Лабораторная работа № 6. Уравнение Бернулли

Цель работы изучение закона сохранения энергии при течении жидкостей и газов и экспериментальная проверка уравнения Бернулли в трубе переменного сечения.

Общие сведения

Движение идеальных (невязких) жидкостей и газов описывается уравнениями Эйлера. При стационарном баротропном их движении в поле потенциальной массовой силы одним из интегралов (решений) уравнений Эйлера является интеграл Бернулли, выражающий собой постоянство трехчлена Бернулли во всем потоке жидкости, если течение потенциально, и вдоль линии тока, если течение вихревое.

Трехчлен Бернулли представляет собой сумму кинетической энергии единицы массы жидкости V2/2, функции давления P и потенциала плотности массовой силы .

Функция давления P при баротропном движении определяется

жение, при котором плотность жидкости или газа может быть задана только функцией давления, т.е. = (р). Примером баротропных движений являются изотермические и адиабатические движения.

Если жидкость несжимаема ( = const), то Р = р/ + const. Если

массовой силой является сила тяжести ( f g ), то Ф = gz + const (z

вертикальная координата). Поэтому для несжимаемой жидкости, движущейся в поле силы тяжести, интеграл (или уравнение) Бернулли имеет вид

В таком виде уравнение Бернулли выражает собой закон сохране-

ния энергии в жидкостях и газах. При стационарном движении тя-

желой идеальной несжимаемой жидкости полная удельная энергия (энергия единицы массы) жидкости Е, представляющая собой сумму

удельной кинетической энергии V2/2, удельной потенциальной энергии в поле силы тяжести gz и удельной энергии, связанной с работой

сил давления p/, есть величина постоянная. Это энергетическая интерпретация уравнения Бернулли.

Для иллюстрации геометрической интерпретации уравнения перепишем его, разделив на g

В этом случае все члены уравнения (6.2) имеют размерность длины и называются соответствующей им высотой или напором. В виде

(6.2) уравнение Бернулли выражает закон постоянства полного напора в жидкости. При стационарном движении тяжелой идеаль-

ной несжимаемой жидкости полный (или гидравлический) напор

(высота) Н в жидкости, представляющий собой сумму динамиче-

ского напора (высоты) V2/2g, пьезометрического напора (высоты) p/g и геометрического напора (высоты) z, есть величина постоян-

ная. Отметим, что сумма p/ g + z называется потенциальным напором.

В реальной вязкой жидкости уравнение Бернулли в точной формулировке (6.1) или (6.2) не выполняется из-за того, что вследствие вязкого трения имеют место необратимые потери механической энергии, а значит и потери напора, связанные с переходом этой энергии в тепловую. Поэтому чем ниже по потоку лежит рассматриваемая точка на линии тока, тем меньше полная механическая энергия единицы массы жидкости Е в ней. Разность этих энергий и напоров между двумя точками 1 и 2 на линии тока определяет потери энергии или напора между ними Е1 – Е2 = E, H1 – H2 = H. Причем H =

E/g. Соответственно определяются и потери давления между этими точками p = g H = E.

218

С учетом этого уравнение Бернулли для реальной жидкости записывается, например, в виде равенства полных напоров в жидкости в двух точках линии тока с учетом потерь напора между ними

В гидравлике применяется еще одно упрощающее предложение, заключающееся в том, что в данном живом сечении трубопровода, характеризующие поток жидкости величины считаются постоянными и равными некоторым средним значениям. Так средняя скорость в сечении трубы Vср определяется по объемному расходу жидкости Q и площади сечения S: Vср = Q/S. При определении удельной кинетической энергии потока V2/2 по среднему значению скорости Vср вместо истинной, в уравнение Бернулли необходимо ввести поправоч-

ный коэффициент кинетической энергии , значение которого всегда больше единицы.

С учетом этого уравнение Бернулли записывается для двух разных сечений трубы в виде:

При турбулентном режиме течения значение близко к единице. Линия, которая соединяет на графике точки полного напора Н вдоль трубы, как изображено на рис.6.1 (линия Е-Е), называется

напорной линией или линией энергии. В идеальной жидкости это была бы горизонтальная прямая Н = Н0 = const. В реальной жидкости она понижается вдоль трубы и ее уклон определяет собой потери напора. Падение напора, приходящееся на единицу длины вдоль потока,

называется гидравлическим уклоном Il: Il = H12/l12.

Линия Р-Р, соединяющая на графике точки потенциального напора (p/g + z ) вдоль трубы, называется пьезометрической линией. Падение или возрастание потенциального напора, приходящееся на единицу длины вдоль потока, называется пьезометрическим уклоном. Поскольку потенциальный напор может как увеличиваться

219

220

Экспериментальная установка

Работа проводится на установке, подобной той, которая описана в работе №5, только вместо трубы постоянного диаметра установлена труба переменного сечения типа изображенной на рис.6.1. Пьезометрический напор в жидкости определяется по показаниям пьезометрических трубок, выведенных на общий щит и установленных в пяти разных сечениях трубы.

Геометрические характеристики трубы переменного сечения прилагаются к установке.

Порядок выполнения работы

1.При неподвижной жидкости показания пьезометров одинаковы. Необходимо только проследить, чтобы в них не было пузырьков воздуха.

2.Включением насоса и открытием вентиля на выходе из трубы установить определенный режим течения, при котором наблюдается заметное различие в показаниях пьезометров.

3.Для определения расхода жидкости снять показания расходомера n.

4.Снять показания всех пьезометров. Поскольку для всех пьезометров принята общая горизонтальная плоскость отсчета 0-0, то их

полные показания дают потенциальный напор (p/g + z). Данные измерений занести в таблицу 6.1.