-_7-07~1
.PDF
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
- PDF, характеризующая о Ym, предполагающие в дополнении к информации также наличие заданного значения измеряемой величины, равного Y = η;
С – константа при заданном измеренном значении ηm, выбранная так, чтобы h(ηm|η) - PDF для возможных значений Ym при заданном конкретном значении Y = η измеряемой величины:
|
|
g( | m )d 1, |
(1.15) |
Модель измерения, показанная на рисунке 1.1, основывается на процессном подходе и включает следующие положения:
|
|
|
УПРАВЛЯЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входной |
|
|
|
|
|
Выходной |
сигнал |
|
|
измерительные преобразова- |
|
|
сигнал |
|
|
ния |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(реализация из- |
|
|
|
|
|
(результат) |
|
|
|
|
|
РЕСУРСЫ
Рисунок 1.1. Модель процесса измерения
1)Любое измерение представляет собой цепь последовательных преобразований измеряемой физической величины в измерительном канале – процедур (звеньев), каждая из которых характеризует новое, измененное состояние измеряемой величины. В результате на выходе получают сигнал, являющийся функцией переменных, описывающих эффекты, участвующие в преобразованиях.
2)С каждым последующим преобразованием в цепи возникают потери информации об измеряемой величине, обусловленные несовершенством используемых технических средств и влияющими эффектами. Эти данные поступают на вход последующих звеньев, трансформируя сигнал в новое состояние, в результате чего на выходе цепи получают числовое значение измеряемой величины (точечную оценку), и параметр, количественно характеризующий точность получения данного значения – неопределенность (интервальную оценку).
3)Оценивание точности любого процесса измерений является своего рода компромиссом между затрачиваемыми ресурсами и получаемой на выходе канала точностью. Таким образом, существует множество способов реализации любого процесса измерений и оценивания его точности в зависимости от методов получения данных, применяемых технических средств, процедур обработки информации и других факторов.
31
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Однако измерения не являются самоцелью, а имеют определенную область использования, т.е. проводятся для достижения некоторого конечного результата, который не обязательно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. В зависимости от назначения измерений (для контроля параметров продукции, испытаний образцов продукции с целью установления ее технического уровня, учета материальных и энергетических ресурсов, для диагностики технического состояния машин, экспериментальных исследований, арбитражной перепроверки и др.) конечный результат в том или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах явлений, процессов (в том числе технологических), материальных объектов (материалов, полуфабрикатов, изделий и т.п.). Таким образом, конечные цели измерений зависят от области использования их результатов.
1.2.3. Информативные параметры результата измерения
Результат измерения - набор значений величины, приписываемых измеряемой величине вместе с любой другой доступной и существенной информацией. Обычно результат измерения содержит «существенную информацию» о наборе значений величины, такую, что некоторые из этих значений могут в большей степени представлять измеряемую величину, чем другие. Это может быть выражено плотностью распределения вероятностей. Как правило, результат измерения выражается одним измеренным значением величины и неопределенностью измерений. значение величины: Выражение размера величины в виде некоторого числа принятых единиц, или чисел, баллов по соответствующей шкале измерений.
Результат измерения скалярной величины представляет собой интервал, часто называемый интервалом охвата или интервалом неопределенности. Интервал охвата - интервал, основанный на имеющейся информации, который содержит совокупность истинных значений измеряемой величины с заданной вероятностью.
Существуют следующие виды интервалов охвата.
Вероятностно симметричный интервал охвата - интервал охвата для величины, у которой вероятность того, что величина меньше, чем наименьшее значение интервала, равна вероятности того, что величина больше наибольшего значения интервала.
Для несимметричных интервалов охвата используется понятие наимень-
шего интервала охвата. Наименьший интервал охвата – интервал охвата для величины, который имеет наименьшую протяженность из всех интервалов охвата для этой величины, имеющих одинаковую вероятность охвата.
Вмедицинской практике применяются понятия тревожного (критического)
ибиологического интервалов. Так, согласно тревожный интервал, критический интервал - интервал результатов исследований для тревожных (критических) тестов, который указывает на непосредственный риск возникновения повреждения
32
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
или смерти пациента. Интервал может быть открытым с одного конца, когда установлен только порог. Лаборатория устанавливает соответствующий перечень критических тестов для своих пациентов и пользователей.
Биологический референтный интервал - установленный интервал распре-
деления значений, взятый из биологической референтной популяции. Если неопределенность измерений может рассматриваться как пренебрежимо малая для некоторой цели, то результат измерения может выражаться как одно измеренное значение величины. Интервал охвата характеризуется протяженностью (наибольшим значением интервала охвата минус наименьшее значение интервала охвата).
Можно выделить следующие информативные параметры результата измерения, используемые для принятия решений:
1)наилучшая («точечная») оценка, которая может быть представлена математическим ожиданием, модой или медианой измеряемой величины, а также действительным значением или значением, полученным из косвенного измерения;
2)«интервальная» оценка, связанная с наилучшей оценкой – как правило, расширенная неопределенность (для симметричного интервала) или интервал охвата;
3)«вероятностная» оценка - уровень доверия, вероятность охвата, доверительная вероятность;
4)«описательная» оценка - функция распределения вероятностей или функция плотности вероятностей (условная функция плотности вероятностей - PDF), позволяющая рассматривать интервал охвата как «вскрытый черный ящик», предоставляя возможность оценивать риски, возникающие при измерительном контроле.
Подход Погрешности базируется на понятиях «истинное значение» и «по-
грешность». Погрешность (результата измерения) - разность между измерен-
ным значением величины и опорным значением величины:
x X , |
(1.16) |
где – измеренное значение величины;– опорное значение величины.
Если опорное значение величины известно, как, например, при калибровке средств измерений, то известно и значение погрешности измерения. Если в качестве опорного значения выступает истинное значение величины, то значение погрешности неизвестно. Также в качестве опорного значения могут использоваться принятое и действительное значения величины. Принятое значение (величины) - значение величины, по соглашению приписанное величине для данной цели. Иногда принятое значение величины является оценкой истинного значения величины (ускорение свободного падения gn = 9,806 65 мс–2).
Принятое значение величины обычно рассматривают как имеющее достаточно малую неопределенность измерений; она может быть равна нулю.
33
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Неопределенность измерений (неопределенность) - неотрицательный па-
раметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации. Неопределенность измерений включает составляющие, обусловленные систематическими эффектами, в том числе составляющие, связанные с поправками и приписанными значениями эталонов, а также дефинициальную неопределенность. Иногда поправки на оцененные систематические эффекты не вводят, а вместо этого последние рассматривают как составляющие неопределенности измерений. Параметром может быть, например, стандартное отклонение, называемое стандартной неопределенностью измерений (или кратное ему число) или половина ширины интервала с установленной вероятностью охвата. Неопределенность измерений, связанная с принятым значением часто достаточна мала и может быть принята равной нулю для конкретной цели. В этом случае используют понятие действительное значение величины. Подход Неопределенности, основываясь на вероятностной природе величин, признает, что в действительности по причине неполного количества деталей в описании величины существует не единственное истинное значение величины, а скорее набор истинных значений величины, согласующийся с определением. Однако этот набор значений, в принципе и на практике, является непознаваемым. В частных случаях фундаментальных констант, величина рассматривается как имеющая единственное истинное значение величины. Результат измерения выражается как Y = y U, что означает, что наилучшей оценкой значения, приписываемого измеряемой величине Y, является y, и что интервал от y-U до y+U содержит, можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать Y.
Краткая запись результата измерения для симметричного интервала охвата может иметь вид:
- на базе теории погрешностей:
Х (A ); P
-на базе концепции неопределенности:
Х(A U ); p
где X – измеряемая величина;
A – точечная оценка измеряемой величины;
– граница погрешности;
U – расширенная неопределенность; P – доверительная вероятность;
p – уровень доверия (вероятность охвата). Для симметричного интервала охвата:
(1.17)
(1.18)
A Х A |
(1.19) |
34
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
где φ – нижняя граница интервала охвата; ψ - верхняя граница интервала охвата.
Таким образом, измерение предполагает описание величины в соответствии с предполагаемым использованием результата измерения, наличие методики измерений и откалиброванной измерительной системы, функционирующей в соответствии с регламентированной методикой измерений и учетом условий измерений.
Графическая интерпретация результата измерений (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 на числовой оси физической (1.2.). Для указания доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений, и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± . При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдента t.
Рисунок 1.2. – Графическая интерпретация результата измерений при нормальном распределении случайной погрешности
Распределение вероятностей – функция дающая вероятность с которой случайная переменная применяет любое данное значение или принадлежащее к набору данных значений.
Вероятность всего набора значений Р = 1.
Наиболее общей формой задания распределения случайных величин является интегральная функция распределения. Она определяет вероятность того, что случайная величина А примет значение, которое будет меньше фиксированного действительного числа хi:
A Х |
A |
,
(1.20)
График функции распределения для непрерывной случайной величины представлен на рисунке 4.2.1
Эта функция определена от −∞ до +∞. Ее область значений – от 0 до +1. Кривая интегральной функции распределения асимптотически приближается к значению +1.
35
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее, например, x1, равна длине отрезка 0x1 на оси ординат.
Вероятность того, что значение непрерывной случайной величины будет находиться в интервале (x1, x2), равна разности значений F(x)в этих точках
Рисунок 1.3. – Интегральная функция непрерывной случайной величины
В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.
Дифференциальной функцией распределения или функцией плотности вероятности называется первая производная от интегральной функции распределения, т.е. F’(x)=f(x). Из этого определения видно, что функция плотности вероятности существует только для непрерывных случайных величин.
Пусть случайная величина X задана функцией плотности вероятности f(x). Вероятность того, что эта случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу [a,b] равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения в пределах от a до b:
P a X b |
b |
f x |
|
a |
|||
|
|
||
Это следует из того, что: |
|
|
P a X b F b
а по формуле Ньютона-Лейбница:
F b F a baF´(x)dx
dx ,
F a
ba f
,
(x)dx ,
(1.21)
(1.22)
(1.23)
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу [a,b] равна площади, которая опирается на этот интервал и ограничена сверху кривой f(x).(1.4.)
36
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Рисунок 1.4. – Дифференциальная функция непрерывной случайной величины
Существует большое количество законов распределения (дифференциальная функция распределения): арксинусное, трапецеидальное, экспоненциальное, распределение Эрланга, Стьюдента и т.д. К основным из применяемых в метрологии можно отнести прямоугольное, треугольное и распределение Гаусса.
Прямоугольное распределение
Прямоугольное распределение вероятностей применяется когда:
-об измеряемой величине только известно, что ее значение наверняка лежит
вопределенной области (от а до б), и что каждое значение между границам этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет;
-сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня до-
верия (25 мл 0,05 мл) Центр группирования:
( ) = |
+ |
, |
(1.24) |
|
|||
12 |
|
|
|
Дисперсия:
( ) = |
( − )2 |
, |
(1.25) |
|
12 |
||||
|
|
|
Стандартное отклонение:
= √ |
|
= |
− |
|
|
, |
|
|
( ) |
(1.26) |
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
2√3 |
|
||||
Рисунок 1.5. – Графическая иллюстрация прямоугольного распределения входной величины
37
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Треугольное распределение
Во многих случаях более реалистично ожидать, что значения возле границ гораздо менее вероятны, чем те, которые находятся возле центра. Тогда целесообразно заменить симметричное прямоугольное распределение симметричным трапецеидальным, имеющим одинаковые наклонные стороны (равнобедренная трапеция) или треугольным распределением
Центр группирования:
( ) = |
+ |
, |
(1.27) |
|
|||
12 |
|
|
|
Дисперсия:
( ) = |
( − )2 |
, |
(1.28) |
|
24 |
||||
|
|
|
Стандартное отклонение:
= √ |
|
= |
− |
|
|
, |
|
|
( ) |
(1.29) |
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
2√6 |
|
||||
Рисунок 1.6. – Графическая иллюстрация треугольного распределения входной величины
Треугольное распределение вероятностей применяется когда:
-об измеряемой величине известно, что ее значение наверняка лежит в определенной области (от а до б), и что распределение является симметричным;
-в области химии при считывании показаний со шкал мерной посуды;
-при комплексировании двух величин распределенных равновероятно.
Распределение Гаусса
Распределение Гаусса самый популярный закон, применяется когда:
-оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса (u(x) = s);
38
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
-неопределенность дана в форме стандартного отклонения наблюдений (s =
u(x));
-неопределенность дается в форме 95%-ого или другого интервала доверия Q без указания вида распределения: u(x) = Q/2 (для Q при 95 %).
Для входной величины, имеющей нормальное распределение с ожиданием
μx и стандартным отклонением σ функция распределения вероятностей имеет вид (рисунок 1.7):
p(t) =
p(t) |
|
1 |
|
|
2 |
||
|
exp (x |
) |
2 |
|
|
|||
|
x |
|
|
/ 2 2
,
(1.30)
Тогда хi, ожидание или ожидаемое значение Хi, является средней точкой интервала:
|
|
(а |
а |
) |
2 |
|
|
хi |
|
, |
(1.31) |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
Дисперсия и стандартное отклонение рассчитываются по формулам:
|
|
|
а |
2 |
u |
2 |
(x ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
||
u(x ) |
а |
|
||
|
|
|||
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
||
,
,
(1.32)
(1.33)
Рисунок 1.7. – Графическая иллюстрация нормального распределения входной величины
Параметры распределений случайных величин
Параметры распределения выражаются через начальные (найденные без исключения систематической составляющей) и центральные моменты .
k |
M Ak xк f x dx , |
(1.34) |
|
|
|
В зависимости от номера k различают 1,2… начальные моменты
39
РАЗДЕЛ МЕТРОЛОГИЯ
Начальный момент нулевого порядка равен единице: 0( ) = 1 Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:
|
A M |
1 |
|
A
,
(1.35)
Математическое ожидание относится к характеристикам положения указывающего на некое среднее значение, вокруг которого группируются все возможные значения случайных величин.
Являясь абсциссой центра тяжести системы материальных точек расположенных между кривой плотности вероятности и остью ординат
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоян-
ной:
М |
|
А |
|
|
А |
, |
(1.36) |
|
|
|
|
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М а * Х
а * М
Х
,
(1.37)
2.Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М (Х *Y *Z)
M (X )*M (Y )*M (Z)
,
(1.38)
3.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М (Х Y Z) M (X ) M (Y ) M (Z)м |
, |
|
(для разности аналогично)
4. Ожидание отклонения случайного числа от его ожидания равно нулю:
M[X – M (X )] 0 |
, |
|
(1.39)
(1.40)
Кроме математического ожидания к характеристикам положения относится мода и медиана.
Мода характеризует то отклонение случайной величины, для которого плотность вероятности имеет максимальное значение.
Медиана характеризует такое значение случайной величины, для которого одинаково вероятно окажется ли случайная величина больше или меньше медианы, то есть абсциссу точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
40