16

Если в результате испытаний математической модели определена необходимость ее упрощения, то следует воспользоваться одним из перечисленных приемов:

1)понижение пространственной размерности задачи;

2)предположение процесса независимым от времени, т. е. переход от динамической модели к статической или квазидинамической;

3)введение более жестких предположений и ограничений, что касается структуры модели, отдельных ее элементов, характера взаимодействий между ними, описание окружающей среды и ее взаимодействия с объектом моделирования;

5)исключение некоторых переменных или объединение их;

6)замена нелинейных зависимостей линейными;

7)замена переменных константами.

Во всех случаях необходимо выполнить анализ влияния вводимых изменений на адекватность модели.

Тема 1.3. Использование при моделировании типовых модулей динамических систем

Типовые элементы динамических систем.

При получении эквивалентной схемы исследователь отражает в ней те элементы и свойства реального объекта, которые, по его мнению, оказывают существенное влияние на функционирование объекта. Какими эффектами можно пренебречь ему подсказывает опыт и интуиция. Поэтому процедура составления эквивалентной схемыподдаетсяформализации достаточно сложно.

Реальные динамические системы являются системами с распределенными параметрами, т. е. характеризуются несколькими свойствами, которые к томуже пространственнораспределены по всему объекту, например:

1.Механические системы. Валы механических систем обладают инерционными характеристиками и податливостью. При этом наиболее существенным свойством являются их упругие характеристики.

Шестерни силовых передач обладают также упругими и инерционными характеристиками, но для них более характерны инерционные характеристики.

2.Гидравлические и пневматические системы. Трубопроводы гидро- и пневмосистем характеризуются объемом и сопротивлением, которое они оказывают движению рабочего агента, причем последнее свойство превалирует. Емкости также характеризуются объемом и сопротивлением, обусловленным, в частности, трением жидкости или газа о стенки емкости. Однако наиболее существенной характеристикой для них является объем.

При решении задач имитационного моделирования, как правило, систему стремятся привести к дискретному виду. Переход от реального объекта к его математической модели связан с идеализацией наиболее существенных для него свойств и связей и пренебрежением менее существенными свойствами каждого элемента.

Используется три основных способа ограничения числа степеней свободы механических систем, совершающих колебательное движение (наиболее характерно для трансмиссий, подвесок и пр. систем современных мобильных машин).

Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе лишенными массы и представляются в виде безинерционных элементов (жестких или деформируемых), а наиболее жесткие части конструкции принимаются за абсолютно твердые тела; если размеры последних малы, то их считают материальными точками.

В частности, в механических системах, совершающих вращательное движение, элементы, обладающие массой, считают сосредоточенными и характеризуются только моментами инерции. К сосредоточенным массам обычно относят массы, размеры которых вдоль оси

17

вращения не превышают двойного диаметра массы. Распределенные массы, если они малы по сравнению с сосредоточенными, приближенно учитываются путем отнесения их к сосредоточенным массам, расположенным на концах рассматриваемого участка вала. Так, для учета момента инерции вала третья часть его момента инерции распределяется по сосредоточенным массам на концах этого вала. Валы же рассматриваются как упругие безинерционные связи между сосредоточенными инерционными элементами.

На рис. 1.2 показаны примеры образованных таким способом систем с одной степенью свободы. Следует обратить внимание на их характерные особенности: упругие элементы, изображенные в виде пружин на рис. 1.2 а, б, в, считаются безмассовыми; то же относится к упругим стержням на рис. г, д, з и жестким стержням на рис. 1.2 в, ж, и; в схемах на рис. 1,2 б, е качение не сопровождается скольжением: в схеме на рис. 1.2 г груз считается сосредоточенным (материальная точка). Здесь же, а также в схеме на рис. 1.2 д горизонтальные перемещения грузов считаются пренебрежимо малыми. В качестве обобщенной координаты принято: на рис. 1.2 а, б – горизонтальное перемещение, на рис. 1.2 в, г, д – вертикальное перемещение, на рис. 1.2 е–и – угол поворота.

Рисунок 1.2 – Идеализированные схемы механических систем

Второй способ состоит в сосредоточении податливости непрерывной системы в конечном числе точек. При этом система представляется в виде совокупности упруго сочлененных жестких элементов. Например, упругая балка с непрерывно распределенной массой может быть приближенно заменена цепочкой жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами. При выборе числа шарниров следует исходить из требуемого уровня точности (рис. 1,2).

Рисунок 1.3 – Идеализация упругих звеньев

Третий способ основан на некоторых априорных предположениях об изменении конфигурации системы в процессе колебаний. Например, для двухопорной балки можно предположить, что во все моменты процесса колебаний форма оси остается неизменной и меняется только ее масштаб. Если заранее задать форму в виде«подходящей» функции f(x), то прогибы

оси балки будут описываться произведением y(x, t)=q(t) f(x), где q(t) –функция времени,

18

являющаяся единственной неизвестной задачи. Таким образом, данной выражение определяет переход к системе с одной степенью свободы, причем q(t) представляет собой обобщенную координату. Точность решения может быть повышена, если вместо вышеприведенного уравнения описать движение балки суммой произведений

s

y(x,t) = ∑qj (t) f j (x),

j=1

где fj(x) – задаваемые функции абсциссы x , qj(t) – искомые функции и времени, играющие роль обобщенных координат, s – сохраняемое в модели число степеней свободы системы.

Приидеализациигидроипневмосистемиспользуютподход,аналогичныйописанному выше первому способу.

Переход от реальной схемы к эквивалентной значительно упрощается, если известен набор типовых элементов (динамических модулей), которые можно использовать для построения ММ.

Анализ механическихи пневмогидравлическихмоделей разнообразных объектовпоказывает, что для их отображения посредством динамических схем можно использовать приведенные в табл. 1.4–1.5 две группы звеньев: динамические и кинематические. Динамические звенья механических систем отражают инерционные, упругие и диссипативные свойства объекта, а динамические звенья гидропневматических систем свойства генераторов, аккумуляторов, емкостей и сопротивлений. Кинематические звенья описывает связи, накладываемые на движение звеньев. Основной характеристикой кинематического звена является число степеней свободы w0.

Таблица 1.4 – Типовые динамические звенья механических систем

20

dpк = k pк Qк . dt Vк

Линеаризованная объемная подача компрессора в зависимости от противодавления на выходе определяется по формуле:

Qђ = Qmax − Qmax −Qmin ( pк − pmin ), pmax − pmin

где Qmax – максимальная подача при заданном минимальном противодавлении на выходе ком-

прессора(обычноQmax задаетсядляpmin = 1 105 Н/м2); Qmin – минимальнаяподачапризаданном максимальном противодавлении на выходе компрессора (обычно для автомобильных ком-

прессоров Qmin задается для pmax = 8 105 Н/м2). Параметры Qmin и Qmax можно найти в технических характеристиках компрессоров.

Динамические схемы можно строить из приведенных в табл. 1.4–1.8 звеньев, однако математическое описание сложных объектов целесообразно проводить посредством более крупных единиц, которые называются типовыми элементами динамических схем, или типовыми динамическими модулями.

ζ –коэффициент гидравлического сопротивления.

21

Таблица 1.8 – Емкости

Все разнообразие элементов динамических схем механических систем можно свести к трем классам (табл. 1.9):

–передающие силовой поток (моменты, усилия) на неподвижное звено – реактивные элементы;

–передающие силовой поток другим подвижным звеньям – цепные элементы;

–распределяющие силовой поток между несколькими звеньями – разветвляющие эле-

менты.

Кроме этого, типовые элементы можно классифицировать по следующим двум груп-

пам:

–тип элемента: упругий и жесткий;

–число степеней свободы элемента w0 при условии абсолютной жесткости его звеньев.

Жесткие

Приведенное в табл. 1.10 проточное звено пневматической системы включает в себя два сопротивления (дросселя), между которыми установлена емкость с объемом камеры V1. Уравнения расходов воздуха составляются лишь для одного узла, в котором (dm/dt)1 представляет собой массовый расход воздуха через первое пневмосопротивление, (dm/dt)2 – через второе пневмосопротивление, (dm/dt)E – расход воздуха в емкость Е.

22

Таблица 1.10 – Типовые модули пневматических систем

Элемент пневмоцепи с последовательно соединенными постоянными емкостями является цепью второго порядка. В этой цепи выделяется два узла, и, следовательно, она описывается двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Разветвленная пневмоцепь с постоянными емкостями имеет параллельное соединение

трех звеньев, которые подключаются к источнику давления через сопротивление µf1. Узел V1, включает в себя лишь небольшую емкость самого; узда. Эта пневмоцепь включает три узла, и описывется тремя нелинейными уравнениями первого порядка.

Разветвленная пневмоцепь с переменной емкостью содержит параллельно и последовательно соединенные пневматические звенья, причем одно или несколько звеньев имеют переменную емкость, у которого функция массового расхода воздуха описывается с учетом их переменного объема.

Динамические звенья могут в общем случае иметь переменные параметры, например, упругое звено – податливость с нелинейной характеристикой, диссипативное звено – коэффициент демпфирования, изменяющийся в зависимости от частоты колебательного процесса, а инерционное звено – момент инерции, зависящий от взаимного расположения или состоянии частей звена. Эти особенности носят параметрический характер и должны учитываться в процессе расчетов. Однако они не изменяют структуру модели, которая определяется составом и связями типовых элементов.

Приведенная классификация и выделенные типовые элементы являются основой структурного анализа и синтеза динамических схем. При анализе динамическая схема расчленяется по инерционным звеньям, а при синтезе она образуется в результате слияния инерционных звеньев типовых элементов. Таким образом, любую динамическую схему можно описать, указав набор типовых элементов, из которых она состоит, и их связи. Если математическое описание типовыхмоментов подготовлено заранее или известей алгоритм его получения, то возможна автоматизация процесса описания динамической схемы произвольной конфигурации системой дифференциал них уравнений.

Уравнение динамики типовых звеньев.

При составлении уравнений динамики типовых элементов механических систем (табл. 1.9) примем, что внешние для рассматриваемого типового элемента моменты Mi приложены к инерционным звеньям Ii. Моменты Mi будем считать активными, а остальные - моментами сопротивления. Во всех узлах полагаем, что податливые элементы обладают демпфированием.

Динамика упругого реактивного элемента описывается следующими уравнениями:

Iр1 ϕр1 + Mр = Mi ;

Mр = 1e φр1 + k φр1,

где cр = 1/e1 – жесткость упругого элемента; k – демпфирование упругого элемента.

23

При жестком реактивном элементе Мр = Mi.

Для упругих цепных элементов динамических схем уравнения динамики будут иметь следующий вид

I1 φ¨ 1+ M12 = Mi ;

I2 φ2 − M12 = −M2;

M12 = e1 (φ1 −φ2 )+ k12 (φ1 −φ2 ).

12

Если цепная динамическая схема жесткая, то третье уравнение в данной системе запишется в виде

Разветвляющийся трехзвенный упругий элемент (w0 = 2), являющийся дифференциалом, описывается уравнениями:

I1 φ1 + Mд = M1;

I2 φ2 +i Mд = M2;

I3 φ3 −(i −1) Mд = M3;

При наличии уразветвляющего элемента жестких связей, четвертое уравнение системы дифференциальных уравнений запишется в виде:

где i = i123 – внутреннее передаточное отношение от звена 1 к звену 2 при остановленном

звене 3.

Для исследования переходных процессов, происходящих при течении воздуха через устройства реальных пневмоприводов, которые широко применяются в мобильной технике, пользуются изложенной в работе [1] методикой их динамического расчета. Различные по конструктивному устройству элементы пневмопривода заменяются при динамическом расчете идеализированными звеньями, включающими пневмосопротивление (дроссель) с пропускной

способностью µf и емкость объемом V.

Массовый расход воздуха через пневмосопротивление µf можно определить, как: dmdt = μf vкр Rp0T φ(σ),

где f – площадь поперечного сечения канала дросселя; µ – коэффициент расхода; vкр – критическая скорость воздуха; R – газовая постоянная для воздуха; T – абсолютная температура

воздуха перед дросселем; p0 – давление на входе в дроссель; ϕ(σ) – функция расхода; σ – безразмерная величина, равная σ = p1/p0; p1 – давление за дросселем.

24

В качестве функции расхода для расчетов как простейших, так и сложных многоконтурных пневмоприводов автомобилей и тракторов используется гиперболическая функция расхода:

φ(σ)= A B1−−σσ,

где A и B – коэффициенты, определяющие сдвиг горизонтальной и вертикальной асимптот гиперболы.

Массовый расход воздуха через емкость объемом V можно определить, как:

dmdt = k VR T dpdtE ,

где k – показатель адиабаты; pE – давление в емкости.

Для воздухаможно принять A = 0654; B = 1,13; k = 1,4; υкр = 340 м/с. Математические модели различных элементов пневмоцепей, приведенных в табл. 1.10,

составляются по методу узлов. Параметр (dm/dt)1 представляет собой массовый расход воздуха через первое пневмосопротивление, (dm/dt)2 – через второе пневмосопротивление: , (dm/dt)E – расход воздуха в емкость Е. Уравнение массовых расходов дляпроточного звена

m1 −m2 −mE = 0.

Подставляя значения массовых расходов, получаем для проточного звена:

μf1 vкр Rp0T φ(σ1)−μf2 vкр Rp1T φ(σ2 )− k VR1 T dpdt1 = 0.

Разрешая относительно производной давления p1, получаем:

При последовательном соединении двух звеньев с постоянными емкостями выделяются два узла, представляющие емкости V1 и V2, для которых уравнения расходов будут представлены в следующем виде:

m1 - m2 - mE1 = 0; m2 −mE 2 = 0.

Аналогично, как для проточного звена, подставляя уравнения массовых расходов и разрешая относительно производных давлений p1 и p2, получаем:

Для разветвленного соединения звеньев выделяется соответствующее количество