-6-05-~3

MC = 62,52 5 − 20 52 12 +12 2 = 86,6кНм.

В точке С (правее): QC = −25,48кН, M С = 86,6 +18 =104,6кНм.

В точке D (левее):

QD = −25,48кН;

MD = 62,52 8,4 +12 5,4 − 20 5 5,9 +18 =18кНм.

Вточке Е эпюра поперечных сил пересекает ось z. Определим расстояние zE:

zE = QB = 14,52 = 0,726м. q 20

Определим значение изгибающего момента в точке Е:

ME = 62,52 3,726 − 20 3,7262 12 +12 0,726 =

=232,95 −138,83 + 8,712 = 102,83кНм.

Подберём сечение в виде двух швеллеров при [σ] = 210 МПа.

Перегрузка составляет:

216 − 210 100 = 2,8% < 5% , что допустимо.

210

61

Проверим прочность по касательным напряжениям:

Прочность балки, состоящей из двух швеллеров, по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

Пример 13

Для заданной балки (рисунок 31) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать прямоугольное сечение из древесины, если соотношение сторон сечения составляет ⁄ = 1,4; [ ] =

16МПа, [ ] = 2МПа.

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:

MC = 0,

−F (a + b) + m1 −ΥB b + q b2 12 − q c2 12 + m2 = 0,

−10 6 + 8 − Υ B 4 + 6 42 12 − 6 4,22 12 + 8 = 0,

ΥB = −12,23кН.

Направление реакции меняем на противоположное. Проверим правильность определения реакций:

Y = 0,

F −ΥB + ΥC − q 8,2 =10 −12,23 + 51,43 − 6 8,2 = 0.

62

Рисунок 31Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 31).

В точке В (правее): QВ =10 −12,23 = −2,23кН, M B = 20 −8 =12кНм.

В точке С (левее): QC = −2,23 − 6 4 = −26,23кН,

M C =10 6 −12,23 4 − 8 − 6 4 2 = −44,92 кНм.

В точке С (правее): QC = −26,23 + 51,43 = 25,2кН, MC = −44,92 кНм.

В точке D: QD = 10 −12,23 − 6 8,2 + 51,43 = 0,

M D =10 10,2 −12,23 8,2 −8 + 51,43 4,2 − 6 8,2 4,1 = 8кНм.

Подберём прямоугольное сечение, M max = 44,92 кНм (рисунок 31):

σ = Mmax R, max Wx

Округляем: b = 20,5 см.

63

=15,96 МПа < 16 МПа.

Недогрузка составляет:

16−15,96 100 = 0,3%. 16

Проверим прочность по касательным напряжениям:

= 0,67 МПа 2МПа .

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

Пример 14

Для заданной балки (рисунок 32) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать круглое сечение из древесины, если [σ] = 16 МПа, [τ] = 2 МПа.

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:

M B = 0, −ΥD (b + c) + q c (2c + b) + m − q b b2 + F a = 0,

− Υ D 5,4 +10 3,2 3,8 + 20 −10 2,222 +16 2 = 0,

YD = 27,67 кН.

M D = 0, F (a + b + c) −ΥB (b + c) + q b (b2 + c) + m −

64

Υ B = 33,67 кН.

Проверим правильность определения реакций:

Y = 0, − F − q b + q c +ΥB −ΥD = 0,

−16 −10 2,2 +10 3,2 + 33,67 − 27,67 = 0.

Рисунок 32 - Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В точке А: QA = −16кН, M A = 0.

В точке С (левее): QC = 17,67 −10 2,2 = −4,33кН,

M C = −16 4,2 −10 2,2 1,1+ 33,67 2,2 = −17,33кНм.

M D = −16 7,4 −10 2,2 4,3 + 33,67 5,4 − 20 +10 3,2 1,6 = 0.

65

Определим значение изгибающих моментов в точке K и М (в этих точках эпюра поперечных сил меняет знак).

= −16 3,77 + 33,67 1,77 −10 1,772 2 = −16,39 кНм,

zM = QD = 27,67 = 2,77м, q 10

MM = −YD zM + q zM z2M =

− 27,67 2,77 +10 2,772 2 = −38,28кНм.

Подберём круглое сечение из условия прочности:

= ≤ [ ]

Из эпюры изгибающих моментов (рисунок 32) выберем максимальный изгибающий момент: M max = 38,28кНм.

66

Из эпюры поперечных сил (рисунок 32) выберем максимальную поперечную

силу: Qmax = 27,67 кН.

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

Пример 15

Для заданной балки (рисунок 33) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 30, [σ] = 210 МПа, [τ] = 130 МПа.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание консольной балки DE и подвесной двухопорной балки AD, для которой правой опорой является конец консоли D первой балки.

Рассмотрим равновесие подвесной балки AD и определим ее опорные реакции:

M А = 0, −ΥD (a + b + c) − F(a + b) + +q(b + c)(a + b +2 c) − m = 0,

−ΥD 8,4 −18 6,8 +16 6,2 5,3 − 24 = 0,

ΥD = 45,16 кН;

M D = 0, Υ A (a + b + c) − m − q(b + c)(b +2 c) + F c = 0,

ΥA 8,4 − 24 −16 6,2 3,1+18 1,6 = 0,

ΥA = 36,04 кН.

Определим правильность определения опорных реакций:

Y = 0, Υ A + F +ΥD − q(b + c) = 0,

36,04 +18 + 45,16 −16 6,2 = 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В точке А: QA = 36,04кН, M A = 0.

В точке С (левее): QC = 36,04 −16 4,6 = −37,56 кН,

M C = 36,04 6,8 − 24 −16 4,6 2,3 = 51,79 кНм.

В точке С (правее): QC = −37,56 +18 = −19,56 кН, MC = 51,79 кНм.

В точке D: QD = −19,56 −16 1,6 = −45,16 кН,

M D = 36,04 8,4 − 24 −16 6,2 3,1+18 1,6 = 0.

Рассмотрим консольную балку DE. Реакцию YD прикладываем в точке D с противоположным знаком. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учётом YD.

Рисунок 33 - Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

В точке D: QD = −45,16кН, М D = 0,

QE = −45,16 +16 4,6 = 28,44 кН,

68

M E = −45,16 4,6 +16 4,6 2,3 = −38,46кНм.

Определим величину изгибающих моментов в точках K и M (в данных точках эпюра поперечных сил меняет знак, рисунок 26):

Проверим прочность балки по нормальным напряжениям:

= ≤ [ ].

Для двутавра № 30 из сортамента (Приложение 1) выпишем значение момента сопротивления: Wx = 472 см3.

Из эпюры изгибающих моментов: M max = 95,88кНм.

Недогрузка составляет:

210 − 203,13 100 = 3,3%.

210

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Геометрические характеристики для двутавра № 30 выбираем из Приложения 1:

Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

69

Пример 16

Для заданной балки (рисунок 34) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, [σ] = 210 МПа, [τ]= 130 МПа.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание балки AD, лежащей на двух опорах и подвесной двухопорной балки DE.

Рассмотрим равновесие подвесной балки DE. Определим реакции опор:

Проверяем правильность определения реакций опор:

Y = 0, ΥD +ΥE − q a = 0,

22,82 + 27,58 −12 4,2 = 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке DE шарнирной балки.

Определим реакции опор балки AD, приложив в точке D реакцию YD, взятую с обратным знаком.

M А = 0, −ΥС (a + b) − F a + q a a2 +ΥD (a + b + c) = 0,

−ΥC 6,4 − 20 4,2 +12 4,222 + 22,82 8,8 = 0,

ΥC = 34,79 кН;

MC = 0, ΥA (a + b) − q a(a2 + b) + F b +ΥD c = 0,

ΥA 6,4 −12 4,2 4,3 + 20 2,2 + 22,82 2,4 = 0,

ΥA =18,43кН.

Проверяем правильность определения реакций опор:

70