-6-05-~3
.PDF
Пример 2
Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней, загружена согласно схеме (рисунок 6). Допускаемое напряжение материала [σ] = 210 МПа, модуль продольной упругости E = 210 ГПа.
F = 20кН,
q1 = 5кН/м, q2 = 10кН/м, а = 0,8м,
в = 1м,
[δ] = 20 мм.
Рисунок 4 - Схема стержневой системы
Требуется: подобрать диаметр стержней, округлив их до большего значения с шагом 0,5 см, и выполнить проверочный расчёт жёсткости, если перемещение точки С не должно превышать 20 мм.
Решение.
Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющих. В первую очередь рассмотрим жёсткий элемент I (рисунок 5), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия. Приложим к стержню 1 неизвестную продольную силу N1, направим ее от сечения, предположив, что стержень растягивается, и определим ее значение.
Рисунок 5 - Схема жесткого элемента I Составим уравнение равновесия:
M A = 0 ; q1 4a 2a − N1 a = 0 ,
5 4 0,8 2 0,8 − N1 0,8 = 0 ,
N1 = 250,8,6 = 32 кН.
21
Знак «плюс» свидетельствует о том, что стержень растягивается. Определим опорные реакции XА и YА, составив уравнения равновесия:
Σ X = 0; XA = 0,
Σ Y = 0; YA + N1 – q1· 4a = 0,
YA = q1· 4a – N1 = 5 · 4 · 0,8 – 32 = – 16 кН.
Знак «минус» показывает, что направление реакции YA необходимо заменить на противоположное.
Рассмотрим жесткий элемент II (рисунок 6), приложив к нему растягивающую продольную силу N1. Рассечем стержень 2, приложив к нему растягивающее усилие
N2.
Рисунок 6 - Схема жесткого элемента II
Cоставим уравнение равновесия:
M B = 0 ; F 4a − N1 3a − q2 a 2,5a + N2 sin α 2a = 0, 20 4 0,8 − 32 3 0,8 −10 0,8 2,5 0,8 + N2 sin α 2 0,8 = 0,
N2 sin α 1,6 = 28,8.
Определим sinα. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина стержня 1: |
l1 = 2b = 2 м. |
|
|
|
|
|
|||||
Длина стержня 2: |
l2 = b2 + (2a)2 |
= 12 + 1,62 |
= 1,89 м. |
||||||||
|
|
sin α = |
b |
= |
|
|
1 |
|
= 0,529. |
||
|
|
|
1,89 |
||||||||
|
|
|
|
l2 |
|
||||||
Тогда N2 0,529 1,6 |
= 28,8 , |
N2 = |
28,8 |
|
|
|
= |
34,03 кН . |
|||
0,529 1,6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим опорные реакции YB и XB, составив уравнения равновесия:
ΣY = 0; F – N1 – q2 · a + N2 sin α + YB = 0,
YB = −20 + 32 + 10 · 0,8 – 34,03 · 0,529 = 1,99 кН. ΣX = 0; XB + N2 cos α = 0, XB = −N2 cos α,
cos α = 
1 − sin2 α = 
1 − 0,5292 = 0,849 ,
22
XB = −34,03 · 0,849 = − 28,89 кН.
Знак «минус» свидетельствует о том, что направление реакции XB необходимо заменить на противоположное.
Подберём диаметр сечения для стержней по допускаемому напряжению [σ]:
σ = |
N |
|
|
A |
N |
|
. |
|
|
||||||||
A |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Для первого стержня:
|
A = |
|
N1 |
|
= |
32 103 |
|
|
=1,524 10−4 м2 |
=1,524 см2 , |
||||||
|
|
|
210 106 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
πd 2 |
|
d = |
4A |
, |
|
d1 = |
4 1,524 |
=1,393см 1,5 см. |
|||||||
4 |
|
π |
|
3,14 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Тогда |
|
A = |
3,14 1,52 |
|
= 1,77см2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для второго стержня:
A = |
N 2 |
= |
34,03 |
103 |
|
=1,62 10−4 м2 =1,62 см2 , |
|
|
210 |
106 |
|
||||
2 |
|
|
|
||||
|
d2 |
= |
4 1,62 |
= 1,44см 1,5 см. |
|||
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
A2 = 1,77 см2 . |
|||
Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержней 1 и 2 :
l = |
N |
l |
= |
|
32 103 2 |
= 1,72 10 |
−3 |
м = 1,72мм, |
||
|
1 1 |
|
|
|
|
|||||
EA |
210 |
109 |
1,77 |
10−4 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
= |
N2 l |
2 |
= |
34,03 103 1,89 |
|
= 1,73 10−3 |
м = 1,73мм . |
E A |
|
210 109 1,77 10 |
−4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Составим схему перемещений элементов стержней системы, предположив, что жёсткие брусья I и II будут поворачиваться относительно своих опор А и В, оставаясь прямыми (рисунок 7).
Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E , K и С переместятся соответственно в точки D ', E ', K ' и С ', т.е. перемещение точек жесткого бруса будет происходить вертикально.
Определим перемещение точки D:
D D = l2 ,
DD'= DsinDα = sinl2α = 01,,52973 = 3,27 мм .
23
Рисунок 7 - Схема перемещений стержневой системы
Из подобия треугольников BEE ' и BDD' определим перемещение точки Е:
EE' = DD' ,
BE BD
EE'= BE DD' = 2,4 3,27 10−3 = 4,91 10−3 м = 4,91мм, KK"= KK '+K ' K", BD 1,6
KK ' = EE' = 4,91мм ,
K' K"= l1 = 1,72 мм,
KK"= 4,91 +1,72 = 6,63 мм .
Из подобия треугольников АСС '' и АKK'' определим перемещение точки С:
ССAC" = KKAK" ,
CC"= AC KK" = 3,2 6,63 10−3 = 26,52 10−3 м = 26,52мм . AK 0,8
δС = СС'' = 26,52 мм > [δ] = 20 мм.
Жёсткость конструкции не обеспечена.
24
Пример 3
Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней, загружена согласно схеме (рисунок 8). Допускаемое напряжение [σ] = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 210 ГПа,
Требуется: подобрать диаметр стержней, округлив их до большего значения с шагом 0,5 см, и выполнить проверочный расчёт жёсткости, если перемещение точки С не должно превышать 20 мм.
F = 20 кН, q = 12 кН/м, а = 1 м,
b = 1,5м,
[δ] = 20 мм.
Рисунок 8 - Схема стержневой системы
Решение.
Определим усилия в стержнях, мысленно разделив стержневую систему на две составляющих. Рассмотрим жёсткий элемент I (рисунок 9).
Приложим к стержню 1 неизвестную растягивающую продольную силу N1 и определим ее значение, составив уравнение равновесия:
MС = 0; |
N1 2a − F a = 0, |
N1 2a = F a, |
N1 = 202 11 = 10 кН.
Определим реакцию в шарнире YC :
Y = 0; F − YС − N1 = 0,
YС = 20 −10 = 10 кН.
Рассмотрим жёсткий элемент II (рисунок 10), приложив к нему реакцию YC , взятую с обратным знаком.
25
Рисунок 9 - Схема жесткого элемента I
Рисунок 10 - Схема жесткого элемента II
Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему растягивающее усилие N2 . Cоставим уравнение равновесия:
M B = 0, |
q 4a 2a − N2 |
sin α |
2a − YС 4a = 0, |
|||||||
N2 sin α = |
q 4a 2a − Yc 4a |
= |
12 4 2 − 10 4 |
= 28 кН, |
||||||
|
2a |
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin α = |
b |
= |
1,5 |
= 0,6, |
|
|
||
|
|
|
2,5 |
|
|
|||||
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|||
2 = √ 2 + (2 )2 = √1,52 + 22 = 2,5 м.
Тогда |
N2 = |
28 |
= 46,67 кН . |
|
0,6 |
||||
|
|
|
Усилия N1 и N2 получились положительными, что свидетельствует о том, что оба стержня растягиваются.
Подберём диаметр сечения для стержней по допускаемому напряжению [σ]:
26
σ = |
N |
|
|
A |
N |
|
. |
|
|
||||||||
A |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Для первого стержня:
A = |
N1 |
|
= |
10 103 |
= 0,476 10−4 |
= 0,476 см2 , |
|||||
|
210 106 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A = |
πd 2 |
d = |
4 A |
, |
||||
|
|
|
4 |
|
π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d = |
|
4 0,476 |
= 0,78 см 1,0 см. |
|||||||
|
1 |
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда
Для второго стержня:
A1 = 3,1441,02 = 0,79 см2 .
A = |
N2 |
= |
46,67 103 |
= 2,22 10−4 м2 = 2,22 см2 , |
||
|
|
210 106 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
||
|
d2 |
= |
4 2,22 |
= 1,68 см 2,0см. |
||
|
|
|
|
3,14 |
|
|
Тогда |
A = 3,14 2,02 |
= 3,14 см2 . |
||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнения равновесия:
Σ Y = 0; YB − q · 4a + N2 sin α + YC = 0,
YB = 12 4 1− 46,67 0,6 −10 = 10 кН ,
Σ X = 0; −XB + N2 cos α = 0,
cos α = 1 − sin 2 α = 
1 − 0,62 = 0,8,
XB = 46,67 · 0,8 = 37,34 кН.
Для проведения расчёта на жёсткость рассмотрим схему перемещений системы (рисунок 11).
Определим удлинение стержня 2, так как перемещение точки С определяется только удлинением этого стержня:
l2 = |
N2l2 = |
46,67 103 2,5 |
= |
|
|
EA2 |
|
210 109 3,14 10−4 |
|
= 1,77 10−3 м = 1,77 мм .
Из схемы перемещений системы запишем
D' D" = l2 ,
27
DD'= sinl2α = 10,77,6 = 2,95 мм.
Рисунок 11 - Схема перемещений стержневой системы
Из подобия треугольников BCC' и BDD' :
CC' |
= |
DD' |
, CC'= |
BC DD' |
= |
4 2,95 |
10−3 |
= 5,9 10−3 м = 5,9 мм. |
BC |
BD |
BD |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Перемещение точки С:
δС = CC'= 5,9 мм [δ] = 20 мм.
Жёсткость конструкции обеспечена.
2.1.4 Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии
Для решения задач сопротивления материалов необходимо знать все внешние силы, действующие на конструкцию, включая реакции наложенных на нее связей. Для определения реакций в связях тела, нагруженного плоской системой сил, достаточно трёх уравнений равновесия.
Системы, для которых реакции связей и внутренние силовые факторы не могут быть определены только с помощью уравнений статистики, называются статически неопределимыми.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнения перемещений или уравнения совместности деформаций.
Эти уравнения составляют, определяя перемещения отдельных элементов системы и устанавливая связь между ними. Число таких уравнений равно степени статической неопределимости системы.
Степень статической неопределимости системы равна разности между числом неизвестных сил и уравнений статики, которые можно составить для данной системы.
28
S = R − n ,
где S - степень статической неопределимости системы; R – число неизвестных реакций,
n – число независимых уравнений статики.
Расчет статически неопределимых систем производят по следующему алгоритму:
1. Статическая сторона задачи. Отсекаем все связи, заменяем их действия неизвестными усилиями. И для оставшейся части записываем уравнения равновесия. Таким образом подсчитываем степень статической неопределимости и выявляем так называемые «лишние» неизвестные.
2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливают связь между перемещениями точек ее элементов. Полученные зависимости называются уравнениями совместности перемещений. Их количество должно быть равно числу лишних неизвестных.
3.Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражают удлинения (укорочения) элементов системы, входящие в уравнения перемещений, через усилия.
4.Решая совместно статические и физические уравнения, находят неизвестные усилия.
Пример 4
Статически неопределимый ступенчатый стержень находится под действием внешних сил F (рисунок12). Материал стержня - сталь с модулем продольной упругости Е=200 МПа.
Требуется: построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывать.
Рисунок 12 - Схема стержня
Решение.
Составим уравнение равновесия стержня:
∑ = 0; ∑ = − 1 + 2 + 3 − = 0.
29
Имеем уравнение с двумя неизвестными. Стержень является статически неопределимым. Для его расчета необходимо составить основную систему (рисунок 13,а). Мысленно избавляемся от одной из связей ( ) и составляем уравнение перемещений для точки B, приравнивая его к нулю:
∑ = RB · a + RB · b + RB · (c + d) − F1 · b E · A1 E · A2 E · A3 E · A2
= 0;
− |
F1 · (c + d) |
+ |
F2 · (c + d) |
+ |
F3 · d |
E · A3 |
|
E · A3 |
|||
|
|
E · A3 |
|||
RB · 1.3 |
+ |
RB · 1,3 |
+ |
|
RB · 2,5 |
− |
24 · 103 · 1,3 |
− |
24 · 103 · 2,5 |
||||
E · 14 · 10−4 |
E · 16 · 10−4 |
|
E · 18 · 10−4 |
E · 16 · 10−4 |
|
E · 18 · 10−4 |
|||||||
|
|
12 · 103 · 2.5 |
30 · 103 · 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
|
+ |
|
|
= 0; |
|
|
|
||||
E · 18 · 10−4 |
E · 18 · 10−4 |
|
|
|
|||||||||
Решая уравнение, получим = 6,23 кН. Из уравнения равновесия определим:
− 24 + 12 + 30 − А =0; А =18+6,23=24,23 кН.
Построим эпюру продольных сил (рисунок 13,б)
12 = =6,23 кН;23 = 12 − 1 =6,23-24= -17,77 кН;
34 = 23 + 2 =-17,77+12= -5,77 кН;45 = 34 + 3 =-5,77+30= 24,23 кН;
Рисунок 13 - Основная система, эпюры продольных сил, напряжений и перемещений
Построим эпюру напряжений (рисунок 13,в):
30