72
РАЗДЕЛ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ
Тема 3.1 Понятие функционального моделирования на микро-, макро- и метауровнях
В зависимости от сложности объекта при его проектировании или исследовании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней (микро-, макро- и метауровня) в иерархии функциональных моделей для большинства проектируемых и исследуемых сложных объектов.
Математические объекты на микроуровне.
В большинстве случаев это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами), и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных.
При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира.
Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема.
Субстанцией служат масса, количество движения, энергия.
Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др.
73
В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей (уравнения теории поля), будет следующим:
ddtϕ = div J +G ,
где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (температуру, давление, плотность, энергию и т.п.);
J – поток фазовой переменной;
G – скорость генерации субстанции; t – время.
divF = ∂∂Fxx + ∂∂Fyy + ∂∂Fzz ,
где div F – дивергенция (расходимость) – скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в ка-
кой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное< 0 определение дивергенции выглядит:
> 0 – точка поля является источником;= 0 точка поля является стоком;
и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Уравнение непрерывности гидродинамики (микроуровень) можно получить приняв,
что в течении жидкости или газа имеем в любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное поле скорости.
Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке:
∂ϕ∂t = −ρ div v .
Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности.
Для одномерной задачи
∂ϕ∂t = −ρ ∂∂vx .
Уравнение теплопроводности (микроуровень) описывает связь изменения температуры во времени и пространстве со свойствами среды.
Это уравнение вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стокатеплотыи изменениятеплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме:
∂∂Qt = −div JQ +GQ ,
где Q – количество теплоты;
74
JQ – вектор плотности теплового потока;
GQ – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме.
Уравнение теплопроводности для трехмерной задачи имеет вид:
∂ |
λx |
∂T |
+ |
∂ |
|
λy |
∂T |
+ |
∂ |
λz |
∂T |
+Q = |
∂T |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
∂x |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
∂z |
|
∂z |
|
|
||||
Граничные условия можно записать как
T =T1 |
на границе S1 ; |
|
|
|||
λx |
∂T |
lx + λy |
∂T |
ly + λz |
∂T |
lz + q +α (T −T∞ )= 0 на границе S2 , |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
где λx, λy и λz – коэффициенты теплопроводности; Q – внутренний источник (или отвод) тепла; q – тепловой поток на соответствующей границе объекта, где происходит тепловыделение;
α – коэффициент теплообмена; T – температура окружающей среды; lx, ly, lz – направляющие косинусы нормали к поверхности в данной точке границы области. В качестве искомой функции выступает температура T.
На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Например, дифференциальные уравнения в частных производных – уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры, возникающие при резания металлов; напряжения на фрикционном контакте и др. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, концентрации частиц, температуры, плотности токов, механическиенапряженияидеформации.Независимымипеременнымиявляютсявремяипространственные координаты.
Модели на микроуровне используются для исследования напряженного состояния деталей конструкции и для расчетов их на прочность. Напряженное состояние деталей конструкции в зависимости от геометрии исследуемого узла, вида приложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения (по-другому, его называют уравнением теории поля):
∂ |
∂φ |
|
∂ |
∂φ |
|
∂ |
∂φ |
|
∂φ |
. |
|||
|
Kx |
|
+ |
|
Ky |
|
+ |
|
Kz |
|
+Q = |
∂t |
|
|
|
|
|||||||||||
∂x |
∂x |
|
∂y |
∂y |
|
∂z |
∂z |
|
|
||||
Точное решение краевых задач получают только в частных случаях. Поэтому реализация таких моделей заключается в использовании различных приближенных моделей. Широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов.
Математические объекты на макроуровне.
Намакроуровнепроизводитсядискретизацияпространствсвыделениемвкачествеэлементовотдельных,напримерконструктивных(илигеометрических),параметров. Модели макроуровня получаются, когда происходит переход от распределенных параметров к
75
сосредоточенным – выделяются крупные элементы объектов и их параметры сосредоточиваются в одной точке: масса балки оказывается сосредоточенной в центре тяжести, поле потенциалов характеризуется величиной одного напряжения, поток электронов моделируется электрическим током и т. п.
При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве фазовых переменных могут быть, температура, силы, перемещения, давления. Для их получения и решения используют соответствующие численные методы.
Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в процессе функционирования.
Поведение (состояние) моделируемых объектов, состоящих из физически однородных элементов, в которых описываются процессы определенной физической природы (механические, электрические, гидравлические, тепловые), можно характеризовать с помощью фазовых переменных двух типов – типа потенциала и типа потока.
Фазовые переменные для различных физических систем приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1 – Типы фазовых переменных
Система |
Фазовые переменные |
||
|
|
||
типа потенциала |
типа потока |
||
|
|||
|
|
|
|
Электрическая |
Электрическое напряжение |
Электрический ток |
|
|
|
|
|
Механическая |
Скорость |
Сила |
|
|
|
|
|
Механическая вращательная |
Угловая скорость |
Вращательный момент |
|
|
|
|
|
Тепловая |
Температура |
Тепловой поток |
|
|
|
|
|
Гидравлическая и пневматическая |
Давление |
Расход |
|
|
|
|
|
В большинстве технических объектов можно выделить три типа пассивных простейших элементов:
–типа R – элемент рассеивания (диссипации) энергии (как правило, преобразования энергии в тепловую и ее рассеивания);
–типа C и типа L – элементы накопления потенциальной и кинетической энергии. Кроме пассивных элементов, существуют два активных элемента – источник потенци-
ала и источник потока.
Уравнения, описывающие свойства элементов объекта, называют компонентными. В них входят переменные типа потенциала и типа потока.
Способ связи элементов отражается с помощью других уравнений, которые называют топологическими. В них входят переменные одного типа: либо потенциала, либо потока.
Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия непрерывности, равновесия, баланса и т. п.
Математические модели объектов есть совокупность компонентных и топологических уравнений.
Электрические системы (макроуровень).
Основными фазовыми переменными электрических систем являются напряжения и токи в различных элементах систем. Компонентные уравнения элементов имеют вид:
U = R I, I = C dI |
, |
U = L dI |
, |
dt |
|
dt |
|
где U – напряжение;
76
I – ток;
R – сопротивление; C – емкость;
L – индуктивность.
При соединении резисторов, емкостей, индуктивностей между собой образуется схема, соединение элементов в которой отражается топологическими уравнениями. Ими являются законы Кирхгофа.
∑I j = 0, ∑Ui = 0 . |
|
j |
i |
Пример модели электрической системы (макроуровень).
Компонентные уравнения |
Топологические уравнения |
||||
|
UL = L dI ; |
|
∑Ii = 0 ; |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
1 |
; |
n |
. |
|
|
|
|
|||
UC = Q |
.UR = R I |
∑Ui = |
0 |
||
C |
|||||
|
|
1 |
|
||
Механическая система поступательного движения (макроуровень)/
Элементами механических поступательных систем являются:
77
–элементы механического сопротивления, отражающие потери механической энергии на разные виды трения;
–элементы масс, отражающие свойства инерционности;
–элементы податливости, отражающие свойства упругости.
Роль фазовых переменных в механических системах выполняют либо силы и скорости, либо силы и перемещения.
Компонентные уравнения имеют вид:
V = R F, |
F = m |
dV |
, |
V = L |
|
dF V = R F . |
|
|
dt |
|
m |
|
dt |
где V – скорость;
F – сила;
R – коэффициент, учитывающий зависимость силы трения от скорости; m – масса-аналог электрической емкости;
Lm – податливость – параметр, являющийся аналогом электрической индуктивности Первое выражение указывает на связь скорости и силы через коэффициент вязкого трения:
V = R F .
Второе выражение является вторым законом Ньютона.
F = m dVdt .
Третье выражение получено из уравнения деформации пружины x под действием силы F = k x, где k – коэффициент жесткости пружины.
V = Lm dFdt .
Топологические уравнения механической системы выражают уравнение равновесия сил, являющееся аналогом первого закона Кирхгофа, и уравнение сложения скоростей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю (аналог второго закона Кирхгофа).
∑Fj = 0, ∑Vi = 0 . |
|
j |
i |
Механические системы вращательного движения (макроуровень).
Для механических систем вращательного движения наиболее просто выглядит аналогия с механическими поступательными системами.
Поступательной скорости V соответствует угловая скорость ω , силе F – вращательный момент M.
Аналогиями параметров m, Lm и R будут соответственно: J – момент инерции относительно оси вращения, Lвр – крутильная податливость; Rвр – сопротивление вращению.
Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид:
ω= R M , |
M = J |
dξ |
, |
ω= L |
dM . |
вр |
|
dt |
|
вр |
dt |
78
Топологические уравнения механической вращательной системы выражают закон равенства суммы моментов сил и закон сложения скоростей вокруг оси вращения:
∑M j = 0, ∑ωi = 0 . |
|
j |
i |
Гидравлические и пневматические системы (макроуровень)
Фазовыми переменными гидравлических систем являются поток жидкости (расход) q и давление p – аналоги электрического тока и напряжения соответственно.
Компонентные уравнения участков трубопровода и резервуаров гидросистемы связывают фазовые переменные при ламинарном и турбулентном движении жидкости.
Топологические уравнения гидравлической системы близки по своему смыслу и идентичны по форме топологическим уравнениям электрических систем, а именно сумма потоков в любом узле системы и сумма давлений вдоль любого контура системы равны нулю.
Фазовые переменные пневматических систем – потоки газа и давления – аналогичны по смыслу фазовым переменным гидравлических систем. Также одинаковы в гидравлических и пневматических системах компонентные и топологические уравнения.
Тепловые системы (макроуровень).
Для этих систем основные фазовые переменные – температура T и тепловой поток q. Одно компонентное уравнение тепловой системы связывает разность температур на
участке элемента и тепловой поток через тепловое сопротивление Rт, которое определяется теплоотдачей посредством теплопроводности, конвекции и лучеиспускания, другое уравнение через теплоемкость Cт связывает тепловой поток и температуру элемента системы.
Уравнения с понятием «тепловой податливости» в тепловых системах нет.
Топологические уравнения для сумм тепловых потоков и разностей температур тепло-
вых систем также аналогичны законам Кирхгофа в электрических системах.
0 + = 0.
Уравнение теплообмена
Q =m1 c1 (t1′−t1′′) η=m2 c2 (t2′ −t2′′),
где m1, m2 – расходы горячего и холодного теплоносителей, кг/с;
c1, c2 – их средние, массовые, изобарные теплоемкости, кДж/(кгК); h – КПД теплообменника;
индексы 1, 2 – горячий и холодный теплоносители; ’, ” – индексы входной и выходной температур теплоносителей.
Моделирование на метауровне.
Математическиемодели намикроуровнеучитывают распределенность параметровобъекта в пространстве. Переход на макроуровень характеризуется дискретизацией пространства
– параметры объекта считаются сосредоточенными в отдельных точках пространства Существует несколько способов построения математических моделей на метауровне, к
ним относятся:
1)дискретизация времени, т. е. наряду с введением сосредоточенных параметров переменные и параметры модели считаются независящими непрерывно от времени;
2)потери энергии в объекте не учитываются;
3)переход к факторным моделям;