-6-05-~3

Построим эпюру крутящих моментов, для чего нагрузим вал только скручивающими моментами (рисунок 68, б):

МкАС = 0,

МкС = M1 = 0,38 кН ∙ м,

Мк = M1 − M2 = 0,38 − 0,19 = 0,19 кН ∙ м, Мк = к = 0,19 кН ∙ м.

Эпюра крутящих моментов приведена на рисунке 68, в.

Построим эпюру изгибающих моментов от сил, действующих в вертикальной плоскости (рисунок 68, г).

Определяем опорные реакции:

∑МА = 0,

YB ∙ 4,2 − F2y ∙ 5,7 − F2y ∙ 2,7 − F1y ∙ 1,5 = 0,

YB = 0,57 ∙ 5,7 + 0,57 ∙ 2,7 + 0,65 ∙ 1,5 = 1,37кН, 4,2

∑М = 0,

−YA ∙ 4,2 + F1y · 2,7 + F2y ∙ 1,5 − F2y · 1,5 = 0,

YА = 0,65 ∙ 2,7 + 0,57 ∙ 1,5 − 0,57 ∙ 1,5 = 0,42кН. 4,2

Проверка:

∑Y = 0,

YA + YB − F1y − 2F2y = 0,

0,42+1,37-0,65-2·0,57=0

Определяем изгибающие моменты Mверт:

МвертА = 0,

МвертС = 1,5 = 1,5 ∙ 0,42 = 0,63кН ∙ м,

121

Мверт = 2,7YA − 1,2F1y = 2,7 ∙ 0,42 − 1,2 · 0,65 = 0,35кН ∙ м,

МвертB = −1,5F2y = −1,5 ∙ 0,57 = −0,855кН ∙ м,

МвертE = 0.

Эпюра Mверт показана на рисунке 68, д.

Построим эпюру изгибающих моментов от сил, действующих в горизонтальной плоскости Mгориз(рисунке 68, е).

Определяем опорные реакции:

∑МА = 0,

ХB ∙ 4,2 − F2х ∙ 5,7 − F2х ∙ 2,7 − F1х ∙ 1,5 = 0,

ХB = 0,48 ∙ 5,7 + 0,48 ∙ 2,7 + 1,78 ∙ 1,5 = 0,33кН, 4,2

∑М = 0,

ХA ∙ 4,2 − F1х · 2,7 + F2х ∙ 1,5 − F2х · 1,5 = 0,

ХА = 1,78 ∙ 2,7 − 0,48 ∙ 1,5 + 0,48 ∙ 1,5 = 1,15кН. 4,2

Проверка:

∑Х = 0,

−ХA − 2F2х + F1х + ХB = 0,

-1,15-2·0,48+1,78+0,33=0

Определяем изгибающие моменты Mгор:

МгорА = 0,

МгорС = −1,5Х = −1,5 ∙ 1,15 = −1,725 кН ∙ м,

Мгор = −2,7ХA + 1,2F1х = −2,7 ∙ 1,15 + 1,2 · 1,78 = −0,969 кН ∙ м,

МгорB = −1,5F2х = −1,5 ∙ 0,48 = −0,72 кН ∙ м,

МгорE = 0.

122

Эпюра Mгор показана на рисунке 66, ж.

Построим эпюру суммарных изгибающих моментов Ми:

Ми = √М2гор + М2верт,

МиА = 0,

МиС = √0,532 + 1,7252 = 1,8 кН ∙ м,

Ми = √0,352 + 0,9692 = 1,03 кН ∙ м,

МиА = √0,8552 + 0,722 = 1,12 кН ∙ м.

Эпюра Ми приведена на рисунке 68, з.

Анализируя эпюры Мк и Ми, видим, что опасным будет сечение С, где действует изгибающий момент Ми=1,8 кН·м и крутящий момент Мк=0,38 кН·м.

По третьей теории прочности найдём расчётный момент:

Мэкв = √М2и + М2к = √1,82 + 0,382 = 1,83 кН ∙ м.

Определим диаметр вала.

Условие прочности:

МIII

σэкв = Wэкв ≤ [σ],

где

W = πd3 = 0,1d3, 32

тогда

Принимаем d=71 мм (ГОСТ 6636-69).

123

2.6.5Расчет цилиндрических винтовых пружин

Вобщем случае винтовая пружина может рассматриваться как пространственно изогнутый брус с осью, изогнутой по винтовой линии. В зависимости от вида нагружения винтовые пружины делятся на пружины растяжения и сжатия.

Рисунок 70 - Пружины растяжения и сжатия

Цилиндрическая винтовая пружина определяется следующими параметрами: d - диаметр сечения проволоки, D - средний диаметр витка пружины, n - число витков, to - зазор между витками, α - угол подъема винтовой линии, S - шаг пружины, связанный с углом подъема соотношением: = ∙ ∙ .

Проволока пружины работает на кручение и сдвиг. Расчет пружин растяжения и сжатия на прочность и жесткость одинакова, но для пружин сжатия при Н/D≥2,6 (H - высота пружины в свободном состоянии; D - ее средний диаметр) возникает опасность потери устойчивости. Угол наклона витков пружины будем считать небольшим (≤15O).

Рисунок 71 - Внутренние силовые факторы в сечении витка пружины

124

Усилие F, при котором перемещение равно единице (1 мм, 1 см и т.д.) называется жесткостью пружины (С), которая выражается в Н/мм или Н/см:

Пример 27

Подобрать сечение и число витков цилиндрической пружины, сжимаемой силой F=12 кН. Отношение среднего диаметра D витков к диаметру проволоки d, из которой изготовлена пружина, D/d=8. Осадка пружины под нагрузкой не более λ=100 мм. Определить также высоту пружины h0 в свободном состоянии, если минимальный зазор между витками под нагрузкой должен быть не менее t0= 4 мм. Допускаемое напряжение [τ]=280 МПа, модуль упругости G=0,85·105 МПа.

Решение.

Определяем диаметр проволоки пружины из условия прочности (50):

8 3 ≤ [ ].

Для отношения D/d=8 из табл. 3.1 находим значение поправочного коэффициента k=1,18.

Подставляя значения величин в формулу, получим

1,18 · 8 · 12 · 103 ∙ 8 = 28000. 3,14 ∙ 2

Откуда

= √1,18 ∙ 8 ∙ 12 ∙ 103 ∙ 8 = 3,2 см. 3,14 ∙ 28000

Средний диаметр витка пружины

D=3,2·8=25,6 см.

Число витков пружины находим по формуле для осадки (52):

Число витков пружины с учетом заделки концов будет

126

n=5,5+1,5 =7.

Для определения высоты пружины в свободном состоянии найдем осадку одного витка 0:

Шаг пружины в свободном состоянии:

= + 0 + 0 = 3,2 + 1,8 + 0,4 = 5,4 см.

Высота пружины в свободном состоянии: 0 = · = 5,4 ∙ 7 = 37,8 ≈ 38 см.

Пример 28

Определить наибольшее касательное напряжение в пружине клапанного механизма, а также начальное усилие 0, с которым клапан прижимается к седлу. Средний диаметр витков пружины D=6 см, диаметр проволоки пружины d =1,2 см, число витков n=12. Клапан открывается при сжатии пружины на 1,0 см; предварительное сжатие пружины при закрытом клапане 1,8 см. В свободном состоянии зазор между витками пружины равен

0,6 см.

Решение. Осадка пружины при начальном условии 0 равна 0=1,8 см. Из формулы (52) для осадки пружины найдем:

Осадка пружины при открытии клапана

=1,8+1,0=2,8 см.

Усилие F, сжимающее пружину, будет

Наибольшее касательное напряжение

Зазор между витками пружины после открытия клапана

= 0,6 ∙ 12 − 1,8 − 1,0 = 0,37 см = 3,7 мм. 12

127

Пример 29

Цилиндрическая винтовая пружина имеет следующие размеры: число витков n=10, средний диаметр витка D=30 см, диаметр проволоки d=4 см, полная осадка пружины до соприкосновения витков λ=40 см. Определить нагрузку F, сжимающую пружину при осадке λ=32 см. Проверить прочность пружины, если допускаемое касательное напряжение [τ]=500МПа. Определить высоту пружины в свободном состоянии.

Решение.

Находим силу F, сжимающую пружину при соприкосновении витков:

Определим нагрузку F, сжимающую пружину при осадке λ=32 см. Из условия пропорциональности находим:

= 37926 ∙ 32 = 30341 Н 40

Для проверки прочности пружины определим индекс пружины и по табл. 3.1 найдем поправочный коэффициент k:

Прочность пружины обеспечена.

Вычислим шаг пружины S в свободном состоянии:

Высота пружины: 0 = ∙ = 8 ∙ 10 = 80см.

2.7Продольный изгиб стержней. Устойчивость

Вмеханике твердого тела различают следующие формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти три формы присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням.

При незначительной сжимающей силе F, меньше некоторого критического зна-

чения Fкр, первоначальная прямолинейная форма стержня является устойчивой, при F = Fкр сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда

128

возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволинейных. Если F > Fкр, первоначальная форма стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб).

Устойчивость – способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила – значение осевой сжимающей нагрузки, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее превышение ее приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

где Е – модуль упругости материала стержня;

Jmin – минимальный момент инерции сечения относительно главных центральных осей; µ - коэффициент приведения длины, который зависит от условий закрепления стержня.

Формула Эйлера была выведена в предположении упругих деформаций, ко-

Для одинаковых закреплений в двух главных плоскостях нужно брать минимальный момент инерции Imin.

Здесь введено обозначение минимального радиуса инерции

imin = IminA .

Обычно вводится понятие максимальной гибкости стержня

Гибкость - величина геометрическая. Теперь можно записать

129

Таким образом, формулу Эйлера для величины критической силы можно применить, если

кр = 2 E пц .

2max

Отсюда можно найти условия для max

2 E . (59)

Введем обозначение для предельной гибкости

Эта величина зависит от физических свойств материала стержня. Условие (48) перепишем в виде

Окончательно, если наибольшая гибкость больше предельной для данного материала, то стержень будет терять устойчивость при напряжениях меньше предела пропорциональности пц , а если условие (61) не удовлетворяется и max пред , то

где а и в – коэффициенты, зависящие от материала и приводимые в справочниках.

Таким образом, критические напряжения в любой стадии деформации зависят

130