-6-05-~3

Y = 0, Y = Υ A + F + ΥC − q a −ΥD = 0,

18,43 + 20 + 34,79 −12 4,2 − 22,82 = 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке AD шарнирной балки.

Вточке D: QD = 22,82 кН,M D = 0.

Вточке С (правее): QC = 22,82 кН,

M C = −22,82 2,4 = −54,77 кНм.

Рисунок 34 - Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Вточке С (левее): QC = 22,82 − 34,79 = −11,97 кН, MC = −54,77 кНм.

Вточке В (правее): QB = −11,97 кН, M B = −22,82 4,6 + 34,79 2,2 = −28,43кНм.

В точке В (левее): QВ = −11,97 − 20 = −31,97 кН, M B = −28,43кНм.

71

В точке А: QA = −31,97 +12 4,2 =18,43кН, M А = 0.

Определим координаты точек К и М:

Вычислим значение изгибающих моментов в точках K и М:

Проверим несущую способность балки:

= ≤ [ ].

Для двутавра № 24 из сортамента (Приложение 1) выпишем значение момента сопротивления: Wx = 289 см3.

Из эпюры изгибающих моментов: M max = 54,77 кНм.

σmax = 54,77 103 = 189,5 106 Па = 189,5МПа 210МПа. 289 10−6

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра № 24 из сортамента (Приложение 1) выпишем:

I x = 3460 см4 , Sxотс = 163 cм3 ,b = 5,6мм.

Из эпюры поперечных сил: Qmax = 27,58кН.

τmax = 31,97 103 163 10−6 = 26,9 106 Па = 3460 10−8 5,6 10−3

= 26,9МПа 130 МПа .

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

72

Пример 17

Для заданной шарнирной балки (рисунок 35) построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки - двутавр № 24, [σ] = 210 МПа, [τ]= 130 МПа.

Решение.

Данная балка может рассматриваться как сочетание балок ЕK, СЕ, последовательно лежащих на консоли АС.

Рассмотрим равновесие подвесной балки ЕK. Определим реакции опор:

Проверим правильность определения реакций опор:

Y = 0, 16,55 + 4,25 − 8 2,6 = 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке ЕK шарнирной балки (рисунок 28).

M Е =16,55 2,6 −8 2,6 22,6 −16 = 0.

Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию YE прикладываем к балке с обратным знаком.

Проверяем правильность определения реакций опор:

73

Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки:

Вточке E: QE = 4,25кН,M E = 0.

Вточке D (правее): QD = 4,25 + 8 3,2 = 29,85кН,

M D = −4,25 3,2 − 8 3,222 = −54,56кНм.

В точке D (левее): QD = 29,85 − 59,7 = −29,85кН, M D = −54,56кНм.

В точке С: QC = −29,85 + 8 3,2 = −4,25кН,

MC = −4,25 6,4 − 8 6,242 + 59,7 3,2 = 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на консольной балке АС (реакцию ΥC прикладываем с обратным знаком):

В точке С: QС = −4,25кН, M С = 0.

Рисунок 35 - Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

74

В точке B (правее): QB = −4,25кН, M B = 4,25 2,6 =11,05кНм.

В точке B (левее):

QB = −4,25 +12 = 7,75кН, M B =11,05кНм.

В точке А: QA = 7,75 кН,

M А = 4,25 3,8 −12 1,2 =1,75кНм.

Определим момент в точке L (эпюра поперечных сил меняет знак):

Проверим несущую способность балки:

Из эпюры изгибающих моментов (рис.28): M max = 54,56 кНм. Из Приложения 1: WX = 289 cм3.

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Из эпюры поперечных сил:Qmax = 29,85кН.

Для двутавра №24 из сортамента (Приложение 1):

I x = 3460 см4 , Sxотс = 163 см3 , b = 5,6мм.

τmax = 29,85 103 163 10−6 = 25,1 106 Па = 3460 10−8 5,6 10−3

= 25,1 МПа 130 МПа .

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

Пример 18

Для заданной рамы (рисунок 36) построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов.

75

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:

Рисунок 36 - Схема рамы и эпюра продольных сил

−YK 6,6 −10 2,4 −10 4,6 + 20 − 20 +12 4,222 = 0,

YK = 5,43кН;

M K = 0,

−X A (a + c) + YA (a + b + c) − q (a + b) (a +2 b + c) + m − m + F a = 0,

−20 4,6 +YA 6,6 −12 4,2 4,5 + 20 − 20 +10 2,2 = 0,

YА = 44,97 кН.

76

Проверим правильность определения опорных реакций:

М D = 24 кНм (сжатые волокна сверху),

MC (правее ) = 24 + 5,43 2,4 = 37,032 кНм ,

MC (левее) = 37,032 + 20 = 57,032кНм (сжатые волокна сверху).

Найдем значение экстремального значения момента:

77

М0 = 10 2,4 + 20 + 5,43 2,85 −12 0,452 2 = 44 +15,49 −1,23 =

=58,261кНм , (сжатые волокна сверху).

Проверим равновесие узлов.

Равновесие узлов выполняется.

Рисунок 37 - Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Пример 19

Для заданной рамы (рисунок 38) построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Определим реакции опор:

78

M A = 0,

−М + q a a − F a + m − m + q b b + a + F c = 0,

A 2 2

М A =10 4 2 − 20 4 +16 −16 +10 2 5 + 20 6 = 220 кНм;

Построим эпюру продольных сил (рисунок 38).

Участок ED: NE = ND = 0,

Участок DC:

ND = NC = q b =10 2 = 20 кН (растяжение),

Участок AС:

N А = NВ = NС = −X A = −20 кН (сжатие).

Построим эпюру поперечных сил (рисунок 39).

Участок ED:

QE = 0, QD = −q b = −10 2 = −20 кН,

Участок DC:

QD = QC = F = 20 кН,

Участок АC:

QA = YA = 40 кН, QB Л = YA − q a = 40 −10 4 = 0,

QB П = YA − q a + F = 20 кН, QC = YA − q a + F = 20 кН.

Построим эпюру изгибающих моментов (рисунок 39).

Участок ED:

МC = m + q b22 − F c =16 +10 222 − 20 6 = −84кНм,(сжатые волокна слева).

Участок AС:

M A = −М A = −220 кНм, (сжатые волокна снизу).

79

M B = −М A +YA a − q a22 = −220+ 40 4 −10 422 = −140кНм,

= −220 + 40 6 −10 4 4 + 20 2 = −100 кНм , (сжатые волокна снизу).

Рисунок 38 - Схема рамы и эпюра продольных сил

80