-_7-07~1
.PDF
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Для распределения Гаусса математическое ожидание, мода и медиана совпадают.
Рисунок 1.8. – Математическое ожидание, мода и медиана распределения случайной величины
Центральные моменты характеризуют случайные величины за вычетом систематической составляющей, то есть величина становится центрированной (например, случайная погрешность).
|
k |
A |
|
M[A M |
|
|
k |
, |
(1.41) |
|
|
|
A ] |
|
|
||||
Центральный момент нулевого порядка равен единице: 0( ) = 1 Центральный момент первого порядка равен нулю:
|
|
A |
|
0 |
, |
(1.42) |
1 |
|
|
Все нечетные моменты симметричного распределения равны нулю. Центральный момент второго порядка равен нулюдисперсии:
|
A M[A M |
2 |
|
A ]2
,
(1.43)
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X ) M[X – M (X )]2
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
,
(1.44)
D(X ) M (X 2 ) – [M (X )]2 , |
(1.45) |
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
41
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
D(A)
0
,
(1.46)
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
D а * Х |
|
2 |
* D Х |
а |
,
(1.47)
3.Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
D(Х Y Z)
D(X )
D(Y ) D(Z)
,
(1.48)
4.Дисперсия алгебраической суммы (разности)двух случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых плюс (минус) ковариация:
D( Х Y ) D(X ) D(Y ) 2 p |
D X * D |
Средним квадратическим отклонением случайной квадратный корень из дисперсии:
|
|
X |
|
|
D |
|
X |
, |
|
|
|
|
|
Y |
, |
|
|
величины
(1.49)
называют
(1.50)
В метрологической практике применяются центральные моменты 3 и 4 порядка, с их помощью рассчитывают коэффициенты асимметрии и эксцесса
.
Коэффициенты асимметрии вычисляют по формуле:
As |
|
|
3 |
А |
, |
(1.51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
где 3(А) – центральный момент третьего порядка;3(А) – стандартное отклонение.
Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) - мера остроты пика распределения случайной величины.
Коэффициент эксцесса задаётся формулой:
E |
4 |
А |
, |
(1.52) |
||
|
4 |
А |
||||
s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
42
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Рисунок 1.9. – Графическое представление влияния коэффициентов асимметрии и эксцесса
1.2.4. Проблема рисков, возникающих в измерениях
Риски, возникающие в измерениях, всегда связаны с неопределенностью. Так, согласно СТБ ISO 9000-2015 риск – воздействие неопределенности.
Всоответствии с ГОСТ Р ИСО 31000-2010 риск – влияние неопределенности на цели.
Согласно ГОСТ Р ИСО 11231-2013 риск - количественная или качественная мера значимости возможного ущерба и вероятности появления этого ущерба.
Риск является следствием неопределенности результатов прогноза данных или контроля событий.
Влитературе встречаются статистический, вероятностный, экспертный, ве- роятностно-статистический; остаточный частный и глобальный; производителя
ипотребителя, и другие виды риска. В данной статье внимание сконцентрировано на рисках, возникающих при измерительном контроле – в терминах СТБ ISO/IEC Guide 98-4: частных и глобальных, связанных с «ложной браковкой» (риск производителя, неадекватная ошибка или ложноотрицательное решение)
и«ложной приемкой» (риск потребителя, пропущенная ошибка или ложноположительное решение). Частный риск производителя – вероятность того, что конкретный забракованный объект окажется соответствующим. Согласно данному документу частный риск потребителя – вероятность того, что конкретный принятый объект окажется несоответствующим. Глобальный риск производителя
– вероятность того, что на основании полученного в будущем результата измерения соответствующий объект будет забракован. Глобальный риск потребителя – вероятность того, что на основании полученного в будущем результата измерения несоответствующий объект будет принят как годный. В предельном случае к понятию глобального риска можно отнести термин, приведенный в: приемлемый риск - риск для человечества, который может быть на разумной основе принят при отсутствии долгосрочных и необратимых негативных последствий для здоровья людей, окружающей среды и планеты Земля в настоящее
время и в будущем. «Частный риск производителя Rp и частный риск потребителя RC и связаны простым соотношением с вероятностью соответствия для конкретного измеренного объекта при заданном результате измерения. Если
43
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
значение свойства Y находится за пределами поля допуска, а измеренное значение Ym находится внутри приемочного интервала, значит, произошла реализация риска потребителя. Вероятность того, что эти два события произойдут, т. е. глобальный риск потребителя, определяется совместным распределением вероятностей, которое зависит от производственного процесса и измерительной системы». Поскольку в большинстве случаев результату измерения приписывается нормальное распределение вероятностей, то существует перекрытие интервала охвата (неопределенности) с зонами соответствия и несоответствия, необходимо разработать правила принятия решений для верной браковки или приемки, что достигается установлением приемлемых границ перекрытий.
Метрологические несоответствия, допускаемые при разработке технической документации, влекут издержки для предприятия и снижают качество продукции. Увеличение погрешности измерений влечет за собой увеличение вероятности появления ошибок, то есть вероятность признания годного изделия дефектным (ошибки первого рода) и вероятность признания дефектного изделия годным (ошибки второго рода). В зависимости от того, как расположены по отношению к полю допуска, ограниченного пределами a и b, действительное хд и измеренное хи значения контролируемого параметра объекта, можно выделить четыре ситуации, представленные на рисунке 1.10.
Ситуация 1. Значения хд и хи в процессе контроля находятся в допускаемых пределах a, b (рисунок 1.10 а). Указанное состояние контроля назовем гипотезой Н1. Вероятность этой гипотезы Р(Н1) – вероятность верного заключения о соответствии измеряемого значения допускаемому.
Ситуация 2. Значения хд и хи находятся вне поля допуска a, b (рисунок 1.10 б). Вероятность гипотезы Р(Н2) – вероятность верного заключения о несоответствии измеряемого значения допускаемому.
Ситуация 3. Значение хи указывает на брак, а хд свидетельствует о годности (рисунок 1.10 в). Вероятность гипотезы Р(Н3) – вероятность ложного брака или вероятность ошибки первого рода Р1.
Ситуация 4. Значение хи указывает на годность, а хд свидетельствует о браке (рисунок 1.10 г). Вероятность гипотезы Р(Н4) – вероятность пропуска бракованного изделия или вероятность ошибки второго рода Р2.
Вероятности гипотез Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3), Р(Н4) несовместимы и образуют полную группу событий:
P(H ) P(H |
) P(H |
) P(H |
) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1
,
(1.53)
На рисунке F(x) – функция распределения значений измеряемой величины, F( ) – функция распределения погрешности средств измерений. Теоретически величину ошибок первого рода можно рассчитать по формуле:
P 2 |
dF x dx |
p F d , |
(1.54) |
1 |
a |
|
|
|
|
44
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
где F(x) – функция распределения значений измеряемой величины (рисунок
1.10.),
а)
а |
|
|
|
b |
|
хд |
|
хи |
х |
||
|
|
|
|
|
б)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хд |
|
|
хи |
а |
|
b |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
b |
|
|
|
хд |
хи |
х |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хд |
а |
хи |
|
b |
х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.10. F(x) – функция распределения значений измеряемой величины
a, d – границы интервала, в котором существует вероятность наступления ошибок первого рода,
F( ) – функция распределения погрешности средств измерений,
-∞, p – границы интервала, в котором погрешность средств измерений не препятствует наступлению ошибки первого рода.
Величина ошибки второго рода рассчитывается по формуле:
P2
a |
|
|
2 |
F x dx |
F |
c |
|
p |
d
,
(1.55)
где с, a – границы интервала, в котором существует вероятность наступления ошибок второго рода;
45
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
p, +∞ – границы интервала, в котором погрешность средств измерений не препятствует наступлению ошибки второго рода.
μ-3σ |
|
μ-2σ |
|
μ-σ |
μ |
|
|
|
μ+3σ |
|
|
|
F(x) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
c |
а |
b |
|
|
μ
f( )
P
±Δ
Рисунок 1.11. Распределение значений измеряемой величины при контроле
Если предположить, что функция распределения значений погрешности средства измерений F( ) подчиняется закону нормального распределения, а граница вероятности р равняется среднему значению погрешности, то будет верно выражение:
F d
p
p F d
0,5
,
(1.56)
Как показывает практика, расчет ошибок первого и второго рода по формулам (3.1, 3.2) на основании результатов измерений довольно затруднителен в реальных условиях.
Задача заключается в том, чтобы в условиях выборочного контроля такие ошибочные заключения делались крайне редко, а степень их возможности была заранее определена. Ошибки первого и второго рода должны учитываться при планировании приемочного контроля, а также контрольных испытаний.
Измерения в сфере законодательной метрологии должны выполняться:
1)с использованием эталонов единиц величин, прошедших сличение эталонов единиц величин либо государственную поверку или калибровку, а также средств измерений, прошедших государственную поверку или калибровку в соответствии с настоящим Законом;
2)с использованием стандартных образцов утвержденного типа;
3)по методикам (методам) измерений, прошедшим аттестацию методик (методов) измерений в соответствии с Законом.
46
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
1.2.5. Правила принятия решений при корректном выборе методов и средств измерений
ГОСТ ISO/IEC 17025-2019 (п. 7.8.6.1) устанавливает требование к лабораториям в части учета интервала неопределенности для подтверждения качества результатов измерений в испытаниях и калибровках: «если по результатам испытания или калибровки делается заключение о соответствии спецификации или стандарту, лаборатория должна документировать правило принятия решения, принимая во внимание уровень риска (например, ложноположительное или ложноотрицательное решение или статистические гипотезы), связанный с применяемым правилом принятия решения, и применить данное правило». В стандарте приведено определение: «правило принятия решения - правило, которое описывает, как учитывается неопределенность измерения при принятии решения о соответствии заданному требованию». Если правило принятия решения установлено заказчиком, правилами или нормативными документами, дальнейшее рассмотрение уровня риска не требуется. Документированное правило принятия решения является результатом договоренностей заинтересованных сторон и компромиссом между достигаемой точностью, затратами и рисками лаборатории.
Одним из ключевых параметров в принятии решений является интервал требований, поле допуска, зона допуска - интервал между верхней и нижней границами поля допуска. Gоле допуска - интервал допустимых значений свойства. В метрологической литературе данный параметр также носит название «правило изготовителя измерительного прибора» (gauge maker's rule) GMR, если контролируемым видом продукции является средство измерений. Граница поля допуска, предел технических требований - заданные верхнее или нижнее предельное значение для допустимых значений свойства. Интервал измеренных значений свойства, который приводит к приемке объекта, называется приемочным интервалом, определяемым одной или двумя приемочными границами (которые могут совпадать или не совпадать с границами допуска). Приемочный интервал - интервал допустимых измеренных значений величины. Также существует понятие «браковочный интервал - интервал измеренных значений величины, которые считаются недопустимыми». Различают следующие виды полей допусков, схематично представленные на рисунке 1.12:
-одностороннее поле, имеющее одну нижнюю ТL границу;
-одностороннее поле, имеющее одну верхнюю ТU границу;
-двустороннее поле, имеющее заданные в явном виде нижнюю ТL и верхнюю ТU границы;
-двустороннее поле, имеющее заданную в явном виде нижнюю ТL границу
инеявную верхнюю (ТU) границу
-двустороннее поле, имеющее заданную в неявном виде нижнюю (ТL) границу и явную верхнюю ТU границу.
47
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Рисунок 1.12. – Виды полей допусков: (а) одностороннее поле, имеющее одну нижнюю границу ТL; (b) одностороннее поле, имеющее одну верхнюю границу поля допуска ТU; (c)
двустороннее поле, имеющее нижнюю и верхнюю границы поля допуска
Поскольку в большинстве случаев результату измерения приписывается нормальное распределение вероятностей, то существует перекрытие интервала охвата (неопределенности) с зонами соответствия и несоответствия, необходимо разработать правила принятия решений для верной браковки или приемки, что достигается установлением приемлемых границ перекрытий.
Формализация сценариев принятия решений в измерительном контроле.
СТБ ISO/IEC Guide 98-4 предлагает три подхода к разработке правил принятия решений, основанные на управлении приемочными границами и интервалами охвата: 1) простая браковка/приемка (совместный риск); 2) защищенная приемка/браковка; 3) точностный метод. При простой приемке/браковке производитель и потребитель (пользователь) результата измерения соглашаются явно или неявно принимать как соответствующий (и браковать в противном случае) объект, измеренное значение свойства которого находится в поле допуска. В качестве альтернативного названия используется «совместный риск», т. к. при правиле принятия решения, основанном на простой приемке, производитель и потребитель несут совместную ответственность за последствия неправильных решений. В этом случае приемочные границы соответствуют нижней и верхней границам поля допуска и являются стабильными.
Защищенные приемка или браковка основаны на установлении защитных полос. Защитная полоса - интервал между границей поля допуска и соответствующей приемочной границей. Параметр длины w для защитной полосы определяется разностью между границей поля допуска и соответствующей приемочной границей, а именно:
w ТU – AU , |
(1.57) |
w AL – ТL , |
(1.58) |
|
48 |
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Для правила защищенной приемки w > 0. Во многих случаях практического применения параметр длины w задается значением, кратным расширенной неопределенности для коэффициента охвата k = 2, U = 2u, а именно:
w rU
,
(1.59)
Обычно выбирают r = 1, и в этом случае w = U.
В данном подходе приемочные границы располагаются таким образом, чтобы «сузить» приемочный интервал, производитель и потребитель как бы ужесточают для себя требования приемки или браковки, как это показано на рисунке 2 для измерительных ситуаций «защищенная приемка» и «защищенная браковка» с двусторонним допуском. В этом случае приемочные границы стано-
вятся [ ; |
|
] для защищенной приемки, а браковочные границы определяются |
||
|
|
|
|
|
областями недопустимых значений |
]-∞; ] и [ ; ∞[. |
|||
|
|
|
|
|
Рисунок 1.13. - Расположение приемочных границ при защищенных приемке (а) и браковке0 (б)
Точностный подход, описанный в IEC Guide 115, основан на использовании метода испытаний с известными показателями точности, а источники неопределенности минимизируются: (а) использованием средств измерений с максимальными допускаемыми погрешностями, находящимися внутри заданных пределов;
(b) воздействиями окружающей среды, такими как температура и относительная влажность, поддерживаемыми в заданных пределах; (c) подтвержденным контролем лабораторных методик измерений и (d) подтвержденной компетентностью персонала, проводящего измерения. В данном подходе исходят из того, что интервал неопределенности существенно меньше, чем приемочный интервал, и риски для данной измерительной задачи являются незначительными. Учитывая особенности рассмотренных подходов, автором разработаны методические рекомендации по формализации возможных сценариев в практике принятия решений.
49
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
1.2.6. Индикаторы принятия решений в измерениях
Индикаторы принятия решений - представляют собой параметры, характеризующие соотношения интервалов допустимых значений (приемочных интервалов) и интервалов неопределенности (интервалов охвата) в зависимости от измерительной ситуации. К таким параметрам можно отнести, например, калибровочное соотношение, показатель измерительных возможностей, соотношение точностей при испытаниях, соотношение неопределенностей при испытаниях, индекс воспроизводимости процесса и др.
1) Калибровочное соотношение (gauging ratio) GR, определено в работе как отношение максимальной допускаемой погрешности Em средства измерений к расширенной неопределенности эталона , применяемого при калибровке:
GR |
E |
m |
|
||
|
|
|
|
U |
st |
|
|
,
(1.60)
|
|
|
В работе приводится ссылка на стандарт ASME B89.7.3.1 и указывается, что |
||||||
приемлемым соотношением является |
≥ |
4 |
, согласно документу - ≥ |
||||||
|
|||||||||
|
3 |
|
5 |
|
1 |
|
|||
( |
… |
), что характерно для правил простой приемки/браковки или защищенной |
|||||||
|
|
||||||||
1 |
1 |
10 |
|
|
|
||||
приемки/браковки, а «лучшим» - ≥ |
– для точностного метода принятия ре- |
||||||||
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
шения.
2) Показатель измерительных возможностей (measurement capability index) Сm, впервые рекомендованный ISO Guide 25, представляет собой отношение максимальной допускаемой погрешности (погрешности) средства измерений к расширенной неопределенности калибровки на поверяемой (калибруемой) точке диапазона измерений средства измерений:
c |
Em |
, |
(1.61) |
|
|||
m |
U |
|
|
|
|
||
Возможными приемлемыми соотношениями являются, как и в предыдущем случае ≥ (31 … 51) что характерно для правил простой приемки/браковки или
защищенной приемки/браковки, или ≥ 101 для точностного метода. «Суще-
ствует тесная связь между Сm и другими получаемыми параметрами, которые используются для того, чтобы охарактеризовать качество измерения в разных контекстах».
3) Показатель «соотношение точностей при испытаниях» (test accuracy ratio) ТАR, впервые рекомендованный американским стандартом MIL-STD-120 и поддержанный впоследствии ANSI/NCSL Z540.1 – параметр, характеризующий от-
50