2.6. Распределение давления в тяжелой несжимаемой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

Пусть несжимаемая жидкость заполняет круговой цилиндрический сосуд, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ω. При этом жидкость в сосуде также будет вращаться как целое (рис. 2.9). Жидкость находится в поле силы тяжести g и

кроме того на каждую частицу жидкости с массой m будет действовать сила инерции

Fи m 2r ,

где r – радиус-вектор частицы от оси вращения имеет проекции x, y, соответствующие коррдинатам частицы. Ось z направим вертикаль-

но вверх. Напряжение сил инерции fи в данном случае равно

fи Fи / m 2r [ 2x, 2 y,0].

Напряжение суммарной силы f , действующей на частицу, имеет проекции на все оси координат, определяемые следующим образом:

p12 2x2 12 2 y2 gz C ,

апроизвольная постоянная C может быть определена выбором начала отсчета координаты z. Поместим начало координат на свободную поверхность жидкости, давление газа над которой постоянно и равно

p0. Тогда граничное условие для поставленной задачи имеет вид: p=p0 при x=0, y=0, z=0. При этом условии постоянная C становится равной C=p0. В итоге решение дифференциальных уравнений гидростатики, даст следующее распределение давления в жидкости:

или

p p0 12 2r2 gz ,

где r – расстояние до рассматриваемой точки от оси вращения.

Как видно из этих выражений, давление в равномерно враща-

ющейся несжимаемой жидкости в поле силы тяжести линейно увеличивается с глубиной и квадратично увеличивается с расстоянием от оси вращения.

Определим форму свободной поверхности жидкости, как поверхности постоянного давления p=p0 . При этом условии из (2.13) следует

12 2r2 gz 0

или z 1 2 r2 .

2 g

Данное выражение дает уравнение свободной поверхности и описывает параболоид вращения.

Таким образом, свободная поверхность равномерно вращающейся несжимаемой жидкости в поле силы тяжести представляет собой параболоид вращения.

50