или жесткость или и то и другое. Исходя из условий прочности и жесткости при центральном растяжении-сжатии, видим, что в первую очередь необходимо знать экстремальное значениепродольной силы.

5.5.1. Расчет статически определимых систем

Под статически определимыми стержневыми системами понимают такие, в которых усилия в стержнях и на опорах (опорные реакции) определяются из уравнений статики. Опасное сечение (где действуют экстремальные продольные силы) легко определяется из эпюры N, и далее задача решается с применением соответствующих условий – прочности и жесткости.

Расчет статически определимой стержневой системы (рис. 5.6), представляющей собой два симметрично расположенных стержня, соединенных в

104

точках А, В, С посредством шарниров, сводится к определению усилий N1 и N2 в стержнях АВ и АС.

Эти усилия направлены вдоль стержней, т. к. соединяются посредством шарниров.

Рис. 5.6. Статически определимая стержневая система

Для определения осевых усилий запишем уравнения равновесия:

По известным усилиям определяются опасные сечения стержней и проводится расчет в соответствии с поставленной задачей.

5.5.2. Расчет статически неопределимых систем

Статически неопределимыми называют системы, в элементах (стержнях) которых усилия не могут быть определены с помощью уравнений статики.

Говорят, что система имеет дополнительные («лишние») связи (рис. 5.7).

На рис. 5.7, а показана стержневая система, составленная из трех стержней, соединенных шарнирно. В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней (см. рис. 5.7, б).

Как и в случае системы, изображенной на рис. 5.6, можно составить

только два уравнения равновесия:

105

Пример 1 (см. рис. 5.7, а). В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней.

Примем, что площадь поперечного сечения боковых стержней одинакова: А1 = А2 = А, а средний стержень имеет площадь nА. Тогда, решая систему

1.Силовая сторона задачи. Составляют уравнения равновесия (в данном случае – два). Они были составлены ранее (см. уравнения (5.22) и (5.23)). Имеем три неизвестных усилия и два уравнения статики. Система один раз статически неопределима.

2.Геометрическая сторона задачи. Рассмотрим перемещения стерж-

ней, сходящихся в точке А (рис. 5.8). Под действием внешней силы исследуемая точка переместится в положение А1. Концы стержней АВ, АD, АС соединены шарнирно в точке А, поэтому они получат соответствующие удлинения. Причем эти стержни деформируются совместно, в соответствии

сгеометрией системы.

Рис. 5.8. Перемещения стержней в узле А системы (см. рис. 5.7, б)

Мысленно рассоединим стержни в ненагруженном состоянии (в точке А) и соединим их в положении после нагружения (в точке А1). Концы крайних стержней переместятся по дуге из точки А соответственно в точку K и точку М и, удлинившись, соединятся в точке А1. Вертикальное перемещение точки А весьма мало; угол АА1М равен углу АА1K; дуги можно заменить прямыми, поэтому углы АKА1 и АМА1 – прямые.

Ввиду симметрии системы, абсолютные удлинения крайних стержней будут равны между собой: lAB lAC . Геометрически эти деформации

определяются отрезками KА1 = МА1. Средний стержень удлинится на величину отрезка АА1 и его удлинение lAD .

107

Рассматривая прямоугольные треугольники АKА1 и АМА1, можем записать соотношение сторон:

lAB lAC lAD cosα. (5.26)

Уравнение (5.26) и есть уравнение совместности деформаций рассматриваемой системы.

3. Физическая сторона задачи. В уравнении совместности деформаций выразим абсолютную деформацию через продольные силы по закону Гука:

4. Решение системы уравнений (синтез). Решаем систему уравне-

ний (5.25) и (5.27) и после преобразований получим зависимости, с помощью которых определяются искомые усилия в стержнях:

Видим, что с увеличением площади среднего стержня (с увеличением коэффициента n) усилие в нем уменьшится; усилия в крайних стержнях также изменятся.

В этом отличительная особенность статически неопределимых систем от статически определимых: увеличение жесткости (ЕА) одних элементов приводит к увеличению в них усилий и, обычно, к уменьшению усилий

вдругих стержнях.

Встатически определимых системах усилия в элементах не зависят от их жесткости.

108

5. Решение задачи в соответствии с ее условием. По известным усилиям,

записав условие прочности или условие жесткости, решаем поставленную задачу: проверяем прочность и (или) жесткость, проводим проектировочный расчет или определяем допускаемое значение нагрузки.

Пример 2. Рассмотрим методику раскрытия статической неопределимости для стержня, изображенного на рис. 5.7, в. Стержень имеет площадь поперечного сечения А и изготовлен из материала с модулем упругости I рода Е. Неизвестны два усилия – N1 и N2. Уравнение равновесия было записано ранее

(см. рис. 5.7, г и формулу (5.24)).

Рассмотрим геометрическую сторону задачи и составим уравнение совместности деформаций для опорных сечений, в которых перемещения равны нулю (рис. 5.9).

Отбросим мысленно нижнюю опору (рис. 5.9, б).

Рис. 5.9. Стержень, защемленный с двух сторон

Это опорное сечение станет свободным и переместится вниз за счет абсолютной линейной деформации lF участка длиной b под действием силы F.

С другой стороны, рассматриваемое опорное сечение – неподвижно, следовательно, перемещение его должно быть равно нулю. Это условие будет выполняться, если реакция на опоре N будет по величине и направлению такой, что абсолютная линейная деформация от ее действия lN окажется равной по

109

5.5.3. Расчеты в связи с наличием натягов при сборкеконструкций

приложения дополнительных усилий для сборки узла, при этом возникают

натяги и соответствующие монтажные напряжения.

Пример 1. Средний стержень (см. рис. 5.7, а) изготовлен короче проектного размера на малую величину (рис. 5.10, а). Для сборки стержней в узле А необходимо средний стержень растянуть, а крайние стержни сжать (рис. 5.10, б).

Рис. 5.10. Система из трех стержней с зазором в узле

Неизвестны два усилия. Задача один раз статически неопределима.

110