Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

-6-05-~3

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

13.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

a1	= 10 − 7,74 =	2,26 см,
a2	= 2,26 + 2,84	= 5,1 см,
a1 =	− 10 + 2,26 = − 7,74 см.

Расстояния между осями yi:

b1 = 1,33 см,

b2 = 2,55 + 1,33 = 3,88 см, b3 = − 6,5 + 1,33 = − 5,17 см.

Рисунок 22 - Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см)

Определим осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:

I xc = (I xi + ai 2 Ai )= I x1 + A1 a12 + I x2 + A2 a22 + I x3 + A3 a32 =

=14,67 + 44 2,262 + 80,95 +15,98 5,12 + 1290 + 23,4 (−7,74)2 = = 3427,83 см4 ,

I yc = (I yi + bi 2 Ai )= I y1 + A1 b12 + I y2 + A2 b22 + I y3 + A3 b32 =

= 1774,67 + 44 1,332 +

225 + 15,98 3,882 + 82,6 +

+ 23,4 (− 5,17)2 = 3026,13 см4 .

Определим центробежный момент инерции составного сечения:

= ∑( + )		=	+	+	+	+
		1 1	1 1	2 2		2 2
+ Ix3 y3 + A3 a3b3	= 44 2,26 1,33 − 84,1 + 15,98 5,1 3,88 +
+ 23,4 (− 7,74) (−5,17) = 1300,73 см4 .

Перед I x3 y3 ставим знак « минус » в соответствии со следующим правилом знаков при расположении уголка:

Определим значения главных центральных моментов инерции:

I x

+ I y

− I y

I max = I1,2 =

+ I 2 xc yc

min

3427,83 + 3026,13

3427,83− 3026,13 2

+1300,73

	= 3228,42 1316,15.
Imax	= I1 = 3228,42 + 1316,15 = 4543,13 см4 ,
Imin	= I2 = 3228,42 − 1316,15 = 1910,83 см4 .

Проверим правильность вычисления:

Ixc + I yc = Imax + Imin ,

3427,83+3026,13=4545,13+1910,83.

Определим положение главных центральных осей:

tg =

Ixc yc

1300,73

= − 0,857 ,

I yc − I1

3026,13 − 4543,13

tg 2 =

1300,73

1,163 ,

I yc

− I2

3026,13 −1910,83

1 = −40,7o ,

2 = 49,3o ,

= 90o.

Угол α2 откладывается от оси xc по ходу часовой стрелки, т.к. он отрицателен, α2- против часовой, т.к. он положителен (рисунок 22).

2.3 Кручение цилиндрического стержня

Случай нагружения стержня, когда в поперечном сечении возникает только крутящий момент, а продольные и поперечные силы и изгибающие моменты отсутствуют, называется кручением. Стержень, подвергающийся кручению, часто называют валом. Кручению подвергаются элементы сооружений, детали машин, валы станков и двигателей, оси колесных пар локомотивов, дрезин и т.п. Характер деформации вала, подвергающегося кручению, в большой степени зависит от формы поперечного сечения. Наибольшее распространение в производстве имеют валы с круглым и кольцевым сечением.

2.3.1 Определение крутящих моментов и построение их эпюр

Для расчета реального вала необходимо составить его расчётную схему. Под расчётной схемой конструкции (вала) подразумевается упрощённое изображение самой конструкции и нагрузки, действующей на эту конструкцию. Вал рассматривается в положении равновесия. Условие равновесия вала имеет вид:

∑МКi = 0.

(16)

Для определения величины крутящего момента в любом сечении вала используется метод сечений. Мысленно рассечем вал плоскостью, отбросим правую часть и рассмотрим равновесие левой части вала. На эту часть вала действуют внешние моменты и внутренний крутящий момент МК, приложенный в рассматриваемом сечении вала. Если отбросить левую часть вала и рассмотреть равновесие правой части, то на эту часть вала действуют внутренний крутящий момент МК и внешние моменты.

Для крутящего момента принимается следующее правило знаков: крутящий момент МК считается положительным, если, при взгляде на рассматриваемое сечение со стороны его внешней нормали, он закручивает вал по ходу часовой стрелки. Условие равновесия любой рассматриваемой части вала имеет вид: Σ МК = 0, т.е. сумма моментов всех сил, действующих на конкретную часть вала равна нулю.

Для анализа деформированного состояния вала и решения вопроса его прочности необходимо построить эпюру крутящего момента. Эпюра крутящего момента МК - это графическое изображение закона изменения величины крутящего момента по длине вала в зависимости от положения рассматриваемого сечения.

2.3.2 Определение напряжений и деформаций при кручении вала с круглым поперечным сечением

Для вычисления напряжений в сечении закручиваемого вала и определения деформации его закручивания приняты две гипотезы:

1)сечения вала, плоские до закручивания вала, остаются плоскими и во время закручивания;

2)радиусы, мысленно проведённые в сечении вала, в процессе кручения не искривляются, а остаются прямыми.

Принятые гипотезы позволяют рассматривать кручение вала круглого сечения как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений относительно друг друга. В силу того, что длина вала при кручении его не изменяется (это установлено опытами), в поперечном сечении закручиваемого вала возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения отсутствуют, то есть

σz=0.

Максимальные касательные напряжения определяются следующим образом:

		= G = G	d	r,	= G	d		.	(17)
	max
			dz			dz

Касательные напряжения изменяются							пропорционально		расстоянию ρ от

центра сечения вала (от оси стержня, 0 ≤ ρ ≤ r) до конкретной точки сечения. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих на поверхности закручиваемого вала. Следовательно, разрушение вала будет начинаться на поверхности вала.

Величина полного крутящего момента в сечении вала равна:

(18)

М К = dA.

МК =

2dA

dA = Iρ –

полярный момент инер-

, МК = G

ции сечения вала.

МК

МК = GIρ dz

= GI .

(19)

τρ =

, τmax =

К r ,

= W , τmax

К .

(20)

Величина Wρ является полярным моментом сопротивления круглого сечения. Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления круглого сечения равны:

I	=	d 4	, W =	d 3	.
		32		16

Для кольцевого сечения с внешним диаметром D и внутренним d:

I = 32D4 (1− 4 ), W = 16d 3 (1− 4 ), где = Dd .

Определим угол закручивания вала.

Воспользуемся вторым выражением из (19) и найдём dφ:

d = М К dz . GI

После интегрирования получаем угол поворота конечного сечения участка по отношению к начальному сечению того же участка вала

l
= М К dz ,
0	GI
	44

Если МК= сonst и GIρ= сonst, то		М К l
Если МК= сonst и GIρ= сonst, то	=	GI .	(21)

Величина GIρ называется жесткостью вала при кручении.

Полученные формулы (20) и (21) для определения касательных напряжений и угла поворота при закручивании вала правомочны только для валов с круглым или кольцевым сечениями. Эти формулы используются для решения задач прочности и жёсткости валов.

Условия прочности и жёсткости вала имеют вид соответственно:

τmax ≤[τ], θ ≤ [θ], (22)

где ≤ [τ], – допускаемое касательное напряжение, [θ] – допускаемый угол закручивания в рад/м, которые задаются в ГОСТ;

θ = φ/l = МК/GIρ – относительный угол закручивания, то есть взаимный поворот двух сечений вала, находящихся друг от друга на расстоянии одного метра.

Используя условия прочности и жёсткости вала, решается задача побора размеров сечения вала по прочности или по жёсткости.

2.3.3 Подбор диаметра вала круглого сечения по прочности

Запишем условие прочности вала в виде:

τmax =

М К

≤ [τ],

или W

МК

, то есть

d 3

16М

. .

Для кольцевого сечения

D 3

16М К

, где

(1−

)

2.3.4 Подбор диаметра вала по жёсткости

Условие жёсткости вала представим в виде:

	М К			М		32ТМ
=	GI	или	I	G К , то есть	d 4	К	.
						G

Для трубчатого сечения

D 4	32М К	.
	G 1− 4

(23)

(24)

Пример 8

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами (рисунок 23). Допускаемое касательное напряжение [τ] = 130 МПа, модуль сдвига G = 80 ГПа.

Требуется:

1)построить эпюру крутящих моментов;

2)подобрать диаметр вала, округлив его до большего размера с шагом 0,5 см;

3)построить эпюру напряжений;

4)построить эпюру углов закручивания;

5)построить эпюру относительных углов закручивания.

а = 1 м,
в = 0,8 м,
	с = 1,2 м,
m1 =12 кНм,
m2	= 21 кНм,
m3	= 8 кНм,
Рисунок 23 - Схема вала	m4 =16 кНм,
θ = 2 м.

Решение.

Построим эпюру крутящих моментов (рисунок 24,а).

При определении крутящих моментов в сечениях вала, принимаем следующее правило знаков: момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения его направление совпадает с движением часовой стрелки.

Рисунок 24 - Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания и относительных углов закручивания

Участок АВ: Участок ВС: Участок СD: Участок DE:

MK AB = m1 = 12 кНм,

MKBC = m1 − m2 = 12 − 21 = − 9 кНм,

MKCD = m1 − m2 + m3 = − 9 + 8 = − 1 кНм,

MKDE = m1 − m2 + m3 − m4 = −1−16 = − 17 кНм.

По эпюре (рисунок 24,а) определяем максимальный крутящий

момент:

M K max =17 кНм.

Определим диаметр вала из условия прочности:

			τmax = MK max	=	16MK max	,	где W =	πd 3	,
			τmax = MK max	=		,	где W =	16	,
			W		πd3			16
d = 3	16 MK max	= 3	16 17 103	= 0,0873 м = 8,73 см 9 см.
d = 3		= 3	6	= 0,0873 м = 8,73 см 9 см.
	π		3,14 130 10

Определим диаметр вала из условия жесткости:

θ =

M K max

θ ,

где I =

πd 4

G I

θ =

32 M K max

θ ,

G πd 4

θ = 2 м

= 0,0349 рад м,

180

d = 4

32 M

K max

= 4

32 17 103

80 109 3,14

0,0349

G π θ

= 0,0888 м = 8,88 см 9 см.

Из двух значений диаметров выбираем большее, округлив его: d = 0,09 м . Тогда полярный момент сопротивления равен

W = πd 3 = 3,14 0,093 =143,07 10−6 м3 . 16 16

Определим касательные напряжения, возникающие на участках вала:

τ АВ

M KAB

12 103

= 83,88 10

Па = 83,88 МПа.

143,07 10

−6

τВС =

M KBC

= −

9 103

= − 62,91 10

Па =

62,91 МПа.

143,07 10

−6

τCD =

M KCD

= −

1 103

= − 6,99

Па =

6,99 МПа.

143,07 10−6

τDE =

M KDE

= −

17 103

= −118,82

Па =

118,82 МПа.

143,07 10−6

Построим эпюру касательных напряжений (рисунок 24,б).

Определим углы закручивания на участках вала, используя следующую формулу:

φ = MK l ,

G I

где полярный момент инерции равен

πd 4

3,14 0,09

−8

= 643,79

φDE =

M KDE

= −

17 103

1,2

= −0,0396 рад,

G I

80 109

644 10−8

φCD =

M KCD a

= −

1 103 1

= −

0,0019 рад,

G I

80 109

644 10−8

φBC =

M KBC в

= −

9 103

0,8

= − 0,014 рад,

G I

80 109

644 10−8

φAB

M K AB

12 103

1,2

= 0,0279 рад.

G I

80 109

644 10−8

Строим эпюру углов закручивания (рисунок 24,в), учитывая, что угол поворота в заделке отсутствует:

φÅ = 0 ,

φD = φE + φDE = −0,0396 рад ,

φС = φD + φCD = − 0,0396 − 0,0019 = − 0,0415 рад,

φB = φC + φBC = − 0,0415 − 0,014 = − 0,0555 рад, φА = φB + φAB = − 0,0555 + 0,0279 = − 0,0271 рад.

Построим эпюру относительных углов закручивания (рисунок 24,г). Наиболее загруженным является участок DE, где

= 118,82 < [ ] = 130 МПа

Условие прочности выполняется.

Пример 9

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами (рисунок 25). Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг [τ] = 130 МПа, модуль сдвига G = 80 ГПа.

Требуется:

1)построить эпюру крутящих моментов;

2)подобрать диаметр вала, округлив его до большего размера с шагом 0,5 см;

3)построить эпюру напряжений;

4)построить эпюру углов закручивания;

5)построить эпюру относительных углов закручивания.

	а = 1,2 м
	в = 1,4 м
	с = 0,9 м
	m1 =16 кНм
	m2 = 8 кНм
Рисунок 25 - Схема вала	m3 =12 кНм

m4 =14 кНм

θ = 1,2 м

Решение.

Определим величину значения неизвестного момента m0 , составив уравнение равновесия:

m = 0;

m = −m1 − m2 + m0 + m3 − m4 = 0;

−16 −8 + m0 +12 −14 = 0; m0 = 26 кНм.

Находим крутящий момент на участках вала:

Участок АВ: Участок ВС: Участок CD: Участок DE:

M K AB = −m1 = −16 кНм,

M KBC = − m1 − m2 = −16 − 8 = − 24 кНм,

M KCD = −m1 − m2 + m0 = − 24 + 26 = 2 кНм, M KDE = −m1 − m2 + m0 + m3 = 2 +12 = 14 кНм.

Построим эпюру крутящих моментов (рисунок 26,а). По эпюре определяем максимальный крутящий момент:

MK max = 24 кНм.

Определим диаметр вала из условия прочности:

K max

16M

K max

где W =

πd 3

max

πd3

d = 3

16M K max

= 3

16 24 103

= 0,098 м = 9,8 см 10 см.

3,14 130 10

Определим диаметр вала из условия жесткости:

θ =	M K max	θ , где	I =	πd4	;
	G I			32

θ = 1,2 180π = 0,021 радм,

d = 4	32 M K max	= 4	32 24 103	= = 0,109 м =10,9 см 11см.
	G π θ		80 109 3,14 0,021

Из двух значений диаметров выберем большее, округлив его: d = 0,11м . Тогда полярный момент сопротивления равен

W	=	πd 3	=	3,14 0,113	= 261,2 10−6 м3.
		16		16

Рисунок 26 - Схема вала. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания и относительных углов

закручивания

Определим касательные напряжения, возникающие на участках вала:

τ АВ =

M KAB

= −

16 103

= − 61,26 10

Па = − 61,26 МПа,

261,2 10−6

τВС =

M KBC

= −

24 103

= − 91,88 10

Па = − 91,88 МПа,

261,2 10−6

τСD =

M KCD

2 103

= 7,66

Па = 7,66 МПа,

261,2 10

−6

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20253.83 Mб0-1B212~1.PDF
#
28.12.20255.47 Mб0-1C2CD~1.PDF
#
30.11.202513.16 Mб0-2-360~1.PDF
#
28.12.20256.59 Mб1-6-05-~1.PDF
#
28.12.20253.86 Mб0-6-05-~2.PDF
#
28.12.202513.39 Mб0-6-05-~3.PDF
#
28.12.20251.42 Mб0-6-05-~4.PDF
#
28.12.20256.84 Mб0-62083~1.PDF
#
28.12.20254 Mб0-640CC~1.PDF
#
28.12.20253.75 Mб0-6A82E~1.PDF
#
28.12.20251.48 Mб0-6AC01~1.PDF