33

РАЗДЕЛ 2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Тема 2.1 Численное интегрирование и дифференцирование таблично заданных функций

Задачи, в которых требуется вычисление определенных интегралов, возникают при реализации многих задачах моделирования технических объектов. Иногда удается найти аналитическую формулу, т. е. выразить неопределенный интеграл в виде комбинации алгебраических и трансцендентных функций, после чего остается вычислить значение определенного интеграла, подставляя в формулу пределы интегрирования.

Во многих случаях, однако, не удается найти никакой аналитической формулы или же она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. В таких ситуациях приходится применять различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей области,ограничивающейподинтегральную функциюи осьабсцисс,и которыепозволяют вычислить эту сумму с достаточной точностью.

Обращаясь к содержанию этой лекции, поставим задачу и сделаем необходимые предположения. Требуется вычислить определенный интеграл вида:

I = ∫b f (x) dx,

a

при условии, что аи b конечны и f (х) является непрерывной функцией от хво всем интервале

а≤x ≤b.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I с геометрической точки зрения представляет собой площадь, ограниченную кривой f (х), осью х и прямыми х = а и х= Ь. Мы будем пытаться вычислить I, разбивая интервал от а до b на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и суммируя площади этих полосок.

При этом придется рассмотреть два способа разбиения исходного интервала на мень-

шие.

Разбиение на интервалы производится заранее, и обычно интервалы выбираются равными. Кроме того, если вычисление интеграла предполагается производить «вручную», то интервалы выбираются так, чтобы значениях, соответствующие концу каждого интервала, было возможно легче вычислять. Из этой категории методов будут рассмотрены правило трапеций и метод парабол (Симпсона).

Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа; сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем, в соответствии с этим, определяются их границы. Примером такого подхода является метод Гаусса.

Существует еще много других методов обеих категорий. Те из них, которые будут рассмотрены в этой лекции, позволяют ясно представить общий подход к задаче численного интегрирования и оценке ошибок. В подавляющем большинстве случаев эти методы вполне применимы для практических вычислений при решении инженерных задач.

Как было ранее сказаносущность большинстваметодов вычисления определенного интеграла сводится к замене подынтегральной функции, аппроксимирующими функциями, которые легко описываются аналитически. Рассмотрим технологию использования этих методов, а затем, в рамках лабораторных работ – программную реализацию этих и некоторых других методов.

34

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, где необходимо вычислить функцию f(x). Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются для обработки данных.

Вметодах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля и дру-

гие) используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов. Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегрирования. в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Следует иметь ввиду, что из-за необходимости хранения числовых констант и стандартизации пределов интегрирования программы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

ВметодахМонте-Карлоузлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффективными при вычислении большой кратности.

Вкласс специальных группируются методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погрешность вычисления интегралов.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение I интеграла и оценить погрешность R. Погрешность R представляет собой

R=Rогран.+Rокругл,

где Rогран. – погрешность ограничения, зависящая от выбранного метода; Rокругл. – погрешность округления при вычислениях.

Казалось бы на первый взгляд, что с увеличением количества разбиений n интервала интегрирования [a, b], точность увеличивается. Однако, следует иметь ввиду, что имеется некоторое критическое число интервалов разбиения nкр, для которого имеет место следующее: при n > nкр происходит увеличение точности за счет уменьшения ошибки ограничения метода, а с другой стороны n > nкр. ошибка округления является превалирующей и, в целом, с увеличением n точность снижается.

Методы прямоугольников.

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т. е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которогоесть длина отрезка интегрирования, а другая – аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов.

В зависимости от способа аппроксимации различают три метода прямоугольников

(рис. 2.1):

– метод правых прямоугольников;

36

Метод трапеций.

Разобъем интервал интегрирования на n равных частей длиной h = (b−a) / 2 и рассмотрим один из интервалов (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Один из интервалов интегрирования

Площадь под кривой на участке BC при достаточно малом h можно приближенно заменить площадью трапеции ABCD.

Ошибка ограничения этого метода складывается из суммы площадей между кривой y = f(x) и хордами, соединяющими соседние точки.

где a ≤ ζ ≤ b (x0 ≤ ζ ≤ xn ).

Т. е. метод трапеций имеет 2-й порядок.

Ошибка округления данного метода может быть определена, как

где y – среднее из всех значений yi; ε – относительная ошибка округления при выполнении

арифметической операции.

В связи с этим при малых h Rокруг >> Rогран.

37

Метод Симпсона.

Аналогично ранее рассмотренным методам интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков; однако теперь длявычисленияплощади над каждымиз нихчерез три последовательныхординатыразбиения проводится квадратичная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейныхфункций, правило Симпсонадаст точный результат при интегрировании многочленов второго порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для численного интегрирования получается незначительно сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симпсона способствуют его широкому применению при математическом моделировании на ЭВМ.

Установлено, что если имеется два некоторых шага интегрирования h и k, то наилучшее, чем Ih или Ik, приближение интеграла можно определить по формуле:

I = Ih + Ikh2−−I1k . h2

В случае, если вторая производная подинтегральной функции y"(x)=const в интервале a <= x <= b, то ошибка ограничения в вышеприведенной формуле равна нулю.

Этот метод определения интеграла предложен Ричардсоном [3] и называется экстраполяционным переходом к пределу.

Получение формулы может быть проиллюстрировано следующим образом (исходя из определения погрешности округления метода трапеций):

I = Ih + Rогр. = Ih +c h2;

I = Ik + Rогр. = Ik +c k2 ,

где c – некоторая константа.

Если вычесть эти уравнения друг из друга, получим:

Получим формулу Симпсона, используя данное уравнение и выражение численного интегрирования методом трапеций.

Пусть число отрезков разбиения интервала интегрирования n = (b−1) / h четное и, что k = 2 h.

Тогда

Ih = h2 (y0 + 2 y1 + 2 y2 +…+ 2 yn−1 + yn ),

Ih = h (y0 + 2 y2 + 2 y4 +…+ 2 yn−2 + yn ).

Подставляя в формулу Ричардсона, имеем

38

I = h3 (y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 +…+ 2 yn−2 + 4 yn−1 + yn ).

Полученная формула называется формулой Симпсона. Ее можно было вывести другим путем, а именно проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и потом складывая получившиеся при этом площади.

Ошибка ограничения при интегрировании с помощью формулы Симпсона может быть вычислена таким же способом, как и для правила трапеций. Окончательный результат:

Rогр. ≈ −180h4 (b −a) f IV (ξ), a < ξ < b .

Как видно, ошибка пропорциональна h4, в то время как для метода трапеций ошибка была пропорциональна h2. Это означает, что метод Симпсона соответствует ряду Тейлора с точностью до членов третьего порядка включительно, а метод трапеций соответствует этому ряду только с точностью до членов первого порядка. Поэтому при интегрировании многочле-

нов степени не выше третьей метод Симпсона дает точные значения интеграла (так как fiv(х) = 0).

Численное дифференцирование.

Процесс дифференцирования подразумевает нахождение производной. Численное дифференцирование – определение значений производной n-ого порядка заданной функции, в основекотороголежитаппроксимацияфункциинанебольшомучастке.Дляполученияразных порядков производной, можно провести операцию дифференцирования несколько раз.

Численное дифференцирование строится на использовании аппарата конечных разностей и соответствующего многообразия аппроксимаций функции (рис. 2.3).

Особенности:

–точность зависит от аппроксимации;

–вычислительная неустойчивость особенно при наличии случайных составляющих.

Рисунок 2.3 – Аппроксимирующие функции на интервале дифференцирования

Метод нахождения производной правой конечной разностью (прямые конечные разности, 1 порядок точности).

Формула метода имеет вид:

39

f (x −h)− f (x)+O(h), h

где O(h) – погрешность метода (зависит от шага дифференцирования h).

Метод нахождения производной левой конечной разностью (обратные конечные разности, 1 порядок точности).

Формула метода имеет вид:

f (1) (x)= f (x)− f (x −h)+O(h). h

Метод нахождения производной центральной конечной разностью (центральные конечные разности, 2 порядок точности).

Формула метода имеет вид:

f (1) (x)= f (x + h)− f (x −h)+O(h2 ), 2 h

где O(h2) – погрешность метода (зависит от шага дифференцирования h).

Метод нахождения производной четвертого порядка точности (центральные конечные разности)

Формула для 4-го порядка точности и 4 переменных:

f (1) (x)= − f (x + 2 h)+8 f (x + h)−8 f (x −h)+ f (x −2 h)+O(h4 ), 12 h

где O(h4) – погрешность метода (зависит от шага дифференцирования h).

Метод нахождения производной центральной конечной разностью для второй произ-

водной

Формула:

f ′′(xi )= yi+1 −2h2yi + yi−1 +O(h2 ).

Метод нахождения производной четвертого порядка точности для второй производ-

ной

Формула:

f ′′(x3 )= −y5 +16 y4 −30 y3 +16 y2 − y1 +O(h4 ). 12 h2

40

Тема 2.2 Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Уравнением с одним неизвестным F (x)= f (x) называется равенство двух функций от

одной и той же переменной величины, верное лишь при некоторых определенных значениях этой переменной. Переменная, входящая в уравнение, называется неизвестным, а значения x1, x2, … , xn, при которых оно верно, корнями или решениями уравнения.

Нелинейные уравнения делятся на трансцендентные и алгебраические, хотя часто они решаются одними и теми же методами.

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из входящих в него функций F(x) и f(x) являются алгебраическими (рациональной или иррациональной). Одна из этих функций может быть постоянной величиной.

Например,

F(x) = a0 xn + a1xn−1 +...+ an−1x + an = 0.

Уравнение F (x)= f (x) называется трансцендентным, если хотя бы одна из функций F(x) или f(x) не является алгебраической. Например,

F(x) = x −sin x −1 = 0.

Методы решения нелинейных уравнений бывают прямые и итерационные. Первые позволяют найти решениенепосредственно с помощью формули всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула для определения корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура решения в виде многократного применения избранного алгоритма решения уравнения. Полученное решение всегда является приближенным, хотя оно может быть сколь угодно близким к точному.

Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ. В каждом из рассматриваемых ниже методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней уравнения f (x) = 0 .

Решение уравнений приближенными методами состоит из двух этапов:

–определения интервала изоляции корня (отделение корней), т.е. интервала, содержащего корень уравнения;

–уточнения корня до заданной точности.

Произвести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для отделения корней уравнения f (x)= 0 применяют некоторые теоремы о свойствах

непрерывных функций:

Теорема Больцано-Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а, b] существует, по крайней мере, один корень уравнения f(х) = 0 (рис. 2.4).

Очевидно, что при выполнении условий предыдущей теоремы на отрезке [а, b] не следует, что на данном отрезке существует один или несколько корней. Признак наличии на отрезке [а, b] только одного корня выражается следующей теоремой:

Теорема. Если функция f(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а, b] существует корень уравнения f(х) = 0, и притом единственный (рис. 2.5).

41

Рисунок 2.4 – Геометрическая интерпретация теоремы Больцана-Коши

Рисунок 2.5 – Теорема о единственности корня

Вопрос о том, является ли функция монотонной, можно решить с помощью понятия производной: если производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка [а, b], то функция f(x) монотонна на этом отрезке.

Тогда теорема о существовании и единственности корня уравнения вида f(x)=0. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], принимает значения разных знаков и производная f'(x) внутри отрезка сохраняет постоянный знак, тогда внутри отрезка [а, b] существует корень уравнения f(x)=0, и притом единственный( .) = ( )

Если исходное уравнение представлено в виде , то теорема о существовании и единственности корня уравнения вида формулируется следующим образом (рисунок).

Теорема. Если функции F(x) и f(x) непрерывны на отрезке [а, b], функция f(x) монотонно возрастает на отрезке [а,b], а функция F(x) монотонно убывает на отрезке [а; b] и для данных функций выполняются неравенства f(a) < F(a) и f(b) >F(b), тогда внутри отрезка [а, b] существует корень уравнения F(x) = f(x), и притом единственный (рис. 2.6).

Рисунок 2.6 – Теорема о существовании и единственности корня уравнения вида F (x)= f (x)

Если на отрезке[а, b] функция f(x) не меняет знак, но в некоторой точке x0 этого отрезка обращается в нуль, то либо f(x) = 0 (рис. 2.6, а), либо f(x0) не существует (рис. 2.6, б). В обоих случаях точка x0 является точкой экстремума.

Отделение корней уравнения f(x) = 0 можно выполнить графически. Для этого необходимо построить график функции y= f(x), по которому судят о том, в каких интервалах находятся точки пересечения его с осью Ox.

Для алгебраического уравнения с действительными коэффициентами a0, a1, ... an (a0 > 0) верхняя граница положительных действительных корней Rв+ определяется по методу Лагранжа формулой

42

коэффициентов f(x).

Рисунок 2.6 – Особые виды функций

Нижнюю границу положительных корней Rн+ , верхнюю и нижнюю границы отрица-

тельных корней Rв− , Rн− - уравнения f(x) можно определить по формуле Лагранжа для вспомогательных уравнений:

f1 (x)= xn f (1/ x)= 0; f2 (x)= f (−x)= 0;

f3 (x)= xn f (−1/ x)= 0.

Если для границ корней вспомогательных уравнений получены соответственно значения R1, R2, R3, тогда

1/ R1 ≤ x+ ≤ Rв+;

−R2 ≤ x− ≤ −1/ R3.

В случае нелинейных уравнений для отделения корней могут использоваться следующие подходы

–в трансцендентных уравнениях интервал отыскания корней зачастую определен заранее постановкой задачи;

–часто достаточно построить графики изменения функции f(x) в заданных границах изменения аргумента. При построении графиков шаг изменения аргумента выбирается укрупненно, а при приближении к корню шаг уменьшается;

–часто для отыскания начального приближения алгоритм формируют следующим образом: изменяют аргумент от верхней (нижней) границы действительных корней и вычисляют значение функции до тех пор, пока не будет обнаружено изменение знака функции f(x).

В качестве примера рассмотри отделение корней уравнения вида:

x3 −6 x2 + 20 = 0 .

Воспользуемся графическим методом, для чего построим с относительно крупным шагом график функции:

y = x3 −6 x2 + 20 .

43

Рисунок 2.7 – Графическое отделение корней

На основе рис. 2.7 можно сделать предположение, что в каждом из отрезков [−2; −1], [2; 3], [5; 6] имеется по одному корню данного уравнения. Проверим это предположение для отрезка [2; 3]. На концах отрезка функция принимает значения, разные по знаку

y(2)= 23 −6 22 + 20 = 4 > 0 ; y(3)= 33 −6 32 + 20 = −7 < 0.

Производная: y(x)= 3 x2 −12 x = 3 x (x −4)< 0 для всех х из интервала (2; 3), т. е.

имеет постоянный знак.

Следовательно, в силу рассмотренных выше теорем внутри отрезка [2; 3] уравнение x3 −6 x2 + 20 = 0 имеет единственный корень.

Аналогично можно показать, что внутри каждого отрезка [−2, −1] и [5, 6] также имеется по одному корню.

Найти начальное приближение максимального положительного корня уравнения с точностью 0,2.

f (x)= 4 x7 −6 x5 +3 x4 −9 x2 +7 = 0 .

Верхнюю границу положительных корней определим по формуле Лагранжа

Rв+ =1+ 294 = 2,5.

Затем вычисляем значение функции f(x) при x=2,5 и далее при уменьшении аргумента c шагом, соответствующим заданной точности h=0,2 и контролируя изменение знака функции.

Для отыскания нижней границы положительных корней рассматриваем вспомогательное уравнение

f (x)= 7 x7 −9 x5 +3 x3 −6 x + 4 = 0 .

Тогда

45

Хотя метод половинного деления не обладает высокой эффективностью, но с увеличением числа итераций он обеспечивает получение значения корня с требуемой точностью.

Метод хорд.

Метод хорд часто называют также правилом пропорциональных частей, методом линейной интерполяции или ложного положения. В основе этого метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функций, имеющим противоположные знаки. При уточнении корня этот метод нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

Суть метода в следующем. Пусть на отрезке [a, b] находится единственный действительный корень заданного уравнения f(x), причем функция f(x) непрерывна на этом отрезке. В качестве первого приближения корня данного уравнения берется абсцисса x1 точки пересечения с осью x хорды, соединяющей концы А[a, f(a)] и B[b, f(b)] дуги графика функции f(x) на указанном отрезке (рис. 2.9). Уравнение хорды AB имеет вид

Рисунок 2.9 – Графическая интерпретация уточнения корня уравнения методом хорд

Положив в этом уравнении y = 0, получим первое приближение корня

x1 = a − f (a).(b −a) . f (b) − f (a)

Точка x1 всегда ближе точки пересечения функции f(x) с осью x к тому концу отрезка [a, b], в котором знак функции противоположен знаку ее второй производной.

Для получения второго приближения x2 вышеприведенную формулу следует применитьктомуизотрезков[a, x1], [x1, b],наконцахкоторогофункцияf(x) имеетпротивоположные знаки. Аналогично вычисляются и последующие приближения. Если известно i-е приближение, то (i+1)-е вычисляется по формуле

или по формуле

46

В первом случае за начальное приближение принимается a, т. е. x0=a, во втором – b, т. е. x0=b.

Вычисления приближений xi следует продолжать до тех пор, пока два последовательных приближения xi+1 и xi не совпадут с друг другом на заданное число знаков, т. е. пока не

выполнится условие (xi+1 − xi )≤ e , здесь e – точность вычислений.

На рис. 2.10 представлена блок-схема алгоритма уточнения корня уравнения методом

хорд.

Рисунок 2.10 – Блок-схема алгоритма метода хорд

Метод касательных (метод Ньютона).

Метод последовательных приближений, разработанный Ньютоном, широко используются для построения итерационных алгоритмов. Его популярность обусловлена тем, что для определения интервала, в котором заключен корень, не требуется находить значения функции с противоположными знаками. Если известно начальное приближение к корню уравнения f(x) = 0, то метод Ньютона (метод касательных) является высокоэффективным методом уточ-

нения корней.

Вместо интерполяции по двум значениям функции в методе Ньютона осуществляется экстраполяция с помощью касательной к кривой в данной точке.

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню принимаются значения x0, x1, x2 ... точек пересечения касательной к кривой y = f(x) с осью абсцисс. Геометрическая интерпретация метода представлена на рис. 2.11.

Для того чтобы его применить метод Ньютона необходимо, знать начальное приближение к корню x0. для которого выполняется условие:

f (x0 ) f "(x0 )> 0 .

Проведем касательную в точке [x0, f(x0)].

47

Рисунок 2.11 –Геометрическая интерпретация метода касательных

Первым приближением корня будет точка пересечения этой касательной с осью абсцисс х1. Через точку [x1, f(x1)] снова проводим касательную, точка пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

На рис. 2.12 приведены возможные варианты выбора правого или левого конца отрезка в качестве начального приближения.

Рисунок 2.12 – Варианты выбора начального приближения корня

Из рис. 2.12 ясно видно, что быстрота сходимости в большой мере зависит от удачного выбора начальной точки.

Если в процессе итераций тангенс угла наклона касательной f ′(x) обращается в нуль, то применение метода осложняется. В случае бесконечно большого значения f ′′(x) метод также не будет эффективным. Так как условие кратности корней имеет вид f (x) = f ′(x) = 0 ,

то в этом случае метод Ньютона не обеспечивает сходимости.

По количеству шагов этот метод является самым эффективным (в большинстве случаев число шагов на порядок меньше, чем в методе половинного деления).

Недостатки метода:

– необходимость вычисления f'(x) на каждом шаге процесса;

48

–необходимость вычисления f''(x) на концах [a, b];

–метод нельзя применять в случае, когда f'(x) мала вблизи корня ξ, т. е. когда кривая

y = f(x) вблизи точки пересечения с осью х почти горизонтальна, т. к. f (xn ) f ′(xn ) – поправка

к очередному приближению, может оказаться большой, и процесс вычисления корня уравнения может быть долгим или даже расходящимся.

На рис. 2.13 показана блок-схема алгоритма этого метода, в основе которого лежит разложение функции f(x) в ряд Тейлора

ния, задаваемая расчетчиком.

Рисунок 2.13 – Блок-схема алгоритма метода касательных

Метод простых итераций.

Является одним из наиболее важных численных методов решения нелинейных уравне-

ний – это метод последовательных приближений.

Сущность метода заключается в следующем:

Исходное нелинейное уравнение f(x) = 0 заменяется эквивалентным ему уравнением

вида:

x = ϕ (x).

Задаются начальным приближением корня х = х0. Подставляя это значение в правую часть исходного уравнения, получаем новое приближение:

x1 = ϕ(x0).

Затем аналогичным образом получим

x2 = ϕ(x1).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в исходное уравнение, получаем последовательность значений:

49

xn+1 = ϕ(xn), n = 1,2, ... .

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не станут близки результаты двух последовательных итераций.

xn+1 − xn ≤ ε .

Достаточным условием сходимости метода простых итераций является условие:

ϕ′(x) <1,

выполненное для любого x, принадлежащего некоторому отрезку [a, b], содержащему корень уравнения.

Геометрическая интерпретация метода может быть представлена следующим образом. Построим графики функций y = x и y = ϕ(x). Корнем ξ уравнения x = ϕ(x) является

абсцисса точки пересечения кривой y = ϕ(x) с прямой y = x.

Итерационныепроцессымогутбыть:односторонними, если ϕ'(x) > 0 идвусторонними, если ϕ'(x) < 0 (рис. 2.14).

Рисунок 2.14 – Графическая интерпретация одно- и двусторонних итерационных процессов

Видно, что при ϕ'(x) > 0 (рис. 2.14 а, б) и при ϕ '(x) < 0 (2.14 рис. в, г) возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы.

Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной ϕ'(x). Чем меньше |ϕ'(x)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Таким образом, при переходе от уравнения f(x) = 0 к уравнению x = ϕ(x) необходимо выполнение условия φ′(x) <1.

Усовершенствованный метод простых итераций.

Формула данного итерационного метода имеет вид:

xn+1 = xn +α (f (xn )− xn ),