1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Получаем векторную оценку погрешностей ε = (ε1, ε2 ,..., εn)

При необходимости получения скалярной оценки используется какая-либо норма век-

тора ε, например,

εm = (ε= max( εj ), где j [1:n] или εm = ∑εj /n, где j [1:n].

3.Адекватность ММ – это способность отображать заданные свойства объекта

спогрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров. Например, закон Гука – в зоне упругих деформаций.

4.Экономичность ММ. Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера. Так как указанные величины определяются характеристиками конкретного компьютера, то использовать их для оценки экономичности математической модели не корректно. Поэтому, для оценки экономичности самой математической модели используют другие величины:

1.Среднее количество операций, выполняемых при одном обращении

кматематической модели.

2.Размерность системы уравнений в математической модели.

3.Количество используемых в модели внутренних параметров и т. д.

Требования высокой степени универсальности, точности, широкой области адекватности математической модели, с одной стороны, и высокой ее экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей.

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

1.Вычислимость, т. е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

2.Модульность, т. е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

3.Алгоритмизуемость, т. е. возможность разработки соответствующих алгоритмов

ипрограммы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

4.Наглядность, т. е. удобное визуальное восприятие модели.

Классификация математических моделей.

Классификация в любой области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Не является исключением в этом смысле и математическое моделирование. В табл. 1.1 показаны виды математических моделей по различным признакам классификации.

По характеру отображаемых свойств объектов они делятся на две большие группы:

структурные и функциональные.

Структурные ММ.

Предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структур-

ные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображают состав и взаимосвязи элементов объекта.

Эти ММ применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов. Основными задачами топологических ММ являются задачи компоновки, размещения

итрассировки.

1)Решение задач компоновки заключается в создании конструктивных элементов высшего иерархического уровня из элементов низшего иерархического уровня.

2)Типичной задачей размещения является определение оптимального пространственного расположения элементов конструкции.

3)Задача трассировки заключается в определении геометрии соединений конструктивных элементов. Качество решения задач трассировки в большой степени определяется результатами, полученными при размещении конструктивных элементов. В некоторых случаях раздельное решение задач размещения и трассировки приводит к неудовлетворительным результатам.

Топологические ММ могут иметь вид таблиц, графов и т. д.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов. В них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ применяются при решении задач конструирования, для оформления чертежной документации и т.д.

Имеется несколько типов геометрических моделей:

а) для описания несложных геометрических объектов используются аналитические или алгебрологические. Аналитические геометрические модели представляются уравнениями, описывающими контуры или поверхности деталей. Например, поверхность вращения описывается уравнением

F (x, y, z)= a (x2 + y2 )+b z2 + 2 c z + d = 0

Аналитические модели служат основой для описания элементарных геометрических объектов, на основе которых могут быть получены составные геометрические объекты.

Алгебрологические – задание тел в виде логических выражений, отражающие условия принадлежности точек тем или иным пространственным областям.

б) В случае сложных поверхностей используют каркасные и кинематические модели. Каркасные – каркасы, конечные множества точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности (аналогия кусочно-линейной аппроксимации). Для получения непре-

рывного каркаса из дискретного необходимо произвести аппроксимацию поверхности.

9

Кинематические – поверхность образуется как результат перемещения в трехмерном пространстве некоторой жесткой или деформируемой кривой. Поверхность вращения получается в результате вращения плоской кривой вокруг оси симметрии.

в) канонические модели – если удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект, и в то же время имеющие простую связь с его формой (многоугольник – координаты вершин; цилиндр – ось и его радиус и т. д.).

г) геометрические макромодели – описывают предварительно отобранные типовые геометрические фрагменты. Например, для типовых сборочных единиц это номера, габаритные и стыковочные размеры (зубчатые колеса, винтовые соединения, подшипники).

С помощью геометрических моделей решаются позиционные и метрические задачи геометрического моделирования. Позиционные – определение принадлежности точки замкнутой плоской трехмерной области, определение пересечений или касания деталей в процессе движения, оценка минимального или максимального расстояния и т. д. Метрические – связаны с вычислениями параметров деталей: площадей, масс, моментов инерции, объемов, центров масс и пр.

Функциональные ММ.

Предназначены для отображения физических или иных процессов, протекающих в объекте при его функционировании. Обычно функциональные ММ это системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

По иерархии (уровню рассматриваемых функциональных процессов) ММ делятся на модели на микро-, макро- и метауровнях.

ММна микроуровне описывают процессы, протекающие в непрерывных пространстве

ивремени. Они представляются дифференциальными уравнениями в частных производных (напряжения, теплопроводность, гидродинамика).

ММна макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональномупризнакуи описываютсяпоэтомуобыкновенными дифференциальными уравнениями. В этих уравнениях независимой переменной является время, а фазовыми переменными – силы, скорости, давления, расходы и т. д. Описывают как динамические, так и установившиеся состояния объектов. В последнем случае они упрощаются до алгебраических уравнений.

ММна метауровне. В качестве элементов рассматриваются достаточно сложные совокупности деталей. ММ описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, в качестве фазовых переменных используются переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, т. е. задачи теории управления.

По способу представления свойств объекта ММ делятся на аналитические и алго-

ритмические.

Аналитические – зависимости выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. ММ достаточно экономичные, но их можно получить, как правило, приняв большое число допущений, что снижает точность и сужает область адекватности модели.

Алгоритмические ММ – выражают связи выходных параметров с внутренними и внешними в форме алгоритма. Как правило, это системы уравнений, для решения которых используются определенные численные методы.

Различаютимитационныеалгоритмическиемодели,которыеотражаютповедениеобъекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примером могут служить модели динамических объектов в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Моделирующий алгоритм в этом случае позволяет по исходным данным, содержащим сведения об исходном состоянии объекта моделирования, отобразить реальные явления в объекте моделирования и получить сведения о возможном поведении объекта моделирования в конкретной ситуации.

10

Работа с имитационной моделью заключается в проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта на его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.

Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами. Первый способ заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом. Второй способ заключается в «движении» по времени от события к событию, при этом считается, что в промежутках времени между событиями в модели изменений не происходит.

По способу получения ММ делятся на теоретические и эмпирические.

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т.к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.

Эмпирическиематематические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

С точки зрения особенностей описания поведения объекта различают детерминированные и вероятностные ММ.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т. д.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т. д.

Методика получения математических моделей элементов.

Она включает следующие этапы:

1.Выбор свойств объекта, подлежащих отражению в модели. Основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности.

2.Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Для этого используется литература, результаты эксперимента, описания прототипов и т.д.

3.Синтез структуры ММ. Структура ММ - общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Это наиболее ответственная задача, наиболее трудно поддающаяся формализации.

4.Расчет числовых значений параметров ММ.

5.Оценка точности и адекватности ММ. Большую ценность представляет не проверка погрешности в 2–3 точках, а сведения об области адекватности. Однако это требует больших затрат вычислительных ресурсов и времени.

Структура математических моделей.

Формально математическая модель включает:

–компоненты;

–параметры;

–функциональные зависимости;

12

фрикционныемуфты)являетсявнешнимпараметром,а при исследовании тепловыхпроцессов

всамих фрикционных узлах – выходным.

3.Большинство выходных параметров являются функционалами зависимостей V(Z), т.е. для их определения необходимо при заданных внутренних X и внешних Q параметрах ре-

шить уравнение L(V(Z)) = ϕ(Z) и по полученным значениям рассчитать значения выходных параметров.

Функциональные зависимости описывают изменения переменных и параметров в пределах компонента, между компонентами, между объектом моделирования и внешней средой.

Ограничения представляют собой задаваемые пределы изменения значений переменных. Вводятся либо разработчиком ММ, либо определяются объектом моделирования в силу присущих ему свойств.

Под функцией понимается некоторый закон, устанавливающий соответствие между зависимой и независимой переменными. Используются чаще всего аналитические, кусочно-ана- литические, простые обобщенные функции.

Целевая функция – отображение целей и задач моделирования и правила оценки эффективности процесса математического моделирования и его результатов.

При разработке математической модели удобно представлять параметры модели в виде следующей таблицы.

Таблица 1.2 – Описание параметров матмодели

Формы представления математических моделей.

1.Инвариантная – запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения задачи.

2.Алгоритмическая – запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма.

3.Аналитическая – запись модели в виде результатов аналитического решения исходных уравнений модели, которые представляют собой явные выражения выходных параметров как функции внутренних и внешних параметров.

4.Графическая (схемная) – представление модели на некотором графическом языке (схемы, графы, диаграммы и т.д.). Графическое представление информации более удобно для восприятия человеком, но для использования таких моделей необходимы правила однозначного толкования ее элементов.

Тема 1.2 Технология моделирования. Основные этапы построения и реализации математических моделей

Как правило, математическое моделирование включает два основных процесса:

1)процесс разработки модели;

2)процесс реализации модели, т. е. проведение с использованием разработанной ММ вычислительногоэкспериментасцелью полученияинтересующихисследователярезультатов.

В рамках этих двух процессов следует выделить следующие этапы, определяющие деятельность исследователя при моделировании.

1. Определение целей и задач моделирования.

Чтобы решить некоторую задачу, прежде всего ее нужно до конца понять и четко, точно, просто, кратко, но полно и понятно сформулировать. Правильная постановка задачи, как правило, также важна, как и ее решение. Еще Аристотель говорил, что грамотно

13

поставленная задача – уже половина ее решения. Недостаточное внимание к этому этапу приводит к непроизводительным затратам на последующих стадиях моделирования.

На этом этапе разработчик должен ответить на вопросы:

–для каких целей разрабатывается модель?

–где и как модель будет использоваться?

–кем она будет использоваться (уровень знаний, квалификация пользователя)?

–на какие вопросы должна давать ответы?

2. Определение объекта моделирования.

Данный этап предполагает:

–изучение конструкции моделируемого устройства и принципов его работы, возможные конструктивные решения аналогов, что позволяет выделить группу сходных по функциональным признакам объектов, для моделирования которых может быть использована данная модель, что повышает ее универсальность;

–определение границ объекта моделирования, т. е. того, что относится к объекту моделирования и что относится к окружающей среде. Учитывая многообразие и взаимосвязь объектов и явлений реального мира, разработчик должен выделить некоторый набор элементов и взаимосвязей, подлежащий моделированию.

3 Составление содержательного описания объекта моделирования.

Когда исследователь описывает текущую ситуацию на простом языке, то он начинает понимать,чтов данныймомент является проблемой или сложностью,улавливает особенности выбранного для моделирования объекта. Иногда то, что первично кажется важным и интересным, зачастую оказывается является не совсем тем, что может действительно дать интересующий конечный результат. С одной стороны, неучет каких-либо факторов (параметров) приводит к ошибочным результатам, а с другой стороны, излишние, незначимые параметры, вводимые в модель, приводят к значительным затратам временных и вычислительных ресурсов, не давая качественно лучшего результата моделирования.

Реализация данного этапа позволяет идти к цели более экономичным путем. Данный этап предполагает:

–неформальное обсуждение физической картины изучаемого явления;

–выдвижение гипотез, моделей;

–прикидку влияния различных факторов;

–выбор законов, аксиом, полагаемых в основу модели;

–выбор параметров, используемых для описания явлений данного класса;

–выбор системы уравнений, связывающей параметры.

Содержательное описание включает:

–описание объекта моделирования;

–описание внешней среды, взаимодействующей с объектом моделирования;

–описание алгоритма функционирования объекта моделирования;

–описание взаимодействия объекта моделирования с внешней средой.

4. Разработка концептуальной модели.

Для достаточно простых моделей этапы разработки содержательного и концептуального описаний практически совпадают. Для более сложных объектов целесообразно:

–уточнить общий замысел разработки;

–общую задачу моделирования разбить на подзадачи и установить приоритет их реше-

ний;

–выполнить декомпозицию объекта моделирования в соответствии с целями моделирования и структурой объекта моделирования;

–описать компоненты, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции.

14

5. Составление формального описания объекта моделирования.

На данном этапе объект моделирования описывается в терминах конкретной области знаний (теоретическая механика, термодинамика, гидравлика и т. д.)

Важным аспектом на этапах получения формального описания и преобразования последнего в математическую модель является замена реального объекта моделирования его некоторым эквивалентом, отражающим наиболее важные функциональные особенности моделируемой системы. При получении ММ достаточно сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, необходимо:

–выделить в объекте однородные физические подсистемы - механическую, гидравлическую, пневматическую и т. д;

–получить эквивалентные схемы каждой из подсистем;

–установить связи между подсистемами;

–получить ММ системы одним из способов, рассмотренных ниже.

В качестве примера рассмотрим гидравлическое золотниковое устройство (рис. 1.1):

Рисунок 1.1 – Схема гидравлического устройства

Здесь можно выделить:

а) механическую систему, состоящую из золотника З и двух пружин П; б) гидравлическую систему, включающую источник питания И, трубопроводы и

нагрузку Н; в) гидравлическую систему, включающую регулятор Р, трубопровод и емкости в кор-

пусе К золотника.

В дальнейшем необходимо более детально ответить на вопросы:

–какие области знаний используются для описания объекта моделирования?

–какие законы, постулаты, понятия этих областей знаний используются?

–каков характер этих законов (теоретические или экспериментальные)?

–какие параметры будут использованы в описании?

–пределы изменения параметров, критические значения, источники получения точно-

сти.

– наличие связей между параметрами.

6. Преобразование формального описания в математическую модель.

При этом используется два подхода:

1.Формальный, основанный на преобразовании математических зависимостей, описывающих явление в общем виде, к виду, соответствующему конкретной решаемой проблеме.

Например, уравнение теплопроводности Фурье, как общее может быть легко преобразовановзависимостиотразмерностизадачииграничныхусловийкуравнениюЛапласа,Пуассона и т. д.

2.Концептуальный,позволяющий получить математическоеописание объектамоделирования на основе использования фундаментальных физических законов.

15

Оба эти подхода дают одинаковые результаты, но концептуальный подход является наиболее общим и его можно использовать, если обобщенное математическое описание задачи неизвестно.

7. Алгоритмизация и программная реализация модели на ЭВМ.

В таблице 1.3 приводятся основные этапы и примерные затраты на них при реализации ММ на ЭВМ. При этом рассматривается два случая:

–разработка законченного, чаще всего специализированного ПО;

–разработка, локализация и последующее сопровождение ПО у заказчика.

Таблица 1.3 – Примерные трудозатраты на разработку ПО для реализации ММ

8. Испытания и эксплуатация модели.

После реализации математической модели наЭВМ разработчик должен выполнить еще ряд этапов: испытание ММ; исследование свойств ММ и упрощение ММ (при необходимости).

Испытание ММ включает этапы:

1.Задание исходной информации для моделирования, которая зависит от типа модели.

Вслучае, если объект моделирования существует, необходимые параметры получают в результате испытаний или из информационных источников. При моделировании проектируемых систем используются результаты испытаний прототипов. В случае отсутствия прототипов используются экспертные оценки параметров модели.

2.Верификация исходной модели. Заключается в доказательстве соответствия алгоритма функционирования модели ее замыслу, как правило, в процессе ее комплексной отладки.

3.Проверка адекватности ММ объекту моделирования. В случае неудовлетворительной адекватности математической модели осуществляется калибровка модели, цель которой состоит в уменьшении неточностей формулировки модели. Производятся изменения трех типов: глобальные структурные изменения (например, добавление программ описания процессов, компонентов модели и т. д.); локальные изменения модели (например, изменение компонентов); изменение некоторых параметров, используемых в качестве калибровочных. При этом изменения необходимо начинать с более простых.

После достижения требуемого уровня адекватности математической модели исследуются ее возможности и оцениваются:

1) границы моделирования, определяющие допустимые изменения параметров, при которых модель сохраняет свои свойства;

2) погрешности моделирования (оценку следует производить во всей области моделирования, т. к. ее значения в различных точках могут отличаться существенно);

3) время решения и вычислительные ресурсы; 4) устойчивость математической модели – степень ее нечувствительности к изменению

входных величин; 5) чувствительность математической модели– устанавливается диапазон измененияот-

клика при изменении каждой входной величины.