Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика» (2)

(4xy + 5y3 )dx + (2x2 +15xy2 )dy = 01 (4x2 + 5x3 )dx + (2x2 +15 x3 )dx =

L

=01 (6x2 + 20x3 )dx = 7 .

2.Уравнение параболы y2 = x задано в виде x = f ( y) , тогда dx = d( f ( y)) , dx = f ( y)dy . Тогда dx = d ( y2 ) , dx = ( y2 ) dy , dx = 2ydy .

x. (4xy + 5y3 )dx + (2x2 +15xy2 )dy = 01(4x x3 + 5x9 )dx + (2x2 +15x x6 )3x2dx =

Во всех рассмотренных случаях получено одно и то же значение КРИ II. Можно заметить P(x, y) = (4xy + 5y3 ) , Q(x, y) = (2x2 +15xy2 ) ,

т.е. выполнено условие (13.2) и КРИ II не зависит от пути интегрирования.

14. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

Если для КРИ II P(x, y)dx + Q(x, y)dy выполняется условие (13.2), то

AB

31

подынтегральное выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом некоторой однозначной функции U =U (x, y) (потенциальной

Итак, в этом случае величина КРИ II зависит от значений функции U (x, y) в начальной и конечной точках пути интегрирования.

где первый интеграл справа вычисляется при постоянном y = y0 , а второй – при постоянном, хотя и произвольном x .

Рис. 10

Пример 12. Найти функцию U (x, y) по ее полному дифференциалу dU (x, y) = (x2 + 2xy − y2 )dx + (x2 − 2xy − y2 )dy .

Решение. P(x, y) = (x2 + 2xy − y2 ) , Q(x, y) = (x2 − 2xy − y2 ) .

32

В пространственном случае для определения потенциальной функции U (x, y, z) необходимо убедиться в выполнении условия rot a = 0 , где

a = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .

33

4.L - часть кривой y = ln x от точки (1, 0) до точки (е, 1) .

Вычислить массу дуги кривой:

5.L - дугa параболы x = 4y2 c плотностью ρ(x, y) = xy от точки A(4, 1) до точки

B(16, 2).

6.L - дуга окружности 2x = x2 + y2 c плотностью ρ(x, y) = x − y .

Найти координаты центра масс:

7.Четверти однородной окружности x2 + y2 = a2 , лежащей в первом квадранте.

8.Однородной дуги одной арки циклоиды x = t − sin t, y =1− cost .

Вычислить момент инерции:

9. Относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками A(2, 0) и B(0, 1) , если линейная плотность в каждой его точке равна 1.

10. Относительно оси Oz однородной дуги первого витка винтовой линии x = 2cost , y = 2sin t , z = t .

Вычислить статические моменты:

11. Относительно координатных осей дуги астроиды x = 2cos3 t, y = 2sin3 t, расположенной в первом квадранте.

34

12. Относительно координатных осей однородной дуги цепной линии

часовой стрелки.

Вычислить площадь фигур, ограниченных замкнутыми линиями:

5. Окружностью x = Rcost, y = Rsint . 6. Петлей линии (x + y)4 = x2 y .

Вычислить работу силы:

7. В каждой точки плоскости на материальную точку действует сила F , проекции которой на оси координат равны P(x, y) = xy, Q(x, y) = x + y .

Вычислить работу силы F при перемещении точки из начала координат в точку А(1; 1) : 1) по прямой y = x ; 2) по параболе y = x2 ; 3) по двухзвенной ломанной, стороны которой параллельны осям координат (два случая).

35

8. Проекции силы на оси координат задаются формулами Fx = 2xy, Fy = x2 .

Показать, что работа силы не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начального и конечного ее положения и не зависит от формы пути. Вычислить величину работы при перемещении из точки (1, 0) в точку (0, 3).

Вычислить криволинейные интегралы от выражений, являющихся полными дифференциалами:

(2,3)

9. xdy + ydx .

(−1, 2)

(3, 4)

10. xdx + ydy .

(0,1)

(1,1)

11. (x + y)(dy + dx) .

(0, 0)

Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов, взятые вдоль пространственных кривых:

36

Контрольные вопросы

1.Написать векторное уравнение кривой.

2.Какая кривая называется гладкой?

3.Какая кривая называется кусочно-гладкой?

4.Какая кривая называется ориентированной (направленной)?

5.Какая кривая называется замкнутой?

6.Записать интегральную сумму, соответствующую криволинейному интегралу первого рода.

7.Дать определение КРИ I.

8.Как обозначается криволинейный интеграл?

9.Зависит ли КРИ-I от направления интегрирования?

10.Как обозначается криволинейный интеграл по замкнутому контуру?

11.Записать формулу для вычисления массы дуги линии.

12.Записать формулу для вычисления длины дуги L .

параметрическими уравнениями вида x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , t t1;t2 .

20.Как задается вектор-функция.

21.Дать определение КРИ II.

22.Записать КРИ II в векторной форме.

23.Записать КРИ II в координатной форме.

24.Записать связь криволинейных интегралов I и II рода по кривой L.

25.Зависит ли КРИ-II от направления кривой?

26. Записать формулу для вычисления КРИ II, если кривая L 2 задана уравнением вида y = y(x), a x b .

37

параметрическими уравнениями вида x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , t t1;t2 .

30.Как найти единичный вектор касательной 0 ?

31.Как найти касательный вектор к кривой?

32.Какой контур L называется положительно (отрицательно) ориентированным?

33.Что такое полный дифференциал?

34.Когда применяют формулу Грина?

35.Записать формулу Грина?

36.Вычисление площадей с помощью формулы Грина.

37.Записать условие независимости КРИ II от пути интегрирования.

38.Как можно вычислить потенциал?

39.Как восстановить функцию по ее частным производным (дифференциалу) с помощью криволинейного интеграла второго рода?

40.Записать формулу вычисления работы с помощью потенциала.

38

5. Записать условие независимости КРИ II от пути интегрирования.

39

a) dU = (4x3 y2 − xy2 )dx − ( x2 y − 2x4 y)dy ; b) dU = (4x3 y3 − y2 )dx + (3x4 y2 − 2xy)dy ; c) dU = (8xy + x3 )dx + (4x2 − y3 )dy .

4. Вычислить работу силы F = yi + ( x + y) j при перемещении материальной точки по кривой, образованной параболой y = x2 и прямой y =1.

а) 1; b) – 2; c) 0; d) 18.

5. Записать формулу Грина.

40