-6-05-~3

Согласно IV теории прочности разрушение материала наступает в тот момент, когда величина удельной потенциальной энергии изменения формы в окрестности точки достигает опасного уровня для данного материала, определенного в опытах на растяжение/сжатие.

В случае плоского напряженного состояния по IV-ой теории прочности, проверка прочности производится по формуле

Пример 25

Пространственная система, состоящая из трех стержней, жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Стержни системы имеют одинаковые длины l и диаметры поперечных сечений D. Материал стержней – сталь с допускаемыми напряжениями [σр] =210МПа и [σс]=130МПа, m=4кН м, ℓ=0,8м, q=8кН/ м , d=10см, F=6кН.

Требуется:

1)построить эпюры внутренних усилий;

2)установить вид сопротивления для каждого участка стержня;

3)определить опасное сечение и дать заключение о прочности конструкции.

Рисунок 58 - Схема пространственной системы

Решение.

Построим эпюру продольных сил. На участках АВ и ВС отсутствуют продольные силы.

Участок СD:

Продольной силой для данного участка является сила F. N=-F=-6кН (сжатие) (рисунок 59).

111

Рисунок 59 - Эпюра продольных сил

Построим эпюру поперечных сил (рисунок 60). Участок АB:

Участок ВС:

QBy = F = 6кН , QCy = F − 6кН ,

QCx = −q l = −8 0,8 = −6,4кН.

Участок СD:

QC x = −q l = −8 0,8 = −6,4кН,

QD x = −6,4кН.

Рисунок 60 - Эпюра поперечных сил

Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого последовательно построим эпюры от каждого вида нагрузки.

112

Сила F (рисунок 61):

Участок АВ:

M Ay =0, M By =F· ℓ = 6· 0,8=4,8кН· м.

Участок ВС:

MCx = F· ℓ= 6· 0,8= 4,8кН·м.

Участок СD:

MCx = 4,8кН·м, M D = 4,8кН·м, MCy = M D = 4,8кН·м.

Изгибающий момент m (рисунок 62):

Участок ВС:

M Bx = MCx = 4кН·м,

Участок СD:

MCx = M Dx = 4кН·м.

Распределенная нагрузка q (рисунок 63):

Участок ВС:

Рисунок 61 - Эпюра изгибающих моментов от действия силы F

113

Рисунок 62 - Эпюра изгибающих моментов от действия изгибающего момента m

Рисунок 63 - Эпюра изгибающих моментов от действия равномерно распределенной нагрузки q

Просуммируем изгибающие моменты от всех видов нагрузки (рисунок 64).

Рисунок 64 - Суммарная эпюра изгибающих моментов от действия всех видов нагрузки

114

Построим эпюру крутящих моментов. Участок АВ:

Т = 0.

Участок ВС:

T = F l = 6 0,8 = 4,8кН м.

Участок СD:

T = q l 2l = 8 0,8 02,8 = 2,56кН м.

Рисунок 65 - Эпюра крутящих моментов

Установим вид сопротивления для каждого участка системы, который определяется по эпюрам.

На участке АВ действует поперечная сила Qx и изгибающий момент My (поперечный изгиб).

На участке ВС действует поперечная сила Qx , Qy , крутящий момент Т и изгибающие моменты Mx и My (косой изгиб с кручением).

На участке СD действует поперечная сила Qx, крутящий момент Т, изгибающие моменты Mx, My и продольная сила N (косой изгиб с кручением и сжатием).

Определим максимальные напряжения в опасном сечeнии каждого участка от внутренних усилий Mx,My,T,N (касательными напряжениями от поперечных сил Qx и Qy можно пренебречь).

Участок АВ:

Опасная точка В. Qx =6кН ,My =4,8кН· м.

Участок ВС:

Опасная точка С. Qy = 6кН, Qx = 6,4кН, Mx =8,8кН·м, My=2,56кН ·м, Т=4,8кН ·м.

Определим суммарный изгибающий момент:

115

При кручении круглого стержня возникают касательные напряжения:

W = 2Wи = 2 98,13 =196,26см3

Участок СD:

Опасная точка D. Qx=6,4кН, Mx=8,8кН· м, My=9,92кН· м, N=6кН, Т=2,56кН·м.

Проверим прочность системы при расчетном сопротивлении [σ]=210МПа. Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряжен-

ного состояния определяется по формуле:

= N + Mи = 0,764 +135,14 = 135,9МПа,

A Wи

расчIII = 2 + 4 2 = 135,92 + 4 13,042 = 138,38МПа 210МПа.

Прочность стержней системы на всех участках обеспечена.

116

2.6.4 Изгиб с кручением

Изгиб в сочетании с кручением является наиболее распространенным видом нагружения круглых валов. Данный вид сопротивления вызывают силы, передаваемые валу шкивами или зубчатыми колесами.

Момент на шкиве и окружное усилие будут равны:

Момент М будет вызывать кручение вала, а сила F – его изгиб.

Рисунок 66 - Шкив ременной передачи.

При совместном действии изгиба и кручения в поперечных сечениях вала будут действовать следующие внутренние силовые факторы: крутящий момент МК , изгибающий момент МИ и поперечная сила Q, которой можно пренебречь, т.к. касательные напряжения, которые ей вызваны, намного меньше касательных напряжений от крутящего момента.

Рисунок 67 - Схема действия нагрузок

Для круглого сечения наиболее напряжённой точкой является

117

краевая точка А (рис. 67), в которой оба напряжения – нормальное и касательное от крутящего момента – достигают наибольших значений, которые определяются по формулам:

Осевой момент сопротивления определяется по формуле: = 3 = 0,1 3, по-

32

лярный момент сопротивления - = 3 = 2 .

16

Расчетные напряжения определяются по третьей и четвертой теории прочности с использованием формул (41) и (42).

Пример 26

Шкив диаметром D1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту α1 делает n оборотов в минуту и передаёт мощность P кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту α2, и каждый из них передаёт мощность Р/2 кВт (рисунок 66).

Требуется: 1) определить моменты, приложенные к шкивам по заданным Р и n; 2) построить эпюры крутящих моментов Мк; 3) определить окружные усилия (t1 и t2), действующие на шкивы по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D1 и D2; 4) определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям; 5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать); 6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил Mгор и от вертикальных сил Mверт; 7) построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой

Ми = √М2гор + М2верт,

при построении эпюры надо учесть, что для некоторых участков вала она не будет прямолинейной; 8) при помощи эпюр Мк и Ми найти опасное сечение и определить максимальный расчётный момент (по третьей теории прочности; 9) подобрать диаметр вала D при [σ]= 70МПа и округлить его значение до ближайшего стандарт-

ного, если дано: Р=20 кВт; n=500 об/мин; с=1,3 м; a=1,5 м; b = 1,2 м; D1 =1,2 м ; D2= 1,5 м; α1=20°; α2=50°.

118

Решение.

Определяем крутящие моменты, приложенные к шкивам, по заданным Р и n

М=9,736nР , кН·м

тогда

=0,38 кН·м,

=0,19 кН·м.

Определяем окружные усилия, приложенные к шкивам (рисунок 67):

М1 = t1 D21,

Определим давления на вал, принимая их равными трём окружным усилиям:

F1 = 3t1 = 3 ∙ 0,63 = 1,89 кН,

F2 = 3t2 = 3 ∙ 0,25 = 0,75 кН.

Найдём проекции сил 1 и 2 на горизонтальное и вертикальное направления

(X,Y) (рисунок 68,б):

F1X = F1 cos α1 = 1,89 cos 20° = 1,78кН,

F2X = F2 cos α2 = 0,75 cos 50° = 0,48кН,

F1y = F1 sin α1 = 1,89 sin 20 ° = 0,65кН,

F2y = F2 sin α2 = 0,75 sin 50 ° = 0,57кН.

119

Рисунок 68 - Заданная схема (а), расчётная схема (б), эпюра крутящих моментов (в), схема сил, действующих в вертикальной плоскости (г), эпюра Mверт. (д), схема сил, действующих в горизонтальной плоскости (е), эпюра Mгориз. (ж), эпюра Ми (з)

СЕЧЕНИЕ Ι- Ι

Рисунок 69 - Схема сил, действующих на шкивы

120