-7-07-~3

перемещаются параллельно самим себе (гипотеза Бернулли – плоских сечений). Следовательно, по всему сечению действуют нормальные напряжения одинаковой величины: σ = const.

Рис. 5.2. Произвольное сечение стержня

Нормальная сила N σ dA σ A, откуда

F

5.1.2. Продольные и поперечные деформации

Под действием продольной силы стержень изменяет свою длину (деформируется – удлиняется или укорачивается). Приращение длины стержня l – абсолютная линейная деформация его.

Рассмотрим участок стержня элементарной длины dz (рис. 5.3, а). Видим, что после приложения нагрузки – продольной силы N σdA, где А – площадь

F

поперечного сечения стержня, данный участок получит абсолютную линейную деформацию dz.

Рис. 5.3. Продольная (а) и поперечная (б) деформации элементарного участка

92

Знаем, чтоотносительнаяпродольнаядеформацияопределяетсяотношением

С учетом принципа Сен-Венана и выводов в п. 5.1.1 о том, что нормальные напряжения при растяжении-сжатии постоянны, следует постоянство продольной деформации по высоте и ширине сечения ε = const – справедлива гипотеза плоских сечений.

Суммируя абсолютные удлинения малых элементов dz = εdz по всей длине стержня, получим

Относительнаяпродольнаядеформациястержняприпростомрастяжении

Видно, что и в направлении осей X и Y поперечное сечение стержня также деформируется – поперечные размеры сечения уменьшаются при его растяжении и увеличиваются при сжатии (рис. 5.3, б). Это есть поперечная деформация: абсолютная ( h и b) и относительная:

Они записаны со знаком «минус», т. к. продольная и поперечная деформации имеют обратные знаки. Отметим, что для изотропных мате-

риалов εh εb ε .

5.1.3. Упругие постоянные материала

Опытами установлено, что отношение относительной поперечной к относительной продольной деформации для каждого материала есть вели-

чина постоянная. Это отношение, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентомпоперечной деформации (коэффициентом Пуассона):

93

Коэффициент Пуассона µ – всегда положительная безразмерная величина.

Определяется опытным путем для каждого материала и условий испытаний. Эту величину впервые теоретически получил француз Пуассон (для всех материалов – 0,25).

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации (например, при растяжении) связаны прямой пропорциональной зависимостью – см. рис. 4.5, участок ОА:

где Е – коэффициент пропорциональности.

Коэффициент Е называется модулем продольной упругости при растяжении (модулем упругости I рода, модулем Юнга).

Из вышеуказанного графика (см. рис. 4.5) и формулы (5.7) следует, что модуль продольной упругости определяется углом наклона α прямой на участке ОА, т. е. отношением

Модуль упругости I рода есть вторая упругая постоянная материала. Он

характеризует способность материала сопротивляться упругим дефор-

мациям растяжения или сжатия. Определяется опытным путем – испытанием образца, изготовленного из исследуемого материала. Имеет размерность напряжений. Впервые идею об этом модуле высказал в 1800 г. англичанин Томас Юнг, а современное толкование модуля дал в 1826 г. француз Луи Навье.

В табл. 5.1 приводятся значения упругих постоянных для некоторых конструкционных и строительных материалов при нормальных условиях испытаний.

Табл. 5.1. Упругие постоянные некоторых конструкционных и строительных материалов

94

Окончание табл. 5.1

5.1.4. Закон Гука

Данный закон впервые был сформулирован англичанином Робертом Гуком в 1676 г. в следующем виде: «Ut tension, sic vis – Каково удлинение, такова и сила».

Установлен опытным путем: при растяжении стержня силой F он получит абсолютную деформацию l; при пропорциональном увеличении силы в такой же пропорции увеличится и деформация.

Закон Гука описывается формулой (5.7), справедливой в пределах упругих деформаций материала, и формулируется следующим образом: нормальные напряжения прямо пропорциональны относительным линейным деформациям.

Известно, что σ NA , а ε ll . После подстановки этих зависимостей в формулу (5.7) получим

Данная формула – еще одна форма записи закона Гука: абсолютное удлинение или укорочение стержня l прямо пропорционально нормальной силе N и его первоначальной длине l и обратно пропорционально модулю упругости материала Е и площади поперечного сечения стержня А.

Формула (5.9) широко используется для расчета абсолютной линейной деформации стержня и перемещений поперечных сечений.

Произведение EА характеризует жесткость стержня при его осевом растяжении-сжатии.

95

Как уже было указано, величина максимальных рабочих напряжений в опасном сечении бруса (или в наиболее нагруженных элементах конструкции) не должна достигать опасных значений. Для обеспечения

надежности и долговечности эти опасные напряжения снижают до некоторой величины, т. е. их величина ограничивается так называемыми

допускаемыми напряжениями.

Величина допускаемых напряжений устанавливается для каждого материала на основе опыта, путем расчета. Обозначают напряжение символом его в квадратных скобках: нормальные напряжения [σ], касательные напряжения [τ].

Из опыта определяют опасное напряжение (предел текучести – для пластичного материала и предел прочности – для хрупкого).

В зависимости от условий работы и назначения, характера нагружения конструкции, требований к экономии, надежности и безопасности, требований к точности расчетов назначают коэффициент запаса n > 1. Этот коэффициент можно назвать «коэффициент незнания»: чем меньше мы знаем об условиях эксплуатации проектируемой конструкции и свойствах материала, чем меньше мы уверены в правильности выбранной расчетной схемы – тем больше должна быть величина коэффициента запаса.

Допускаемое напряжение для пластичных материалов (например, углеродистая сталь)

σ σТ ;

nТ

допускаемое напряжение для хрупких материалов (например, чугун)

σ σВ ,

nВ

где nТ – коэффициент запаса прочности по пределу текучести; nВ – коэффициент запаса прочности по пределу прочности.

Их усредненные значения:

в машиностроении (стали) nТ =1,4…1,6; nВ = 2,5…3,0;

в строительстве: бетон, железобетон nВ = 2,0…3,5; дерево nВ = 3,5…6,0; сталь nТ = 1,5.

Например, для стали Ст 3 при обычных условиях эксплуатации обычных конструкций σТ = 240 МПа, nТ = 1,5. Тогда [σ] = 240 : 1,5 = 160 МПа.

Рекомендации по выбору коэффициентов приводятся в литературе, а также

встроительных нормах Беларуси (СНБ) и строительных нормах и прави-

лах (СНиП) – в России.

98

на прочность

Исходя из рассматриваемого подхода, условие прочности может быть записаносоответственнодлянормальныхиликасательныхнапряженийввиде

Заметим, что перенапряжение (превышение величины максимальных напряжений над допускаемыми) не должно быть более 5 %.

Порядок проведения расчета:

определить вид нагружения (путем построения эпюр внутренних силовых факторов);

на основании анализа эпюр определить опасное сечение бруса

(сечение, в котором приложен экстремальный по величине внутренний силовой фактор);

для выявленного вида нагружения и для его опасного сечения записать условие прочности (в одних случаях – по нормальным напряжениям, в других – по касательным (см. формулы (5.10)), а при сложных видах нагружения условие прочности будет иметь более сложный вид).

При центральном (осевом) растяжении-сжатии в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения (см. п. 5.1.1). Если экстремальные по величине нормальные напряжения сравнить с допускаемыми, то получим условие прочности при растяжении-сжатии:

– для бруса постоянного сечения (площадь поперечного сечения А = const)

99